江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)(225002) 衡 晨

前不久剛頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版》指出“圖形與幾何”模塊在初中學(xué)段的主題包括圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo),明確將“圖形的變化”作為初中幾何教學(xué)的重要主題[1].由此可見(jiàn),初中階段開(kāi)始強(qiáng)調(diào)讓圖形“動(dòng)”起來(lái),不僅要求學(xué)生順利求解動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,而且通過(guò)“動(dòng)”起來(lái)的圖形提高抽象能力、推理能力、幾何直觀等十大能力.

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的題目,將數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能完美結(jié)合,全面考查了學(xué)生應(yīng)用理論知識(shí)的能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.不僅如此,動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解決需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)習(xí)的所有知識(shí),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、邏輯推理和數(shù)學(xué)模型的思想,從各個(gè)方面考查學(xué)生所具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)可將動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題分為函數(shù)型、最值型、面積型、判斷型等四大類(lèi)[2].

本文主要論述函數(shù)型與判斷型兩類(lèi)問(wèn)題,函數(shù)型問(wèn)題是指在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,對(duì)隨之產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探究的一類(lèi)問(wèn)題;判斷型問(wèn)題常常是探究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一些特殊位置或特殊圖形是否存在的問(wèn)題.本文中將判斷型問(wèn)題分為相似三角形和平行四邊形進(jìn)行討論.解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的關(guān)鍵—明確不變量,發(fā)現(xiàn)不變關(guān)系,將變量用不變量表示,明確數(shù)量關(guān)系.

1 函數(shù)型

1.1 求解函數(shù)解析式及辨別函數(shù)圖像

函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)始終,在初中學(xué)習(xí)的主要有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),掌握它們的一般形式以及他們的圖像與性質(zhì).對(duì)于和動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合的函數(shù)問(wèn)題,一般而言,通過(guò)觀察我們可以判斷它是否為分段函數(shù),若為分段函數(shù)則需要分類(lèi)討論,其自變量取值范圍尤其重要.基于圖形存在的變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,以動(dòng)態(tài)的眼光觀察變量之間的聯(lián)系,從而解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.通過(guò)函數(shù)相關(guān)問(wèn)題,著重培養(yǎng)學(xué)生的模型思想,具有模型意識(shí).

圖1

例1如圖1所示,線(xiàn)段AB=10,點(diǎn)C、D在AB上,AC=BD=1.已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng),到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng).在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中作如下操作:先以點(diǎn)P為圓心,PA、PB的長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60?的扇形,再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面.設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t(秒),兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S,則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是( ).

分析若想得到正確的函數(shù)圖像,首先找出S與t的函數(shù)關(guān)系式,圓錐底面積S和底面半徑有關(guān);其次尋找底面半徑和t的關(guān)系,用含t的代數(shù)式表示出兩個(gè)扇形的半徑,根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)可求出兩個(gè)圓錐的底面半徑;最后,根據(jù)扇形面積公式,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系選擇相應(yīng)的圖像.

解析因?yàn)锳B=10,AC=BD=1,所以CD=8,又因?yàn)镻C=t,所以PA=t+1,PB=10?(t+1)=9?t.設(shè)兩圓錐的底面半徑分別為r和R,則:解得:所以,兩個(gè)圓錐的底面面積之和為:

根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù),故選D.

評(píng)析本題解題關(guān)鍵在于找到圓錐的底面半徑,主要考查扇形弧長(zhǎng)與圓錐底面周長(zhǎng)之間的互化.對(duì)于有關(guān)函數(shù)圖像的選擇題,我們可以從選項(xiàng)中的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”反推點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置.例如,在本題中t=4就是一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”——?jiǎng)狱c(diǎn)所在的特殊位置,此時(shí)反推點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)位置,此時(shí)點(diǎn)P位于線(xiàn)段AB的中點(diǎn).

例2如圖2所示,⊙O的半徑為1,AD,BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)(P點(diǎn)與O點(diǎn)不重合),沿O?>C?>D的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=x,sin∠APB=y,那么y與x之間的關(guān)系圖像大致是( ).

圖2

分析對(duì)于選擇題來(lái)說(shuō),首先可以觀察選項(xiàng),發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)中的函數(shù)圖像中含有“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”,要聯(lián)想到分類(lèi)討論的思想方法,其次認(rèn)真分析題目,尋找具體的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”,找到分段函數(shù)的解析式.

解析

(2)9個(gè)樣品中Cd地累積指數(shù)值介于1.90～2.82之間，U地累積指數(shù)值介于0.81～1.46之間。其他元素地累積指數(shù)均<0。對(duì)于Cd元素，9個(gè)樣品中有1個(gè)樣品為輕度污染，8個(gè)樣品為中度污染。對(duì)于U元素，9個(gè)樣品中有4個(gè)樣品為輕微污染，5個(gè)樣品為輕度污染。

1)當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),在RT?AOP中,y=sin∠APB=

通過(guò)所求分段函數(shù)解析式得到,第一段為反比例函數(shù),第二段為常函數(shù),故選C.

