吳輝陽, 詹春曉, 王美芹, 吳枝根

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

圓筒結構是工程實際中常見的一種結構形式,被廣泛應用于多種工業(yè)領域,如航空航天、化工、石油等領域。圓筒結構在工程應用中經常受到機械沖擊、熱沖擊、磁沖擊等各類沖擊作用。沖擊載荷會在圓筒中引起較大的動應力峰值,導致結構因強度不足出現(xiàn)損傷。因此,研究沖擊作用下圓筒結構的動態(tài)響應,探索緩解沖擊影響的有效措施,對相關工程問題具有重要的理論指導意義。

關于圓筒和空心圓球的動態(tài)響應,近幾十年來已有大量研究成果。文獻[1]用Hankel變換和拉普拉斯變換得到空腔球體內的熱動應力分布規(guī)律;文獻[2]通過求解Navier方程給出功能梯度厚空心球一維穩(wěn)態(tài)熱應力和機械應力的解析解;文獻[3-5]研究層合圓筒和功能梯度圓筒在多種載荷影響下的動態(tài)響應,借助Hankel變換和拉普拉斯變換給出它們的精確解;文獻[6]采用級數(shù)方法求解運動方程,并在時域中應用快速拉普拉斯逆變換,對功能梯度圓柱在熱沖擊下動應力進行解析分析;文獻[7]使用二階配點法對受動態(tài)熱、機械載荷的溫變功能梯度圓筒進行非線性熱應力分析;文獻[8]用有限差分法和Newmark法,研究具有功能梯度層的雙層空心圓柱受熱、機械載荷的動態(tài)熱彈性行為;文獻[9]利用Lord-Shulman理論建立能量方程和運動方程,使用廣義微分求積法、Newmark法和Picard逐次算法對方程進行求解,得到溫度、位移和應力隨時間變化的規(guī)律。近些年,關于磁沖擊下圓筒結構動態(tài)響應的研究逐漸增多。文獻[10]給出內層為功能梯度材料(functionally graded material,FGM)、外層為均質材料的雙層圓筒磁熱彈性行為的解析解;文獻[11]通過求解控制方程得到壓力、溫變和磁場共同作用下,雙層圓筒徑向應力和環(huán)向應力的解析解;文獻[12-13]利用有限Hankel變換和拉普拉斯變換,研究磁沖擊下單層和雙層均質軟磁材料圓筒的動態(tài)響應,得到動態(tài)位移與應力的解析解。

關于磁熱沖擊下圓筒的動態(tài)響應分析,相關文獻主要集中于均質圓筒或雙層均質材料組合圓筒的研究,對非均質圓筒,如功能梯度圓筒、含功能梯度層的層合圓筒的動態(tài)位移和應力分析很少。本文研究材料性質沿徑向任意梯度變化的非均質圓筒在磁熱沖擊作用下的動態(tài)響應,為了探索動應力峰值的影響因素,采用延遲熱沖擊、將雙層均質圓筒結構中的內層或外層替換為功能梯度層等方式進行分析,給出降低動應力峰值的一些可行措施。

1 分析模型

受磁場和溫度場作用的非均質圓筒如圖1所示,該無限長彈性圓筒的內半徑為a,外半徑為b,材料性質沿徑向任意梯度變化。圓筒受突變軸向磁場Hz(t)及溫度場T(t)的沖擊作用,磁熱沖擊下,該圓筒的動態(tài)響應屬于軸對稱平面應變問題。

圖1 受磁場和溫度場作用的非均質圓筒分析模型

軸對稱平面應變問題的運動方程為:

(1)

其應力與位移關系[6,12]為:

(2)

(3)

其中:ur(r,t)為徑向位移;σr(r,t)、σθ(r,t)分別為徑向應力和環(huán)向應力;E、ν、ρ、α分別為圓筒材料的彈性模量、泊松比、質量密度和線膨脹系數(shù);μ0為真空磁導率;Hz為磁場強度。

初始條件為:

σr(r,0)=0,σθ(r,0)=0

(4)

假設圓筒內、外表面不受面力作用,則邊界條件為:

σr(a,t)=0,σr(b,t)=0

(5)

2 求解方法

由于材料性質沿徑向變化的不確定性,圓筒的動態(tài)響應不可能從控制方程(1)～(3)式中得出解析解,需要將解析法與數(shù)值法相結合,對磁熱沖擊下的任意梯度圓筒進行動態(tài)分析。

由(2)式可得:

(6)

將(2)式、(3)式和(6)式代入(1)式,有

(7)

由(6)式與(7)式可構成偏微分方程組,其矩陣形式為:

(8)

其中:R為狀態(tài)向量;G為系數(shù)矩陣;B為非齊次項矩陣。

R=[ur(r,t)σr(r,t)]T,

用時刻t0,t1,t2,…,tk,…將時間t劃分成等間隔的時間段,t0為初始時刻;Δt為相鄰兩個時刻之間的間隔,即時間步長,Δt=tk-tk-1。根據(jù)Newmark法,tk時刻位移對時間的二階偏導數(shù)可近似為:

(9)

(10)

(11)

