【摘要】通過“換元”分析題目、梳理思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算、解決問題，是高中一種至關(guān)重要的解題技巧.文章參考2019年人教版高中數(shù)學(xué)教材核心知識(shí)點(diǎn)，從內(nèi)涵、價(jià)值、方法、類型題等多個(gè)維度層層深入，探究換元法的具體應(yīng)用，希望對(duì)一線教師的教學(xué)有一定啟發(fā)，幫助學(xué)生在高中數(shù)學(xué)解題中全面掌握換元法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；換元法；解題教學(xué)

引 言

換元法是一種數(shù)學(xué)解題方法，體現(xiàn)著重要的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)方程、不等式、函數(shù)等問題中有著十分廣泛的應(yīng)用.教師應(yīng)使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值，掌握其應(yīng)用技巧，以培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)解題能力，使其數(shù)學(xué)思想、能力等實(shí)現(xiàn)良好的發(fā)展.這要求教師立足實(shí)際研究換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，全面把握其基本方法與關(guān)聯(lián)題型，為學(xué)生提供恰到好處的指導(dǎo).

一、換元法的內(nèi)涵

換元法也稱“變量代換法”“輔助元素法”，是一種在數(shù)學(xué)解題過程中以新的變量取代原有變量的方法.展開來(lái)說，換元法是在數(shù)學(xué)解題過程中引入一個(gè)或多個(gè)新的變量代替題目中原有的某些復(fù)雜或干擾變量，從而將分散在題目中的已知條件準(zhǔn)確聯(lián)系起來(lái)，突出隱含條件，將題目變成學(xué)生更容易理解的形式，簡(jiǎn)化煩瑣的運(yùn)算過程.

二、換元法在高中數(shù)學(xué)不同類型題中的應(yīng)用

掌握換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，應(yīng)準(zhǔn)確理解其適用題型.這樣，學(xué)生才能在面對(duì)換元法相關(guān)題目時(shí)，及時(shí)確定“換元”解題思路，節(jié)約思考時(shí)間.因此，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸類典型題，探索換元法在高中數(shù)學(xué)不同類型題中的應(yīng)用.比如，方程問題、函數(shù)問題、不等式問題、數(shù)列問題.

（一）方程問題

方程問題是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的一項(xiàng)知識(shí)，是學(xué)生解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等其他問題的重要基礎(chǔ).以人教版高中數(shù)學(xué)教材為例（2019年版），其在高一必修第一冊(cè)便編排了“一元二次方程”知識(shí)點(diǎn)，足見方程在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要性.而對(duì)于一些復(fù)雜的方程問題，只有通過換元才能順利求解.

（二）函數(shù)問題

高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題可概括為“基礎(chǔ)函數(shù)問題”與“三角函數(shù)問題”，前者還可細(xì)分為“二次函數(shù)基礎(chǔ)問題”“指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)問題”“對(duì)數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)問題”等，后者由于在“三角形”背景下，因此被單獨(dú)歸類.換元法不僅可以用于解決“二次函數(shù)”等基礎(chǔ)函數(shù)問題，還在三角函數(shù)問題的解答中有特殊功能.教師應(yīng)使學(xué)生全面掌握函數(shù)問題中的換元技巧.而“換元法在基礎(chǔ)函數(shù)解題的應(yīng)用”中，主要題型有“函數(shù)解析式問題”與“最值問題”，下面將結(jié)合具體例題一一論述.

1.函數(shù)解析式問題

一般情況下，高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式問題可以通過待定系數(shù)法求解，若題中已知條件無(wú)法滿足待定系數(shù)法解題需要，換元法便派上了用場(chǎng).

2.最值問題

高中數(shù)學(xué)最值問題包括“最大值”“最小值”問題，在二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)中均有應(yīng)用.而且，在某種意義上，圓錐曲線方程問題也屬于函數(shù)問題，上述“三角換元解橢圓方程最大值”問題，本質(zhì)上也是換元法在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用.因此在本部分，將不再對(duì)圓錐曲線方程最值問題展開贅述，以二次函數(shù)為重點(diǎn)討論對(duì)象.

通過將三角函數(shù)中某一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式換元，引發(fā)原函數(shù)其他變量的相應(yīng)變化，將原函數(shù)由三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)“換元”后函數(shù)變量取值范圍變化情況確定二次函數(shù)定義域，求出其值域，該值域也是原函數(shù)待求值域.在換元法與三角函數(shù)問題的緊密融合中，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題難度也大大降低.

（三）不等式問題

不等式問題同樣是人教版高一必修第一冊(cè)（2019年版）第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”部分教學(xué)內(nèi)容，其典型題目包括求不等式某一變量取值范圍、證明不等式等.

具體來(lái)說，此題應(yīng)用三角換元法，通過設(shè)原不等式變量x為三角函數(shù)cosθ，同時(shí)設(shè)定角θ取值范圍，將不等式轉(zhuǎn)化為與sinθ相關(guān)的關(guān)系式.之后，可根據(jù)角θ在特殊取值范圍下的值域確定sinθ取值范圍，從而反證不等式，降低不等式證明難度.但是在應(yīng)用此技巧時(shí)，還要注意換元的等價(jià)性，不僅要保持題目各個(gè)變量之間的關(guān)系不變，還要使各變量取值范圍在換元前后保持一致.

（四）數(shù)列問題

換元法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，主要包括在數(shù)列的遞推通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式過程中，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列；在關(guān)于數(shù)列的不等式問題中，求解數(shù)列最值.

例如，人教版高二選擇性必修第二冊(cè)（2019年版）第四章“數(shù)列”教學(xué)中，有下列題目：

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題中，換元法既可以保障解題效果，又可以使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，感悟換元法應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題中具有的極高現(xiàn)實(shí)意義.教師應(yīng)使學(xué)生領(lǐng)會(huì)換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的常見方法，同時(shí)區(qū)分適用于換元法的不同題型，使學(xué)生全面掌握換元法應(yīng)用技巧.此外，教師還需讓學(xué)生建立“勿忘換元”意識(shí)，使其“換元”有始有終.

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