2 判斷型

2.1 相似三角形

相似三角形是中考中的高頻考點(diǎn),主要結(jié)合單動(dòng)點(diǎn)以及雙動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題綜合考察.對(duì)于相似三角形在解題時(shí)主要應(yīng)用判定定理中的(SAS),從某一特定角出發(fā),對(duì)其鄰邊進(jìn)行分類(lèi)討論,在這個(gè)過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀和空間想象能力.

圖3

例3如圖3所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng),如果P和Q同時(shí)出發(fā),用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0

分析相似三角形的性質(zhì)為對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)角相等.在解決該類(lèi)問(wèn)題時(shí),從某一特定角出發(fā),進(jìn)行分類(lèi)討論.將所需線(xiàn)段用t表示出來(lái),根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解得t的值.

解析根據(jù)題意可分為兩種情況討論:

綜上所述,當(dāng)t=1.2(s)或t=3(s)時(shí),以點(diǎn)Q,A,P為頂點(diǎn)的三角形和?ABC相似.

評(píng)析在本題中以點(diǎn)Q,A,P為頂點(diǎn)的三角形和?ABC都含有一個(gè)直角,最簡(jiǎn)單的方法即從直角出發(fā),對(duì)兩條直角邊進(jìn)行分類(lèi)討論.那么,我們就可以選擇對(duì)兩條直角邊分類(lèi)討論.

2.2 平行四邊形存在性問(wèn)題

平行四邊形這一節(jié)是初中的一個(gè)重要分水嶺,對(duì)學(xué)生的抽象能力、空間觀念、幾何直觀要求較高.關(guān)于動(dòng)點(diǎn)和平行四邊形存在性問(wèn)題,主要結(jié)合平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行考察,在該過(guò)程中,感悟數(shù)形結(jié)合的思想,會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問(wèn)題.學(xué)會(huì)從幾何的角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等.

關(guān)于動(dòng)點(diǎn)和平行四邊形存在性問(wèn)題,常見(jiàn)題目的表述方式為:已知三個(gè)點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)(如圖4),若四邊形ABCD是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).具體方法是:連接A,B,C三點(diǎn),構(gòu)成三角形,過(guò)A,B,C的每一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線(xiàn),三條直線(xiàn)兩兩相交,得到三個(gè)點(diǎn)D,不重不漏,一步到位[3].具體實(shí)施如下:按B?>C的方向,平移點(diǎn)A,得到點(diǎn)D1;按C?>B的方向,平移點(diǎn)A,得到點(diǎn)D2;按A?>B的方向,平移點(diǎn)C,得到點(diǎn)D3.具體操作如圖5所示:

圖4

圖5

圖6

例4如圖6,直線(xiàn)+6與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A,運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)Q沿線(xiàn)段OA運(yùn)動(dòng),速度為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)P沿路線(xiàn)O?>B?>A運(yùn)動(dòng).

(1)直接寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,?OPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)?ABO與?OPQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否相似,若存在求出對(duì)應(yīng)的t的值,若不存在,說(shuō)明理由.

分析第(2)問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分類(lèi)討論,從而得到S與t的分段函數(shù);第(3)問(wèn)依賴(lài)于第二問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件求得P,Q坐標(biāo),第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),具體方法見(jiàn)解答過(guò)程;第(4)問(wèn)有關(guān)三角形相似問(wèn)題,同樣需要對(duì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分類(lèi)討論,在此基礎(chǔ)上選擇某一角,從該角鄰邊對(duì)應(yīng)成比例進(jìn)行討論.

解析(1)A(8,0),B(0,6);

(2)因?yàn)镺A=8,OB=6,由勾股定理得AB=10.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),同時(shí)到達(dá)A點(diǎn),點(diǎn)Q速度為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為=2;

①點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP=2t,OQ=t,S=t2(0

圖7

圖8

(4)對(duì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行討論:

評(píng)析本題是一道非常經(jīng)典的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,難點(diǎn)主要在于多次分類(lèi)討論,考察的知識(shí)面較廣,綜合性較強(qiáng).既考察了分段函數(shù)解析式,也考察了平行四邊形第四點(diǎn)存在性問(wèn)題以及三角形相似.在平時(shí)學(xué)習(xí)生活中多積累分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這個(gè)題目難度會(huì)大大降低.

3 總結(jié)

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題通常將函數(shù)和圖形的相關(guān)性質(zhì)結(jié)合考察,將幾何和代數(shù)相結(jié)合.由以上例題可知,動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解析過(guò)程中,最重要的是分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,尋找動(dòng)點(diǎn)的特殊位置.在不同的問(wèn)題情境中,關(guān)鍵在于用“不變量”表示“變量”,“以靜制動(dòng)”,要抓住問(wèn)題本質(zhì),適當(dāng)簡(jiǎn)化問(wèn)題模型,找出題目中靜與動(dòng)的主體,可適當(dāng)構(gòu)造輔助線(xiàn)[4].動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題對(duì)于提升學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力、加強(qiáng)知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)換與聯(lián)想有重大作用.分類(lèi)討論地?cái)?shù)學(xué)思想方法有利于加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性、縝密性.