摘要： 首先， 利用權(quán)函數(shù)方法討論非齊次核的半離散Hilbert型逆向不等式， 給出最佳半離散Hilbert型逆向不等式的等價條件及各參數(shù)間的關(guān)系； 其次， 作為應(yīng)用給出等價的算子表示及若干特例.

關(guān)鍵詞： 非齊次核; 半離散Hilbert型逆向不等式; 最佳常數(shù)因子; 算子表示; Beta函數(shù)

中圖分類號： O178 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1671－5489（2023）04－0823－08

Equivalent Conditions and Operator Expressions forthe Best Half－Discrete Hilbert－Type InverseInequality with Non－h(huán)omogeneous Kernel

HONG Yong1， ZHANG Lijuan1， KONG Yinying2， LI Zhen2

（1. Department of Applied Mathematics， Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China;2. College of Statistics and Mathematics， Guangdong University of Finance and Economics， Guangzhou 510320， China）

Abstract： Firstly， by using the power function method， we discussed the half－discrete Hilbert－type inverse inequality with non－h(huán)omogeneous kernelgave equivalent conditions for the best half－discrete Hilbert－type inverse inequality and the relationship" between the parameters. Secondly，" as an application， we gave" the equivalent operator expressions and some special cases.

Keywords： non－h(huán)omogeneous kernel; half－discrete Hilbert－type inverse inequality; the best constant factor; operator expression; Beta function

參考文獻(xiàn)

［1］HARDY G H， LETTLEWOOD J E， PLYA G. Inequalities ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1952： 255－284.

［2］洪勇. 關(guān)于零階齊次核的Hardy－Hilbert型不等式 ［J］. 浙江大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2013， 40（1）： 15－18. （HONG Y. On Hardy－Hilbert Type Integral Inequality with Homogeneous Kernel of 0－Degree ［J］. Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2013， 40（1）： 15－18.）

［3］洪勇， 孔蔭瑩. 含變量可轉(zhuǎn)移函數(shù)核的Hilbert型級數(shù)不等式 ［J］. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報， 2014， 34A（3）： 708－715. （HONG Y， KONG Y Y. A Hilbert Type Series Inequality with Transferable Variable Kernel ［J］. Acta Mathematica Scientia， 2014， 34A（3）： 708－715.）

［4］楊必成. 一個推廣的具有最佳常數(shù)的Hardy－Hilbert積分不等式 ［J］. 數(shù)學(xué)年刊A輯（中文版）， 2000， 21A（4）： 401－408. （YANG B C. A Generalized Hardy－Hilbert－Type Integral Inequality with the Best Constant Factor ［J］. Chinese Annals of Mathematics， 2000， 21A（4）： 401－408.）

［5］RASSIAS M T， YANG B C. On a Hilbert－Type Integral Inequality in the Whole Plane Related to the Extended Riemann Zeta Function ［J］. Complex Analysis and Operator Theory， 2019， 13（4）： 1765－1782.

［6］匡繼昌. 常用不等式 ［M］. 5版. 濟(jì)南： 山東科學(xué)技術(shù)出版社， 2021： 744－772. （KUANG J C. Applied Inequalities ［M］. 5th ed. Jinan： Shandong Science and Technology Press， 2021： 744－772.）

［7］洪勇. 一類具有準(zhǔn)齊次核的涉及多個函數(shù)的Hilbert型積分不等式 ［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)報（中文版）， 2014， 57（5）： 833－840. （HONG Y. A Hilbert－Type Integral Inequality with Quasi－h(huán)omogeneous Kernel and Several Functions ［J］. Acta Mathematica Sinica （Chinese Series）， 2014， 57（5）： 833－840.）

［8］YANG B C. On an Extension of Hilbert’s Integral Inequality with Some Parameters ［J］. The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2004， 1（1）： 11－1－11－8.

［9］高明哲. Hardy－Riesz拓廣了的Hilbert不等式的一個改進(jìn) ［J］. 數(shù)學(xué)研究與評論， 1994， 14（2）： 255－259. （GAO M Z. An Improvement of Hardy－Riesz’s Extension of the Hilbert Inequality ［J］. Journal of Mathematical Research and Exposition， 1994， 14（2）： 255－259.）

［10］KUANG J C. On New Extensions of Hilbert’s Integral Inequality ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1999， 235（2）： 608－614.

［11］LI Y J， HE B. On Inequalities of Hilbert’s Type ［J］. Bulletin of the Australian Mathematical Society， 2007， 76（1）： 1－13.

