張勛, 周立廣, 邢文, 姚思博

(哈爾濱工程大學 智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

自主水下航行器(autonomous underwater vehicle,AUV)利用其搭載的各種傳感器模塊和其他任務模塊,在水下資源勘測、水下掃雷、情報搜集等軍事和民用領(lǐng)域起著重要的作用。隨著執(zhí)行海洋任務的難度增加,執(zhí)行任務的環(huán)境變得更加復雜,水下航行器體現(xiàn)出了執(zhí)行任務效率低、工作范圍小、系統(tǒng)冗余性差等不可避免的局限性[1]。多水下航行器協(xié)同執(zhí)行任務可以增加系統(tǒng)的冗余性和魯棒性,降低完成任務的成本,提高工作效率。許多科研人員提出了適用于不同模型的先進編隊控制方法,其中更多的是將動力學模型抽象為一階積分器,實際中,動力學模型抽象為二階積分器更加真實。CUI等[2]提出了一種基于李雅普諾夫反步法的多自主水下航行器編隊協(xié)同運動控制方法。Qi等[3]針對在三維空間運動的欠驅(qū)動水下航行器,提出了一種分布式編隊跟蹤控制器。Rout等[4]建立了多艘由于通信故障而導致編隊不完善的自主水下航行器的一直控制問題。Chen等[5]設(shè)計了一種基于反饋線性化的姿態(tài)控制器,使每個水下機器人的姿態(tài)收斂到其期望值。Yang等[6]利用一致性理論和速度通拓撲控制多水下航行器編隊保持,實現(xiàn)速度和航向一致性?；谟邢蛲ㄐ磐負浣Y(jié)構(gòu),Xia等[7]考慮了二階積分器動力學模型的一致性算法,證明了與速度控制增益大于某個界限時,具有向生成樹的編隊一致性是漸進達成的。任偉等[8]提出了一個二階積分編隊控制協(xié)議,為多智能體編隊的固定拓撲和變換拓撲的情況提供了充分條件。文獻[9]提出了一種采樣周期性間歇采樣一致性控制協(xié)議,將多智能體間的誤差控制在一定范圍內(nèi),降低了控制器的采樣時間。文獻[10]研究了高階線性時變編隊控制,提出一種通用的編隊控制協(xié)議,數(shù)值仿真表明切換拓撲的群系統(tǒng)可以實現(xiàn)一致。文獻[11]研究了一般線性模型的多智能體系統(tǒng)的一致性控制協(xié)議以及事件觸發(fā)一致性,通過在離散的采樣時間,實現(xiàn)了多智能體編隊的一致性。文獻[12]研究了強連通圖結(jié)構(gòu)下,二階多智能體系統(tǒng)的分組一致性。文獻[13]在已知拓撲集合下,設(shè)計了一階編隊控制協(xié)議,解決了已知拓撲集合下的一階多智能體編隊控制問題。文獻[14]的有向拓撲圖條件為強連通且平衡條件,顯然結(jié)果不具有一般性。也有學者從通信延遲進行入手,研究水下航行器的控制問題。文獻[15]討論了多AUV系統(tǒng)在時變通信時延弱通信情況影響下的協(xié)調(diào)控制問題,確定了時變通信時延及其導數(shù)的范圍,得到多AUV系統(tǒng)存在時變通信時延能夠?qū)崿F(xiàn)協(xié)調(diào)控制目標需要滿足的充分條件。文獻[16]討論了具有通信時延和不確定性的多AUV協(xié)調(diào)控制問題,文章中考慮了由于水聲通信引起的通信時延的問題,通過選取適當?shù)?Lyapunov 候選函數(shù),求得候選函數(shù)小于零的條件,應用 LMI 形式獲得了使得多AUV系統(tǒng)實現(xiàn)協(xié)調(diào)控制所滿足的充分條件。文獻[17]設(shè)計不同的控制協(xié)議,應用研究通信時延的基本方法,即 Lyapunov 理論和 LMI 方法,對多AUV協(xié)調(diào)控制進行了分析與研究。

本文在有向切換拓撲和變換編隊隊形情況下,主要研究通過基于水下航行器反饋線性化為二階積分器模型設(shè)計一致性控制算法對多AUV編隊隊形進行控制,本文通過在傳統(tǒng)一致性控制算法中加入水下航行器之間的相對位置信息,并添加速度阻尼器,形成編隊隊形控制律,并對多AUV系統(tǒng)進行穩(wěn)定性的分析。

