陳震, 孫夢(mèng)晴, 陳璐, 郭豐, 李曉克

(1.華北水利水電大學(xué) 土木與交通學(xué)院,河南 鄭州 450045; 2.中國建筑第七工程局有限公司,河南 鄭州 450004)

移動(dòng)荷載識(shí)別屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反問題范疇,具有典型的不適定性,即其解的穩(wěn)定性、唯一性和存在性不能同時(shí)滿足。由于車輛動(dòng)荷載不斷變化,直接測(cè)量車輛與橋梁之間的相互作用力往往難以實(shí)施,故根據(jù)實(shí)測(cè)橋梁動(dòng)力響應(yīng)來反演橋面移動(dòng)荷載的方法是一種行之有效的手段。迭代收縮閾值類稀疏正則化求解方法是反問題求解中較有前景的計(jì)算方法之一,其中迭代收縮閾值算法(Iterative Shrinkage Threshold Algorithm,ISTA)被廣泛應(yīng)用于線性逆問題求解及壓縮感知重構(gòu)算法中。

近年來,計(jì)算理論的發(fā)展極大地推動(dòng)了移動(dòng)荷載識(shí)別方法的發(fā)展。為了提高識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性,許多研究者做了大量工作。趙瑜等[1]提出一種通過建立ARMA模型來辨識(shí)結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)的方法,在激勵(lì)數(shù)據(jù)未知時(shí),基于ARMA模型的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。楊慧等[2]采取BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)橋梁的動(dòng)應(yīng)變進(jìn)行訓(xùn)練,該方法可以快速識(shí)別車輛參數(shù),但對(duì)訓(xùn)練算法有較高的要求。針對(duì)移動(dòng)荷載識(shí)別系統(tǒng)矩陣存在的不適定性,陳震等[3-4]通過研究得出,在迭代算法的基礎(chǔ)上結(jié)合改進(jìn)的Gram-Schmidt正交化在保證識(shí)別精度的前提下可以減少迭代次數(shù)。WANG L J等[5]利用矩陣攝動(dòng)法將移動(dòng)荷載識(shí)別轉(zhuǎn)化為一系列確定的逆問題,提出一種用于識(shí)別移動(dòng)荷載的快速迭代收斂法,該方法可有效提升算法的收斂速度。徐家云等[6]采用振型分解法求解車橋耦合振動(dòng)動(dòng)力方程,通過求解荷載脈動(dòng)系數(shù)識(shí)別重載列車荷載。一般的橋梁動(dòng)態(tài)稱重系統(tǒng)采用橋梁影響線計(jì)算靜態(tài)軸重,而忽略了動(dòng)力效應(yīng)的影響,張偉超等[7]采用一階正則化和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)不同類型的車輛種類進(jìn)行荷載識(shí)別得出,基于移動(dòng)荷載識(shí)別理論的動(dòng)態(tài)稱重系統(tǒng)能有效利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力信息識(shí)別移動(dòng)車輛荷載。PAN C D等[8]提出移動(dòng)時(shí)間窗的概念來降低矩陣維數(shù),同時(shí)結(jié)合矩陣正則化有效節(jié)省了荷載識(shí)別時(shí)間。鄧露等[9]探討了橋梁動(dòng)態(tài)稱重在不同類型橋梁上的適用性,并且指出路面平整度和噪聲會(huì)對(duì)識(shí)別效果產(chǎn)生不利影響。

本文采用一種快速迭代收縮閾值正則化改進(jìn)算法(Iterative Regularization Improved Fast Iterative Shrinkage Threshold Algorithm,IRFISTA)求解移動(dòng)荷載識(shí)別問題。通過引入迭代正則化,準(zhǔn)確提取動(dòng)態(tài)荷載的信號(hào)特征,以期在不增加計(jì)算量的前提下,提高ISTA算法的收斂速度。

1 基本理論

1.1 時(shí)域法識(shí)別移動(dòng)荷載

以時(shí)域法為基礎(chǔ),建立車輛荷載與橋梁響應(yīng)力學(xué)映射關(guān)系,構(gòu)造車-橋系統(tǒng)方程。以簡支梁為例,假設(shè)忽略梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形,橋梁跨長為L,單位密度為ρ,黏性阻尼比為C,抗彎剛度為EI,模型簡圖如圖1所示。

圖1 簡支梁移動(dòng)車輛荷載識(shí)別模型

假設(shè)有一車輛移動(dòng)荷載P(t)以速度c從梁的左端支座向梁的右端移動(dòng),則梁的振動(dòng)微分方程可表示為:

(1)

利用模態(tài)疊加原理和卷積基本知識(shí),在時(shí)域內(nèi)求解式(1),得到梁橋在t時(shí)刻距梁左端a處的彎矩響應(yīng)為:

(2)

(3)

