上海市民立中學(200040) 孫利明

1 背景

數(shù)列題中經(jīng)常要用方程思想求值,利用方程思想能起到化繁為簡、化難為易的作用.以“數(shù)列與方程的問題探究”為題開設了一堂探究性學習課,目標是在教師的引導下,讓學生能自主的探究問題、解決問題.

2 過程

2.1 提出問題

數(shù)列{an}各項均為實數(shù),對任意n ∈ N?滿足an+3=an,且行列式=c為定值,則下列選項中不可能的是( )

A.a1=1,c=1 B.a1=2,c=2

C.a1=?1,c=4 D.a1=2,c=0

這是我校組織的一次考試中的一個選擇題,本題也是2020年1月上海春考選擇題壓軸題第16題,從測試得情況看,學生得分率低.大多數(shù)選對得同學也是蒙對了答案,對本題的解答沒有思路.

2.2 問題探究

探究1師:本題中的條件an+3=an想告訴我們什么?

生:周期為3的數(shù)列.

生:anan+3?an+1an+2=c,因為an+3=an,所以?an+1an+2=c,也就是知道了數(shù)列連續(xù)3項的關系.

師:我們只要知道了這個數(shù)列每一項,就可以去代上面的關系式了.這個周期為3的數(shù)列應該怎樣表示呢?

生:因為選項中知道了a1的值,可以把第二項和第三項用字母x和y設出來,比如A選項可以設周期為3的數(shù)列{an}為1,x,y,1,x,y,1,x,y,….

師:接下來同學們就將1,x,y,1,x,y,1,x,y,…代入?an+1an+2=c看一下吧.

師:上面的方程組如果有實數(shù)解,那么a1=1,c=1就是有可能的;上面的方程組如果無實數(shù)解,那么a1=1,c=1就是不可能的.

探究2師:這樣的方程組我們應該如何求解呢?

生:這個方程組有兩個未知數(shù),兩個未知數(shù)借助其中兩個方程就能解出來,第三個方程有什么用呢?

生:只需借助其中兩個方程將x和y求解出來,再驗證它是否滿足第三個方程.

師:說的非常好.請同學們求解上面的方程組.

探究3師:請同學們用同樣的方法探究B選項.

生:設數(shù)列{an}為2,x,y,2,x,y,2,x,y,…,求解方程組

師:同學們還有其他驗證方程組無解的方法嗎?

生:②?③得:(x?y)(x+y+2)=0即x?y=0或x+y+2=0,解方程組和得或經(jīng)檢驗它們不滿足方程4?xy=2,因此方程組無解.

師:同學們可以從多個角度研究方程組是無解的,真棒!

探究4師:一般情況的下的結論如何研究呢?設數(shù)列{an}為a1,x,y,a1,x,y,a1,x,y,…,請同學們探究a1與c(a1,c∈R)滿足怎樣的條件時關于x與y(x,y∈R)的方程組是有解的.

生(師):

①?②得,(x?y)(x+y+a1)=0即x?y=0或x+y+a1=0.

2.3 更廣的探究

師:你們能自己提一些問題,并作適當?shù)难芯繂?

生:能否推廣到復數(shù)集?

2.4 小結

生:要多角度思考問題和解決數(shù)學問題.

生:研究數(shù)學問題要善于觀察,要學會推廣、類比、歸納和拓展.

3 反思

本節(jié)課采用了啟發(fā)式和問題探究相結合的教學方法.教學中,從提出問題→啟發(fā)引導→探究解答→推廣結論→更廣探究,始終讓學生主動參與,親身實踐,獨立思考與探究,使學生真正成為研究者和發(fā)現(xiàn)者.本節(jié)探究課學生學習了利用方程思想解決數(shù)列問題,找到了一般情況下的結論,體會了由特殊到一般的科學研究方法,感受了數(shù)學結論的奇妙和完美.這樣的探究課能提高學生數(shù)學學習的興趣和解決問題的能力,在最短的時間內(nèi)讓學生學習到更多的知識,有效提高高三數(shù)學復習的效率.

探究課“探什么”.在數(shù)學概念教學時開展探究性學習,引導學生探究概念的生成、理解和應用;在揭示數(shù)學基本思想和方法的題目上開展探究性學習,引導學生掌握和運用通性通發(fā);在容易出錯的題目上開展探究性學習,引導學生進行自主的思考、歸納和總結;本節(jié)課圍繞2020年上海春考選擇題壓軸題的解決展開探究,探究過程中學生加深了利用方程思想解決數(shù)列問題的意識.

探究課“怎樣探”.在高中數(shù)學中有很多題目不只有一種解法,教師可以引導學生利用一題多解開展探究性學習;在高中數(shù)學中有很多很好的結論,教師可以引導學生利用由特殊到一般、由具體到抽象的方法開展探究性學習;此外,借助計算器、實物操作和感知也是探究問題的有效途徑.

在平時的課堂教學中,教師的“灌輸”應該少一點,學生的主動探究應該多一點,學生的交流應該多一點,學生的小組討論應該多一點,只有這樣,學生的思維才能一直處于活躍的狀態(tài),學生對問題的理解才能更加深刻,學生的思維能力才能得到真正的提高.