具體分析時通常取參數(shù)ξ=1/4,ζ=1/2。

由于空心圓筒中的材料性質隨r變化,將圓筒劃分為N層圓柱殼,第i層圓柱殼的厚度為di(i=1,2,…,N),內、外半徑分別記為ri-1、ri,因而ri=a+d1+…+di,r0=a,rN=b。在第i層圓柱殼的系數(shù)矩陣G和非齊次項矩陣B中,取r=hi=(ri+ri-1)/2,材料性質取該層圓柱殼中面處的參數(shù)值,則(8)式在每層圓柱殼中都成為一個常系數(shù)非齊次微分方程組,即狀態(tài)方程。由(8)～(11)式得到tk時刻第i層圓柱殼的狀態(tài)方程為:

(12)

其中,[gri(r,t)]k近似為[gr(ri,tk)+gr(ri-1,tk)]/2。對(12)式兩邊積分,可得:

[Ri(r,t)]k=Di(r-ri-1)[Ri(ri-1,t)]k+

[Hi(r,t)]k,

Di(r-ri-1)=exp[Gi(r-ri-1)],

(13)

其中,ri-1

由(13)式和狀態(tài)向量在層間的連續(xù)條件[Ri(ri-1,t)]k=[Ri-1(ri-1,t)]k,可以推導出tk時刻圓筒內、外表面處狀態(tài)向量之間的關系為:

(14)

在(14)式中應用邊界條件(5)式,可以求得圓筒內、外表面處tk時刻的狀態(tài)向量R1(r0,tk)和RN(rN,tk),再由(13)式進而可得tk時刻任意位置處的狀態(tài)向量Ri(r,tk)。當N→∞且di→0時,N層圓柱殼構成的層合圓筒將無限趨近于原來的非均質圓筒。具體分析中,選擇適當?shù)膱A筒分層數(shù)N和時間步長Δt,可以得到圓筒在任意時刻任意位置處足夠精確的位移和應力分量。

3 數(shù)值算例與結果討論

本文求解方法給出了受磁熱沖擊作用的軸對稱非均質無限長圓筒動態(tài)響應的半解析解,為檢驗本文解的正確性和有效性,分別對均質圓筒、雙層均質圓筒及含F(xiàn)GM的層合圓筒進行分析。為方便結果分析與討論,引入如下無量綱變換:

(15)

其中:μ0=4π×10-7H/m;cL為彈性波的傳播速度;E0、ρ0分別為彈性模量和質量密度參考值。

3.1 均質圓筒

圖2 不同N下沿r*的分布

圖3 不同N下沿r*的分布

圖4 r*=1.000處隨t*的變化

從圖4可以看出,由本文方法得出的位移與文獻[12]的結果吻合良好。

圖5 r*=0.775處隨t*的變化

3.2 雙層均質材料組合圓筒

內層為氧化鋁、外層為鋁合金的雙層圓筒,氧化鋁分布區(qū)域為a≤r<(a+b)/2,鋁合金分布區(qū)域為(a+b)/2≤r≤b,a=0.002 m,b=0.040 m。雙層圓筒受磁熱沖擊作用,熱沖擊的發(fā)生與磁沖擊有一定的時間延遲,磁場和溫度場分別為:

Hz(t*)=HzH(t*),

(16)

圖6 磁熱沖擊下雙層圓筒中r*=0.275處隨t*的變化

圖7 磁熱沖擊下雙層圓筒中r*=0.275處隨t*的變化

3.3 含F(xiàn)GM的雙層圓筒

為考察功能梯度層對磁熱沖擊下圓筒位移和應力的影響,將3.2節(jié)中雙層圓筒的內層和外層分別替換氧化鋁-鋁合金FGM,材料性質呈指數(shù)函數(shù)分布,表達式為:

P=

(17)

其中:Pc、Pm分別為氧化鋁和鋁合金的材料性質;η為FGM的梯度分布因子;rin≤r≤rout,rin、rout分別為功能梯度層的內半徑和外半徑。圓筒內層替換為功能梯度層時,rin=a,rout=(a+b)/2;圓筒外層替換為功能梯度層時,rin=(a+b)/2,rout=b。

圖8 內、外層分別替換為功能梯度層時r*=0.525處隨t*的變化

圖9 內、外層分別替換為功能梯度層時r*=0.525處隨t*的變化

圖10 不同η下r*=0.525處隨t*的變化

圖11 不同η下r*=0.525處隨t*的變化

4 結 論

本文在空間域應用狀態(tài)空間法,在時域應用Newmark法,研究軸對稱非均質無限長圓筒受磁熱沖擊時的動態(tài)響應,通過算例證實本文解的正確性和有效性,探討雙層均質材料組合圓筒、將其內層或外層換為功能梯度層時對緩解磁熱沖擊下圓筒動態(tài)響應的影響,分析功能梯度層梯度分布因子對磁熱沖擊下動應力峰值的影響,得到如下結論:

(1) 得到的半解析解可用于任意梯度空心圓筒受磁熱沖擊作用時的動態(tài)響應分析。

(2) 適當?shù)匮舆t熱沖擊時間,可以顯著降低磁熱沖擊下雙層均質材料組合圓筒的動應力振幅。

(3) 將雙層圓筒內層材料更換為FGM,選取合適的功能梯度分布因子,可有效降低磁熱沖擊下的圓筒內動應力的峰值。