2ξnωnω′ncos[ω′n(t-τ)]}。

(4)

采用時(shí)域法識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí),荷載識(shí)別方程最終可寫為如下形式:

Ax=b。

(5)

式中:A∈Rm×n為車橋系統(tǒng)矩陣;b∈Rm×1為車橋系統(tǒng)響應(yīng),即加速度響應(yīng)、彎矩響應(yīng)經(jīng)過離散化形成的向量;x∈Rn×1為離散的移動(dòng)荷載向量。

1.2 迭代收縮閾值算法

迭代收縮閾值算法是求解線性逆問題的經(jīng)典方法,隸屬于梯度類算法,其求解過程簡單便捷,可用于求解大規(guī)模不適定問題。當(dāng)求解L1正則化問題時(shí),該方法可利用當(dāng)前點(diǎn)的信息進(jìn)行迭代值的更新。

ISTA的求解步驟為:

xk+1=Sα(xk-2tkAT(Axk-b))。

(6)

Sα(e)i=sgn(ei)S(|ei|-α)+。

(7)

min(F(x))=f(x)+g(x)。

(8)

式中:f(x)是連續(xù)可微凸函數(shù);g(x)是連續(xù)凸函數(shù)。對(duì)于任意兩點(diǎn)x1、x2。RN滿足下式:

(9)

式中:L(f)為李普希茲常數(shù);對(duì)于任意L>0的數(shù)值,采用上式求解式(8),即可得到近似目標(biāo)函數(shù)QL(x1,x2):

(10)

進(jìn)而得到極小值點(diǎn)GL(x2)為:

(11)

由此可求得式(8)的迭代解為:

xk=GL(xk-1)。

(12)

1.3 快速迭代收縮閾值正則化改進(jìn)算法

ISTA計(jì)算簡便,但同時(shí)存在迭代速度慢、計(jì)算精度低的缺陷。為此,本文在其基礎(chǔ)上進(jìn)行正則化改進(jìn),通過在ISTA中引入加速因子yk+1,可得:

(13)

通過引入式(13)形成快速迭代收縮閾值正則化改進(jìn)算法。該算法的迭代步驟為:

1)選取迭代初始解,首先給出迭代初始解的預(yù)估值:x=ATb,取閾值參數(shù)t1=1,迭代終止條件取為Tol;

2)采用式(12)對(duì)ISTA算法加速收斂,對(duì)ISTA算法進(jìn)行正則化改進(jìn):

xk+1=Sα(xk)=Sα(yk-AT(Ayk-b))。

(14)

3)判斷‖xk+1-xk‖≤Tol是否滿足,如不滿足返回第2步重新求解。

ISTA求解的迭代值xk僅依賴于前一次的迭代值xk-1。IRFISTA求解的迭代值xk+1不僅依賴于前一次的迭代值xk,還依賴于次迭代值xk和xk+1的線性組合。橋梁移動(dòng)荷載的識(shí)別誤差主要是由環(huán)境噪聲和大型車橋系統(tǒng)矩陣的不適定性引起的,改善識(shí)別方法的魯棒性和抗不適定性是提高移動(dòng)荷載識(shí)別精度的有效手段。本文基于正則化改進(jìn)的思想,在提高算法計(jì)算效率的前提下,通過引入正則化改進(jìn),有效提升了新算法的魯棒性和抗不適定性,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別精度的提高。

2 數(shù)值仿真

以單跨簡支梁為例,梁長L=40 m,梁的單位長度密度ρ=12 000 kg/m,梁抗彎剛度EI=1.28×1011N·m2;數(shù)值計(jì)算分析頻段取0～50 Hz,采樣頻率取為200 Hz。橋梁前三階段固有頻率分別為3.2、12.8、28.8 Hz。車軸軸距為8 m,車輛勻速通過簡支梁,車速c=40 m/s。通過測(cè)量車輛行駛時(shí)簡支梁動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別橋梁移動(dòng)車載,進(jìn)而評(píng)價(jià)IRFISTA的有效性。移動(dòng)車載前軸和后軸動(dòng)態(tài)荷載真實(shí)值分別設(shè)為:

(15)

在識(shí)別過程中,采用相對(duì)誤差百分比(Relative Percentage Error,RPE)來評(píng)價(jià)荷載識(shí)別精度:

(16)

