繆仲翠, 王運坤, 王志浩

(1.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院, 甘肅 蘭州 730070; 2.蘭州交通大學 光電技術與智能控制教育部重點實驗室, 甘肅 蘭州 730070)

五相永磁電動機具有功率密度大、控制自由度多,容錯性能好等優(yōu)點,在新能源汽車、航空航天領域和艦船推進系統(tǒng)等高可靠性場合得到了廣泛應用[1-2]。與同容量異步電機相比,多相永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM) 損耗更低、效率更高[3-4]。

直接轉矩控制(direct torque control,DTC)因其對參數(shù)依賴少、轉矩響應迅速等優(yōu)點,在五相永磁同步電機(five-phase permanent magnet synchronous motor,FP-PMSM)調速領域得到了廣泛應用[5]。Zhang等[6]優(yōu)化了控制磁鏈和轉矩的電壓矢量選擇方案,但仍采用了插入過渡電壓矢量的方法以滿足逆變器運行要求。Ozkop等[7]將空間電壓矢量技術引入到DTC,針對FP-PMSM提出了空間矢量調制優(yōu)化DTC策略,獲得了脈動較小的轉矩,但增加了計算量。文獻[8]指出模型預測一定程度上可消除電機參數(shù)失配和模型誤差等因素對系統(tǒng)的影響,保證控制指令的跟蹤。有學者將模型預測結合DTC系統(tǒng),提出有限集模型預測轉矩控制(finite-control-set model predictive torque control,FCS-MPTC)可以直接考慮被控過程的輸入、狀態(tài)和輸出約束條件,較為顯著地改善上述DTC開關頻率低、穩(wěn)態(tài)性能差和轉矩脈動大的缺點[9]。FCS-MPTC采用控制系統(tǒng)通過枚舉法獲得可變的開關頻率,并降低開關損耗的特點[10]。

Abassi等[11-12]對FCS-MPTC算法進行了驗證,該算法控制性能優(yōu)于磁場定向控制,且動態(tài)響應更快,約束力更強;文獻[13]提出電機磁鏈、電流等變量的兩步預測,減少系統(tǒng)延遲造成的預測誤差。文獻[14]中將諧波子空中的電流項加入了傳統(tǒng)的目標函數(shù)中,抑制了多相電機特有的3次諧波;文獻[15]指出轉矩與磁鏈的無差拍估計有利于減小FCS-MPTC計算量。實際上,基于FCS-MPTC雙電壓矢量空間的多周期預測結合滑?？刂?sliding mode control,SMC)系統(tǒng)具有較強的魯棒性,要優(yōu)于基于PI 的FP-PMSM普通調速系統(tǒng),但SMC的抖振限制了其實際應用[16]。分數(shù)階微積分算法對系統(tǒng)參數(shù)攝動不敏感,恰好能夠有效地改善控制系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能[17-18]。將分數(shù)階微積分理論和SMC相結合構建分數(shù)階滑模控制(fractional order sliding mode control,FOSMC),可有效抑制滑模抖振。

本文以FP-PMSM為研究對象,設計并優(yōu)化了適用于FP-PMSM的FCS-MPTC系統(tǒng)。并根據(jù)FP-PMSM數(shù)學模型的特殊性對目標函數(shù)進行了改進,使輸出變量能夠更精確地跟蹤參考變量。同時設計了基于分數(shù)階微積分理論的FOSMC速度控制器,對系統(tǒng)不確定性因素和外部隨機擾動具有較強的魯棒性。最后,仿真實現(xiàn)所設計的FCS-MPTC系統(tǒng),并將設計的FOSMC速度控制器與PI、SMC2種算法進行仿真對比,驗證所設計控制策略的有效性。

1 五相永磁同步電機

由自然坐標系到雙同步旋轉坐標系的擴展變換矩陣T(θe)[19]為:

(1)

式中:θi=θe+(1-i)α(i=1,2,…,5)表示轉子縱軸與a相軸線的電角度;α是相鄰兩相繞組軸線之間的夾角,α=0.4π。

FP-PMSM的電壓矢量空間包含4個自由度分量和1個零序分量。正常運行狀態(tài)下,可根據(jù)變換矩陣T(θe)將自然坐標系中對稱物理量分別映射到雙同步旋轉坐標系d1-q1和d2-q2中。對于繞組按正弦分布且永磁體磁通為正弦波的五相表貼式PMSM,基波變量和±(10j±1),(j=1,2,3,…)次諧波變量經變換矩陣T(θe)的前兩行映射到d1-q1坐標系,電機變量中的±(5j±2),(j=1,2,3,…)次諧波變量經變換矩陣T(θe)的第 3、4行,映射到d2-q2坐標系,且不參與機電能量的轉換。電機變量中的5j,(j=1,2,3,…)次諧波變量被映射到第5行的零序子空間中。對于星形連接的五相對稱繞組,該項始終保持為零[20]。在雙同步旋轉坐標系下,FP-PMSM的數(shù)學模型為:

1)電壓方程:

(2)

2)磁鏈方程:

Ψdq=LdqIdq+ψfT(θe)Λ

(3)

3)電磁轉矩方程:

Te=5/2Npiq1[(Ld-Lq)id1+ψf]

(4)

式中Np為電機磁極對數(shù)。

4)機械運動方程:

(5)

式中:TL為電機負載轉矩;J為轉動慣量;B為傳動系統(tǒng)摩擦系數(shù);ωm為機械角速度。

1.1 離散數(shù)學模型

FCS-MPTC算法首先根據(jù)離散化的電機模型預測一個控制周期Ts之后的狀態(tài)量。根據(jù)式(1)～(3),采用前向歐拉近似法得到FP-PMSM的離散狀態(tài)方程:

(6)

(7)

則A、B和C表示為:

1.2 有限集模型預測控制的實現(xiàn)

由五相電壓源逆變器驅動FP-PMSM的主回路拓撲結構如圖1所示。

圖1 FP-PMSM的主電路Fig.1 FP-PMSM’s main circuit

(8)

將五相逆變器的所有開關狀態(tài)組合代入式(8)中,可以得到32個基本電壓矢量,包括30個非零電壓矢量和2個零電壓矢量。根據(jù)電壓矢量幅值的不同可以分為大矢量、中矢量、小矢量以及零矢量4種。這4種不同幅值的矢量電壓以不同的相位關系構成基波空間和諧波空間,它們都將空間劃分為10個扇區(qū)[21]。

根據(jù)五相坐標變換理論,可得預測方程中的電壓矢量集合與逆變器開關狀態(tài)的關系為:

(9)

式中T為五相逆變器開關矩陣:

通過FCS-MPTC的目標函數(shù)min{fi}選取最優(yōu)基本電壓矢量,可有效降低開關頻率、減少轉矩和磁鏈波動。即在每個采集時刻,通過目標函數(shù)評價基本電壓矢量Vi(i=0,1,2…,31)的作用效果(2個零矢量計為1個),從而選擇出最優(yōu)的電壓矢量組合。根據(jù)式(8),設計目標函數(shù)時,min{fi}的參考變量表征為預測變量與參考變量之間的差值。一般將差值設計為一個采樣周期的絕對值誤差為:

min{fi}=|x*-xp|

(10)

式中:x*為受控變量的參考值;xp為受控變量預測值。MPTC是對定子磁通和轉矩的未來情況進行預測,則基于FP-PMSM的MPTC目標函數(shù)為:

(11)

式中:k1、k2為權重系數(shù),用于處理該項與目標函數(shù)中其他項的權重關系。一般按照轉矩與磁鏈具有相同權重的原則進行初始值設計[22],即k=TN/ψN,TN、ψN分別是額定轉矩、額定磁鏈幅值,并根據(jù)實際情況進行調整以獲得更好的現(xiàn)場控制性能。

式(11)是傳統(tǒng)的FP-PMSM預測控制目標函數(shù)設計方法,但是FP-PMSM的MPTC需要考慮2個旋轉坐標系下的誤差值,為從整體上提高誤差跟蹤精度,同時在目標函數(shù)中引入積分項:

(12)

圖2 FP-PMSM-MPTC最優(yōu)電壓矢量選擇Fig.2 FP-PMSM-MPTC optimal voltage vector selection

(13)

1.3 控制系統(tǒng)的延遲補償

(14)

式中Imax為最大允許定子電流幅值。如果t(k+2)時刻電壓矢量組合生成的預測電流幅值大于Imax,則目標函數(shù)不會選擇該狀態(tài)下對應的電壓矢量組合。反之,則由式(13)和式(5)選擇該電壓矢量組合作為最優(yōu)電壓集合作用于控制系統(tǒng)。

一個采樣周期內基于FP-PMSM的FCS-MPTC實時執(zhí)行算法流程如圖3所示。

圖3 一個采樣周期內FCS-MPTC算法實現(xiàn)Fig.3 Flowchart of FCS-MPTC in one sampling period

2 分數(shù)階滑?？刂破髟O計

2.1 分數(shù)階微積分

Riemann-Liouville(RL) 型分數(shù)階微積分在工程中應用較廣[23-24]:

(15)

根據(jù)RL定義的分數(shù)階積分為:

(16)

整數(shù)階PI的時域內定義式為:

(17)

圖4 分數(shù)階積分示意Fig.4 Schematic diagram of fractional integration

2.2 分數(shù)階滑膜控制器設計

為了進一步提高FP-PMSM系統(tǒng)控制性能,速度控制器設計為FOSMC算法。設計步驟為:

1)切換函數(shù)的構造,合理的切換函數(shù)是滑動模態(tài)漸近穩(wěn)定和動態(tài)性能的保證;

2)分數(shù)階滑模控制律設計,滑?？刂坡墒窍到y(tǒng)狀態(tài)能快速到達滑模面的保證。

2.2.1 分數(shù)階滑模面設計

根據(jù)式(4),可得電機機械角速度微分方程為:

(18)

式中:α=1/J;β=TL/J;γ=B/J。

考慮到電機參數(shù)變化及系統(tǒng)內、外部不確定因素對系統(tǒng)的擾動,式(18)可進一步表示為:

(19)

式中Δγ、Δβ和Δα表示系統(tǒng)模型對不確定性因素的衡量,滿足:

Δα+Δβ+Δλ≤M,M∈R+

定義系統(tǒng)的速度跟蹤誤差為:e(t)=ωref-ωm其中,ωref為速度輸入給定值。

對e(t)求導得:

結合式(18)、 (19)得:

(20)

其中:

定義分數(shù)階滑模面為:

(21)

式中:δ(t)=δ(0)exp(-t/M);M為常數(shù),決定了δ(t)的收斂速度;c1,c2∈R,為滑模面增益。

當系統(tǒng)在滑模面上運動時,滿足:

(22)

由式(19)、式(21)聯(lián)立得到:

(23)

2.2.2 分數(shù)階滑?？刂坡稍O計

等速趨近律為:

用冪次函數(shù)fal(s,κ,ξ)代替sgn(s),可以大幅度削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象,其中:

fal(s,κ,ξ)是線性連續(xù)的,當ξ>0,0<κ<1時可以實現(xiàn)小誤差、大增益等特性。根據(jù)式(20),采用fal函數(shù)的分數(shù)階滑?？刂坡稍O計為:

(24)

由式(19)、式(23)可以得到轉矩控制量輸出為:

可以看出,所設計的控制器中消除了系統(tǒng)中不確定因素,說明基于式(23)設計的控制器對系統(tǒng)內、外部擾動表現(xiàn)出較強的魯棒性。

2.3 穩(wěn)定性證明

采用Lyapunov函數(shù)法證明所設計的FOSMC控制器的穩(wěn)定性,選取Lyapunov函數(shù)為:

(25)

s[μ(t)-εfal(s)]=-ε|s|+sμ(t)≤

-ε|s|+|μ(t)||s|≤(|μ(t)|-ε)|s|

(26)

可以看出,選擇滑模增益ε滿足:

(|μ(t)|-ε)≤0

綜上所述,基于FOSMC的FP-PMSM 的FCS-MPTC系統(tǒng)結構框圖如圖5所示。

圖5 基于FOSMC的FP-PMSM的MPTC結構框圖Fig.5 Block diagram of MPTC structure of FP-PMSM based on FOSMC

3 改善電機電磁轉矩和轉速的有效性仿真分析

為了驗證基于FOMSC的FP-PMSM的FCS-MPTC策略對改善電機電磁轉矩和轉速的有效性,以Matlab/Simulink為平臺進行仿真驗證。并將速度控制器分別為FOSMC、PI、SMC在不同運行工況進行了對比分析。所采用的FP-PMSM參數(shù)如表1所示。

表1 FP-PMSM系統(tǒng)相關參數(shù)Table 1 FP-PMSM system related parameters

3.1 帶載起動

設系統(tǒng)給定速度為額定轉速1 000 r/min,仿真時間設為0.2 s,系統(tǒng)帶初始負載TL(0)=15 N·m起動,FP-PMSM五相電流響應如圖6所示。可以從6(c)看出,與PI控制器和SMC相比,基于FOSMC控制系統(tǒng)的輸出電流波形更為平滑,諧波含量更小。

圖6 五相繞組電流響應對比Fig.6 Comparison graph of five-phase winding current response

為了對比的公平性,通過調整參數(shù)使采用不同控制器的轉速響應穩(wěn)態(tài)誤差相等,轉速響應如圖7所示,表2為不同控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標,穩(wěn)態(tài)誤差ess為0。