［12］KRNIC＇ M， PEARIC＇ J E. Hilbert’s Inequalities and Their Reverses ［J］. Publicationes Mathematicae Debrecen， 2005， 67（3/4）： 315－331.

［13］RASSIAS M TH， YANG B C， RAIGORODSKII A. On a More Accurate Reverse Hilbert－Type Inequality in the Whole Plane ［J］. Journal of Mathematical Inequalities， 2020， 14（4）： 1359－1374.

［14］洪勇， 溫雅敏. 齊次核的Hilbert型級數(shù)不等式取最佳常數(shù)因子的充要條件 ［J］. 數(shù)學(xué)年刊A輯（中文版）， 2016， 37A（3）： 329－336. （HONG Y， WEN Y M. A Necessary and Sufficient Conditions of that Hilbert Type Series Inequality with Homogeneous Kernel "Has the Best Constant Factor ［J］. Chinese Annals of Mathematics， 2016， 37A（3）： 329－336.）

［15］洪勇， 吳春陽， 陳強(qiáng). 一類非齊次核的最佳Hilbert型積分不等式的搭配參數(shù)條件 ［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2021， 59（2）： 207－212. （HONG Y， WU C Y， CHEN Q. Matching Parameter Conditions for the Best Hilbert－Type Integral Inequality with "a Class of Non－h(huán)omogeneous Kernels ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2021， 59（2）： 207－212.）

［16］楊必成， 陳強(qiáng). 一類非齊次核逆向的Hardy型積分不等式成立的條件 ［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2017， 55（4）： 804－808. （YANG B C， CHEN Q. Equialent Conditions of Existence of a Class of Reverse Hardy－Type Integral Inequalities with Non－h(huán)omogeneous "Kernel ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2017， 55（4）： 804－808.）

［17］HE B， HONG Y， LI Z. Conditions for the Validity of a Class of Optimal Hilbert Type Multiple Integral Inequalities with Nonhomogeneous Kernels ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2021－04－02）［2022-07-10］. https：//doi.org/10.1186/s13660－021－02593－z.

［18］LIAO J Q， HONG Y， YANG B C. Equivalent Conditions of a Hilbert－Type Multiple Integral Inequality Holding ［J/OL］. Journal of Function Spaces， （2020－04－15）［2022-07-10］. https：//doi.org/10.1155/2020/3050952.

［19］HONG Y， HUANG Q L， YANG B C， et al. The Necessary and Sufficient Conditions for the Existence of a Kind of Hilbert－Type Multiple Integral Inequality with the Non－h(huán)omogeneous Kernel and Its Applications ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2017－12－28）［2022-07-12］. https：//doi.org/10.1186/s13660－017－1592－8.

［20］HONG Y， HUANG Q L， CHEN Q. The Parameter Conditions for the Existence of the Hilbert－Type Multiple Integral Inequality and Its Best Constant Factor ［J/OL］. Annals of Functional Analysis， （2020－10－15）［2022-07-12］. https：//doi.org/10.1007/s43034－020－00087－5.

［21］CHEN Q， YANG B C. A Reverse Hardy－Hilbert－Type Integral Inequality Involving One Derivative Function ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2020－12－11）［2022-08-15］. https：//doi.org/10.1186/s13660－020－02528－0.

［22］WANG A Z， YANG B C， CHEN Q. Equivalent Properties of a Reverse Half－Discrete Hilbert’s Inequality ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2019－11－04）［2022-08-15］. https：//doi.org/10.1186/s13660－019－2236－y.

［23］HUANG Z X， SHI Y P， YANG B C. On a Reverse Extended Hardy－Hilbert’s Inequality ［J/OL］. Journal of Inequalities and Applications， （2020－03－12）［2022-08-15］. https：//doi.org/10.1186/s13660－020－02333－9.

（責(zé)任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2022－09－26.

第一作者簡介： 洪 勇（1959—）， 男， 漢族， 碩士， 教授， 從事調(diào)和分析及解析不等式的研究， E－mail： hongyonggdcc@yeah.net.

基金項目： 廣東省基礎(chǔ)與應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金（批準(zhǔn)號： 2022A1515012429）、 廣州華商學(xué)院科研團(tuán)隊項目（批準(zhǔn)號： 2021HSKT03）和廣東省教育科學(xué)規(guī)劃項目（批準(zhǔn)號： 2021GXJK201）.