1 自主水下航行器模型和反饋線性化

本文利用有向圖來描述多AUV系統(tǒng)之間的通信拓撲關(guān)系。假設(shè)編隊內(nèi)有n個成員,定義有向圖G=(V,ε,A),表示該編隊的通信拓撲圖,其中,V={v1,v2,…,vn}表示被定義為AUV單體的頂點,ε?V×V,表示頂點之間邊的集合,A=(aij),?i,j∈Γ,Γ=[1 2 …n]為鄰接矩陣,滿足如果存在邊(vi,vj)即成員vj可以收到成員vi的信息,那么,aij=1,否則aij=0。定義入度矩陣D=diag(deg(v1),deg(v2),…,deg(vn)),如果矩陣L滿足L=D-A,那么稱矩陣L為有向圖G=(V,ε,A)的Laplacian矩陣。AUV固定坐標系及運動坐標系如圖1所示。

1)S是正定的;

2)當且僅當C和A-BC-1BT都是正定的或者A和C-BTA-1B均是正定的。

由于橫搖對平動的影響不大,本文忽略橫搖速度。從而得到了運動學和動力學的非線性耦合方程分別為:

(1)

(2)

式中:η=[x0y0z0θφ]T∈R5表示位置狀態(tài)和歐拉角狀態(tài);J(η)為AUV從載體坐標系到地球坐標系下的雅可比矩陣;υ=[u0,v0,w0,q,r]T∈R5表示速度的狀態(tài);C(υ) 為科里奧利和向心力矩陣;D(υ)代表非線性阻尼矩陣。

式(2)中:M=MR+MA包括了剛體慣性矩陣和附加慣性矩陣,并且M為非奇異矩陣;τ表示控制輸入力和力矩。

文獻[19]中的反饋線性化方法,可以將AUV的動力學模型線性化為二階積分器模型。AUV標準二階積分形式的反饋線性化動態(tài)模型:

(3)

式中:xi∈R5;vi∈R5;ui∈R5。

2 控制器設(shè)計

考慮n個經(jīng)反饋線性化后具有雙積分動態(tài)的AUV組成的系統(tǒng),每個AUV可以表示為:

(4)

式中:xi(t)∈R5;vi(t)∈R5,分別表示第i個航行器的位置和速度;ui(t)∈R5是控制輸入,i=1,2,…,n。

設(shè)計一種分布式多航行器系統(tǒng),只需知道局部航行器之間的相對位置和速度信息,就可以實現(xiàn)全局的協(xié)調(diào)一致。控制器設(shè)計為:

(5)

式中:τ是航行器個體之間的通信延遲;vd(t)是參考速度,hi∈R5和hj∈R5表示航行器i和j的期望相對位置;k0,k1,k2是控制增益;aij表示位置耦合項的鄰接矩陣;bij表示速度耦合項的鄰接矩陣。

控制律由速度阻尼項,航行器位置耦合項和速度耦合項組成,當vd(t)=0時,水下航行器形成靜態(tài)編隊;當vd(t)≠0時,整個編隊以速度vd(t)前進。為了實現(xiàn)穩(wěn)定的編隊,水下航行器達到相同的速度,為了使其保持一定的隊形,要求與相鄰的水下航行器保持預先設(shè)定的位置。

綜上所述,第i個航行器的閉環(huán)控制形式可表示為:

(6)

式中表示的水下航行器能否形成期望隊形,收斂至期望速度,不僅與多AUV之間通信拓撲相關(guān),還取決于反饋增益系數(shù)和時延大小。

對于多AUV系統(tǒng)的任意初始狀態(tài),給定協(xié)議(6)在一個有限時間的區(qū)間內(nèi)t0∈[0,+∞),使得[20]:

(7)

當t>t0時,有xj(t)-hj=xi(t)-hi,vj(t)=vi(t),i,j=1,2,…,n,則稱多AUV系統(tǒng)可以在有限時間里達成一致。

3 控制算法穩(wěn)定性分析

3.1 模型簡化

對于一個時延系統(tǒng),進行穩(wěn)定性分析,需要采用泛函微分方程,本文通過構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函沿著其求導,通過適當?shù)臄?shù)學處理方法,得出使含時延系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的充分條件。

證明:

(8)

(9)

(10)

式(10)經(jīng)過線性變換表示為:

(11)

令

(12)

(13)

將式(13)簡寫為:

(14)

3.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov-Krasovskii泛函為:

(15)

對V(t)沿著系統(tǒng)求導得:

εT(t)Qε(t)-εT(t-τ)Qε(t-τ)+

(16)

將系統(tǒng)方程代入式(16)得:

(17)

（5）我當初嫁武大時，曾不聽得說有什么阿叔，那里走得來！“是親不是親，便要做喬家公。”自是老娘晦氣了，鳥撞著許多事！（明·施耐庵《水滸傳》第24回）

±2xTy≤xTΣ-1x+yTΣy

(18)

所以:

2εT(t)PFε(t)+εT(t)PFR-1FTPε(t)+

(19)

式(19)可以寫成:

τεT(t)PFR-1FTPε(t)+εT(t)Qε(t)-

εT(t-τ)Qε(t-τ)+τεT(t)ETRFε(t-τ)+

τεT(t)ETREε(t)+τεT(t-τ)FTREε(t)+

τεT(t-τ)FTRFε(t-τ)

(20)

令

Λ=(E+F)TP+P(E+F)+

τETRE+Q+τPFR-1FTP

(21)

(22)

令Λ1=(E+F)TP+P(E+F)+τETRE+Q,并由引理1可得:

(23)

4 控制算法仿真結(jié)果

本文給出了數(shù)值仿真例子來驗證編隊隊形控制算法的有效性,考慮4個AUV組成得多AUV系統(tǒng),其有向通信拓撲結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 多AUV系統(tǒng)通信拓撲Fig.2 Multi-AUV system communication topology

多AUV編隊所示通信拓撲結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣A為:

對水下航行器編隊過程進行仿真分析,一致性控制算法中參數(shù)設(shè)置為k0=0.4,k1=0.1,k2=0.2,水下航行器的期望速度設(shè)為vd=0.5 m/s,常數(shù)時延τ=0.5 s,編隊隊形矩陣h設(shè)置為:

將一致性控制算法中位置和速度的通信拓撲在圖2中4個通信拓撲狀態(tài)下進行隨機變化,位置和速度的通信拓撲變化時序圖如圖3所示,多AUV系統(tǒng)編隊隊形變化如圖4所示,多AUV系統(tǒng)的縱傾角和艏向角變化如圖5、6所示,多AUV系統(tǒng)的圖7所示,縱傾角和艏向角速度如圖8所示。隨機布放4個水下航行器,多AUV編隊在不同位置開始形成編隊,并在300 s左右時形成穩(wěn)定編隊隊形,保持編隊一段時間后,在1 000 s時進行編隊隊形變換。通過仿真驗證了多AUV編隊在切換拓撲的情況下可以快速形成穩(wěn)定的編隊,并在編隊隊形變化時,能夠快速改變編隊隊形,并保持穩(wěn)定隊形,證明了控制算法的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖3 位置和速度切換拓撲時序圖Fig.3 Position and speed switching topology timing diagram

圖4 多AUV編隊隊形變換Fig.4 Multi-AUV formation change diagram

圖5 切換拓撲下多AUV的縱傾角Fig.5 The inclination angle of multiple AUVs in switching topology

圖6 切換拓撲下多AUV的艏向角Fig.6 The heading angle of multiple AUVs in switching topology

圖7 切換拓撲下多AUV的速度Fig.7 The velocity of multiple AUVs in switching topology

在圖7仿真結(jié)果中可以明顯看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4組成的多水下航行器系統(tǒng),在切換拓撲條件下和編隊進行變換時,水下航行器的北向速度,東向速度和縱向速度在動態(tài)變化的情況下可以快速達成一致,并保持和變化編隊隊形。

在圖8的仿真結(jié)果中可以明顯看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4組成的水下航行器系統(tǒng),在通信拓撲動態(tài)變化的情況下,多AUV系統(tǒng)形成穩(wěn)定編隊后,縱傾角速度和艏向角速度保持穩(wěn)定,在編隊隊形變化時仍然可以保持穩(wěn)定。

圖8 切換拓撲下多AUV的角速度Fig.8 The velocity of multiple AUVs in switching topology

5 結(jié)論

1)提出的帶有速度阻尼器的一致性編隊隊形控制算法,可在有向切換拓撲條件下實現(xiàn)編隊一致性控制。

2)利用Lyapunov-Krasovskii泛函,以及積分不等式和矩陣不等式數(shù)學方法證明,得出的使多AUV編隊系統(tǒng)可以實現(xiàn)一致的充分條件。

3)通過計算機仿真在有向通信拓撲發(fā)生變化和編隊隊形發(fā)生變化環(huán)境下,本文控制方法具有有效性和穩(wěn)定性。

基于本文的研究內(nèi)容,將考慮研究具有時變時延下以及存在外界干擾下多AUV系統(tǒng)的控制問題。