圖7 轉速響應對比Fig.7 Comparison graph of speed response

表2 不同控制系統(tǒng)的性能指標Table 2 Performance of different control systems

可以看出,PI控制器不可避免的存在超調,SMC和FOSMC控制器幾乎無超調地跟蹤給定信號,但FOSMC的調整時間更短,有更好的動態(tài)性能。

FP-PMSM控制系統(tǒng)電磁轉矩響應如圖8所示,由局部放大圖可看出基于FOSMC系統(tǒng)轉矩脈動最小。

圖8 轉矩脈動對比Fig.8 Comparison graph of torque ripple

圖9 突加負載時轉速響應對比Fig.9 Speed response comparison charts when sudden load is applied

3.2 空載起動突加負載

系統(tǒng)給定速度為1 000 r/min,仿真時間設為0.6 s,空載起動后在t=0.2 s時突加10 N·m的負載,系統(tǒng)速度響應如9所示。

突加負載時,不同控制策略的性能指標如表3所示。

表3 突加負載時性能指標Table 3 Performance indicators sudden load

可以看出,PI控制的上升速度快,但是調節(jié)時間較慢,超調量大;SMC超調明顯減小,僅為0.9%,但穩(wěn)態(tài)誤差為4 r/min;而FOSMC具有更快的響應速度,超調僅僅0.31%,幾乎可以忽略,穩(wěn)態(tài)誤差只有0.4 r/min,由于電機的慣性平滑作用,可實現(xiàn)零靜差。在0.2 s突加負載后,PI控制器的動態(tài)降落較大,達到了80 r/min,SMC為47 r/min,而FOSMC僅有5 r/min的動態(tài)降落,恢復時間也是最快的,僅0.003 3 s。以上仿真實驗驗證了基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統(tǒng)具有良好的動、靜態(tài)性能和較強的抗負載擾動性。

3.3 變速運行

為了進一步驗證基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統(tǒng)在低、中、高速階段的運行性能和變速時的性能,仿真實驗設定轉速為:0～0.1 s給定100 r/min;0.1～0.2 s給定500 r/min;0.2～0.3 s給定1 000 r/min,并分別在0.05、0.15 s、0.25 s突加10 N·m的負載。系統(tǒng)變速運行速度輸出如圖10,速度跟蹤誤差如圖11所示。

圖10 系統(tǒng)變速運行對比Fig.10 Comparison graph of system variable speed

圖11 變速運行的速度誤差Fig.11 Speed error graph of variable speed

在t=0.1 s和t=0.2 s時刻,由于系統(tǒng)突加階躍給定和系統(tǒng)延遲有較大的誤差,但FOSMC在很短的時間內準確跟蹤了給定信號。在不同階段運行時,系統(tǒng)都能夠保持較小的靜差,說明對于 FP-PMSM在低速、中速、高速運行的情況下,設計的FOSMC控制系統(tǒng)均能較好的滿足控制要求。

3.4 正、反向速度跟蹤

為進一步驗證基于FOSMC速度控制的速度跟隨性能,給定信號設為周期為0.2 s、幅值為1 000 r/min的正弦信號,并包含了電機正、反向的動態(tài)變化。速度跟隨如圖12所示,對應的定子電流如圖13所示。

由圖12可知,系統(tǒng)在跟隨正弦速度給定信號時,誤差在±2 r/min以內;如圖13所示,在速度跟隨過程中電機的電流輸出穩(wěn)定,轉速過零時,電流能平滑換相。

圖12 速度跟隨性能對比Fig.12 Comparison graph of speed following performance

圖13 電機反轉時定子電流Fig.13 Stator current when the motor reverses

4 結論

1)本文提出的模型預測控制的跟隨給定誤差最小目標函數(shù)構造方法,實現(xiàn)了適用于FP-PMSM系統(tǒng)的FCS-MPTC算法;進一步提高FP-PMSM的FCS-MPTC系統(tǒng)控制性能。

2) 基于FOSMC的FCS-MPTC系統(tǒng)比傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的性能更加優(yōu)秀,特別適用于高耦合、變量多的控制系統(tǒng),通用性較強。

本文的控制系統(tǒng)中,FCS-MPTC的目標函數(shù)中權重系數(shù)需要大量的試湊,使系統(tǒng)參數(shù)調節(jié)變的復雜。如何進一步簡化權重系數(shù),如粒子群的權重系數(shù)在線尋優(yōu),或者實現(xiàn)無權重系數(shù)的目標函數(shù)構造,這些將是下一步工作重點。