式中:Pidentified表示識(shí)別荷載;Ptrue表示真實(shí)荷載。

2.1 時(shí)變移動(dòng)荷載識(shí)別

將本文提出的IRFISTA應(yīng)用于橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別,并將其與ISTA識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較。數(shù)值模擬過程中考慮3類噪聲水平(1%、5%、10%)的干擾,荷載識(shí)別結(jié)果見表1,表1中 “a”代表加速度響應(yīng);“m”代表彎矩響應(yīng);1/4和1/2表示測(cè)點(diǎn)位于橋跨的1/4L和1/2L位置處;1/4a&1/2a表示采用1/4跨處的加速度響應(yīng)和1/2跨處的加速度響應(yīng)作為輸入響應(yīng)進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別,1/4a&1/2a&1/2m表示采用1/4跨處的加速度響應(yīng)、1/2跨處的加速度響應(yīng)、1/2跨處的彎矩響應(yīng)作為輸入響應(yīng)進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別。當(dāng)誤差值大于100%時(shí)相對(duì)誤差百分比用“-”表示。帶下劃線數(shù)據(jù)為IRFISTA計(jì)算的識(shí)別誤差,無下劃線數(shù)據(jù)為ISTA的識(shí)別誤差。

表1 ISTA與IRFISTA識(shí)別誤差比較

由表1知:隨著噪聲水平的提高,ISTA識(shí)別誤差增大明顯,而IRFISTA識(shí)別誤差略有增大;兩種不同工況組合下的IRFISTA識(shí)別精度均高于ISTA的,表現(xiàn)出良好的抗噪性能。

圖2和圖3分別給出了1%和10%噪聲水平下,ISTA和IRFISTA在加速度響應(yīng)表1中工況1下兩軸車載的識(shí)別結(jié)果。由圖2和圖3可知,當(dāng)單獨(dú)采用加速度響應(yīng)識(shí)別移動(dòng)車載時(shí),IRFISTA所識(shí)別的荷載與真實(shí)荷載的擬合度更高。

圖2 1%噪聲下ISTA與IRFISTA對(duì)兩軸車載的識(shí)別結(jié)果(工況1)

圖3 10%噪聲下ISTA與IRFISTA對(duì)兩軸車載的識(shí)別結(jié)果(工況1)

圖4和圖5分別比較了1%和10%噪聲水平下ISTA和IRFISTA在加速度響應(yīng)和彎矩響應(yīng)組合表1中工況2下兩軸車載的識(shí)別結(jié)果。當(dāng)測(cè)量響應(yīng)數(shù)據(jù)增加后,兩種算法在工況2的識(shí)別精度較工況1的均略有增加,且IRFISTA的荷載識(shí)別結(jié)果較改進(jìn)前的ISTA的有明顯優(yōu)勢(shì)。數(shù)值仿真結(jié)果表明:通過引入正則化改進(jìn),IRFISTA有效提升了ISTA的魯棒性和抗不適定性,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別精度的提高。

圖4 1%噪聲下ISTA與IRFISTA對(duì)兩軸車載的識(shí)別結(jié)果(工況2)

圖5 10%噪聲下ISTA與IRFISTA對(duì)兩軸車載的識(shí)別結(jié)果(工況2)

2.2 收斂效率比較

由于車橋系統(tǒng)矩陣A為大型稀疏矩陣,通常難以計(jì)算其李普希茲常數(shù)。文中提出的新算法通過引入加速步驟以極少的額外計(jì)算量提高了收斂速度,使得ISTA的收斂速度從O(1/k)提升為O(1/k2),改進(jìn)算法有利于提升荷載識(shí)別效率。

圖6對(duì)比了5%噪聲水平下,ISTA和IRFISTA在1/4a&1/2a&1/2m時(shí)函數(shù)值誤差。由圖6可知,與ISTA相比,IRFISTA的收斂效率更高且穩(wěn)定性更好,說明該算法在識(shí)別移動(dòng)荷載時(shí)具有更高的識(shí)別效率。

圖6 ISTA與IRFISTA迭代效率比較

3 結(jié)論

基于移動(dòng)荷載時(shí)域識(shí)別理論和ISTA特征,提出采用迭代正則化改進(jìn)ISTA識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載,提出一種新的算法IRFISTA。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明:

1)IRFISTA在抗噪性能、識(shí)別精度等方面較ISTA有明顯的提高。改進(jìn)后的IRFISTA在保持原有算法簡單性的前提下,實(shí)現(xiàn)了更精確地識(shí)別橋梁移動(dòng)荷載。

2)兩種算法的識(shí)別效率均與迭代次數(shù)相關(guān),針對(duì)ISTA收斂速度慢的特點(diǎn),通過引入加速步驟以極少的額外計(jì)算量提高了收斂速度,改進(jìn)后的IRFISTA具有更高的識(shí)別效率。

3)對(duì)于移動(dòng)荷載識(shí)別中最關(guān)注的識(shí)別精度和識(shí)別效率兩個(gè)方面,改進(jìn)算法較ISTA有明顯提升。但當(dāng)環(huán)境噪聲干擾較大時(shí),在移動(dòng)荷載時(shí)程的局部區(qū)域,IRFISTA識(shí)別荷載與真實(shí)荷載仍有一定的偏差,后續(xù)需針對(duì)該方法開展更深入的研究和探討。