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        數(shù)形結(jié)合,演繹函數(shù)精彩

        2023-05-05 11:25:48何曉敏
        初中生世界 2023年15期
        關(guān)鍵詞:垂線過點(diǎn)表達(dá)式

        文/何曉敏

        在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,我們常需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題。其中,當(dāng)遇到“函數(shù)”與“角”相結(jié)合的問題時(shí),我們該如何找尋突破口,讓運(yùn)算更簡單呢?下面,我們不妨一起來探究相關(guān)內(nèi)容。

        一、一次函數(shù)圖像中的“隱藏角”

        例1已知直線l的表達(dá)式為y=x+4,則直線l與x軸的夾角是________。(說明:我們把兩條直線相交形成的最小角稱為兩條直線的夾角)

        圖1

        【解析】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,記直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B,易得A(-4,0)、B(0,4)。在Rt△ABO中,AO=BO=4,tan∠BAO=1,則∠BAO=45°,故直線l與x軸的夾角是45°。

        【變式】已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)和第二、四象限,且與x軸的夾角是60°,求直線l的表達(dá)式。

        圖2

        【解析】畫出函數(shù)圖像,如圖2,在x軸上取點(diǎn)A(1,0),過A作x軸的垂線與直線l交于點(diǎn)B,構(gòu)造Rt△ABO。利用函數(shù)圖像中∠AOB=60°,可得,求出B(1,,從而求出直線l的表達(dá)式為

        【歸納】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與水平方向形成“隱藏角”(記為α)有特殊的意義,構(gòu)造直角三角形能找到該角與直線傾斜程度的關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn)|k|=tanα。

        二、一次函數(shù)圖像變換中的“伴生角”

        例2如圖3,已知一次函數(shù)y=-2x+4 的圖像與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B,若將其繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

        圖3

        圖4

        【變式1】將題干中“旋轉(zhuǎn)90°”改為“旋轉(zhuǎn)45°”,如圖5,求變換后的直線表達(dá)式。

        圖5

        【思路1】如圖6,過點(diǎn)B作已知直線的垂線,交變換后的直線于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H。依題意△ABD為等腰直角三角形,易證△BDH≌△ABO,可求得BH=OA=2,HD=OB=4,則D(4,6),從而求得直線表達(dá)式為y=3x-6。

        圖6

        【思路2】如圖7,過點(diǎn)B作變換后直線的垂線段,垂足記為C。過點(diǎn)C作x軸的垂線,與過點(diǎn)B的y軸的垂線相交于點(diǎn)F,構(gòu)造△BFC≌△CEA,再通過設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),由BF=CE、CF=AE,列出方程組從而解決問題。

        圖7

        【歸納】作垂線構(gòu)造直角三角形,將角的大小轉(zhuǎn)化為邊長比值。比較上述兩種思路,顯然“過已知點(diǎn)作已知直線的垂線”更為優(yōu)化簡便。

        【變式2】將題干中“旋轉(zhuǎn)90°”改為“旋轉(zhuǎn)θ,tanθ=3”,求變換后的表達(dá)式。

        【解析】延用變式1 的思路,在點(diǎn)B處構(gòu)造直角(如圖8),易證△GKB∽△BOA。由tanθ可知,△GKB與△BOA相似比為3,則GK=3OB=12,BK=3OA=6,可得G(12,10),所求直線為y=x-2。

        圖8

        【歸納】從變式1到變式2,變化的僅是旋轉(zhuǎn)角的大小。解決問題的方法均是過點(diǎn)作已知直線的垂線,構(gòu)造直角三角形,將角的信息轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系,最終再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo),從而突破難點(diǎn)。

        三、其他函數(shù)圖像中的“生成角”

        例3已知一次函數(shù)y=-2x+4的圖像與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A和B,且過點(diǎn)D(4,0)。在二次函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)M,使∠BAM=∠BAO?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

        【解析】先求出二次函數(shù)的表達(dá)式并畫出函數(shù)圖像(如圖9)。如果站在“交點(diǎn)”的立場來看待點(diǎn)M,它不僅是拋物線上的點(diǎn),也是與直線AB夾角為定值的直線上一點(diǎn)。延用例2的思路可知,tan∠BAM=2,易求P(8,8),則直線AM表達(dá)式為再與二次函數(shù)y=聯(lián)立,求得交點(diǎn)

        圖9

        【變式】將上題中的“二次函數(shù)”改為反比例函數(shù)y=,試問雙曲線上是否存在點(diǎn)M,使∠BAM=∠BAO?

        【解析】函數(shù)背景變了,但解決問題的方法一樣。畫出圖像(如圖10),不難發(fā)現(xiàn)M只能在直線落在第一象限的部分上,故求得M(3,)。

        圖10

        【歸納】關(guān)注交點(diǎn)的多重“身份”,不要被復(fù)雜的函數(shù)背景所迷惑。先利用角度求出它所在的直線,再聯(lián)立求交點(diǎn),則會使運(yùn)算更簡便。

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