摘要： 利用截尾的方法， 考慮次線性期望空間下廣義負(fù)相依（END）隨機變量序列Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂問題， 得到了次線性期望空間下END隨機變量序列Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性. 將概率空間下END隨機變量序列Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂拓展到了次線性期望空間下， 推廣了Jamison定理.

關(guān)鍵詞： 次線性期望； 幾乎處處收斂； Jamison型加權(quán)和； END隨機變量序列； 截尾

中圖分類號： O211.4 文獻標(biāo)志碼： A 文章編號： 1671－5489（2023）04－0808－07

Almost Sure Convergence of Jamison Type Weighted Sums ofEND Sequence in Sub－linear Expectation Space

LIU Lunyi， WU Qunying

（College of Science， Guilin University of Technology， Guilin 541004， Guangxi Zhuang Autonomous Region， China）

Abstract： We considered the convergence problem of the Jamison type weighted sums of extended negatively dependent （END） random variab

le sequences in a sub－linear expectation space by using the truncation method， and obtained the convergence of the Jamison type weighted sums of END random variable sequences in a sub－linear expectation space. We extended" almost sure" convergence of Jamison type weighted sums of END" random variable sequences" in probability spaces to sub-linear expectation spaces， and the Jamison theorem was generalized.

Keywords： sub－linear expectation； almost sure convergence； Jamison type weighted sum； END random variable sequence； truncation

1 引言與預(yù)備知識

概率極限理論在數(shù)學(xué)、 統(tǒng)計和金融等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛， 適用于模型確定的情形. 隨著極限理論在金融、 風(fēng)險度量等領(lǐng)域的不斷發(fā)展， 經(jīng)典極限理論局限性逐漸突顯， 而非線性可在數(shù)學(xué)模型不確定條件下進行分析和計算. 因此， Peng［1］提出了次線性期望空間的概念， 有效解決了傳統(tǒng)概率空間理論在統(tǒng)計、 經(jīng)濟等領(lǐng)域的受限情況. 目前， 關(guān)于次線性期望空間的研究已取得了許多結(jié)果， 例如： Peng［2］將概率空間的中心極限理論引入到了次線性期望空間中； Zhang［3－5］給出了次線性期望的Kolmogorov強大數(shù)定律（SLLN）和矩不等式； Wu等［6］給出了次線性期望空間下的強大數(shù)律和Chover’s型重對數(shù)律； Ma等［7］給出了次線性期望空間下廣義負(fù)相依（END）序列加權(quán)和的強大數(shù)律的一些條件. 另一方面， 關(guān)于Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性研究在概率空間下也取得了許多成果. 如文獻［8－10］分別在兩兩NQD（negatively quadrant dependent）、 END和NA（negatively asscociated）隨機變量序列的條件下討論了Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性， 得到了概率空間下不同序列的Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性， 推廣了Jamison型定理. 但在次線性期望空間中， 關(guān)于幾乎處處收斂的推廣成果目前報道較少， 因為容度和次線性期望之間不再有線性性， 因此一些原來可應(yīng)用于概率空間下的方法并不能應(yīng)用于次線性期望空間. 本文在已有理論的基礎(chǔ)上， 考慮次線性期望空間下END隨機變量序列的Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性， 拓展了Jamison定理.

參考文獻

［1］PENG S G. Multi－dimensional G－Brownian Motion and Related Stochastic Calculus under G－Expectation ［J］. Stochastic Process" Appl， 2008， 118（12）： 2223－2253.

［2］PENG S G. A New Central Limit Theorem under Sublinear Expectations ［J/OL］. Mathematics P R， （2008－03－18）［2022－01－17］. https：∥arxiv.org/pdf/0803.2656.pdf.

［3］ZHANG L X. Strong Limit Theorems for Extended Independent Random Variables and Extended Negatively Dependent Random Variables under Sub－linear Expctations ［J］. Acta Math Sci Ser B （Engl Ed）， 2022， 42（2）： 467－490.

［4］ZHANG L X. Exponential Inequalities under Sub-linear Expectations with Applications to Law of the Iterated Logarithm ［J］. Sci China Math， 2016， 59（12）： 2503－2526.

［5］ZHANG L X. Rosenthal’s Inequalities for Independent and Negatively Dependent Random Variables under Sub－linear Expectations with Applications ［J］. Sci China Math， 2016， 59（4）： 751－768.

［6］WU Q Y， JIANG Y Y. Strong Law of Large Numbers and Chover’s Law of the Iterated Logarithm under Sub－linear Expectations ［J］. J Math Anal Appl， 2018， 460（1）： 252－270.

［7］MA X C， WU Q Y. On Some Conditions for Strong Law of Large Numbers for Weighted Sums of END Random Variables under Sublinear Expectations ［J/OL］. Discrete Dyn Nat Soc， （2019－04－11）［2022-08-16］. https：//doi.org/10.1155/2019/7945431.

［8］吳群英. 兩兩NQD列的廣義Jamison型加權(quán)和的強收斂性 ［J］. 數(shù)學(xué)研究， 2001， 34（4）： 386－393. （WU Q Y. Strong Convergence" Properties of Jamison Weighted Sums for Pairwise NQD Random Sequences ［J］. Journal of Mathematical Study， 2001， 34（4）： 386－393.）

［9］YANG J G. Strong Stability of a Type of Jamison Weighted Sums for END Random Variables ［J］. J Korean Math Soc， 2017， 54（3）： 897－907.

［10］王定成， 蘇淳， 冷勁松. NA序列廣義Jamison型加權(quán)和的幾乎處處收斂性 ［J］. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報， 2002， 25（1）： 77－87. （WANG D C， SU C， LENG J S. Almost Sure Convergence of Generalized Jamison’s Weighted Sums for NA Sequence ［J］. Acta Mathematicae Applicatae Sinica， 2002， 25（1）： 77－87.）

［11］JAMISON B， OREY S， PRUITT W. Convergence of Weighted Averages of Independedt Random Variables ［J］. Probab Theory Related Fields， 1965（4）： 40－44.

［12］陳曉聰， 吳群英. 次線性期望空間下END陣列加權(quán)和的完全收斂性 ［J］. 應(yīng)用數(shù)學(xué)， 2022， 35（3）： 586－592. （CHEN X C， WU Q Y. Complete Convergence of Weighted Sums for Arrays of END Random Variables under Sub－linear Expectation ［J］. Mathematica Applicata， 2022， 35（3）： 586－592.）

［13］EUGENE S. Regularly Varying Functions ［M］. Lecture Notes in Mathmatics， Vol.508. Berlin： Springer－Verlag， 1976： 1-52.

（責(zé)任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2022－09－01.

第一作者簡介： 劉倫義（1998—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事概率極限理論的研究， E－mail： 2602965031@qq.com. 通信作者簡介： 吳群英（1961—）， 女， 漢族， 博士， 教授， 從事概率極限理論的研究， E－mail： wqy666@glut.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 12061028）.