一天晚上，我跟朋友們玩科學(xué)知識(shí)問(wèn)答的游戲。我們分成兩組，針對(duì)每個(gè)問(wèn)題給出答案，最接近正確答案的小組得一分。

游戲規(guī)則既簡(jiǎn)單又明確，然而經(jīng)過(guò)幾輪后，一個(gè)天文學(xué)問(wèn)題引發(fā)了意想不到的爭(zhēng)議。這個(gè)問(wèn)題是地球和月球之間的距離。我們組沒(méi)人知道確切的答案，經(jīng)過(guò)商討后給出的答案是80萬(wàn)千米。另一組的討論似乎更激烈，過(guò)了會(huì)兒，他們也給出了答案：10千米。

顯然，他們對(duì)天文學(xué)的了解比我們還要少。世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度接近9千米。如果月球距離地球只有10千米，那么爬上珠穆朗瑪峰就差不多可以夠得到衛(wèi)星了。這個(gè)答案很荒謬，我們組似乎勝券在握。

但是，對(duì)照正確答案的結(jié)果卻讓人感到困惑不已。月球和地球之間的距離實(shí)際上是384000千米，我們的答案和正確答案差了416000千米，而另一組的答案只差了383990千米。

毫無(wú)疑問(wèn)，他們的答案比我們的更接近現(xiàn)實(shí)，他們贏了。但是，你不覺(jué)得這種情況有些不公平嗎？為什么數(shù)學(xué)似乎告訴我們的是相反的答案呢？為什么計(jì)算會(huì)斬釘截鐵地偏向那個(gè)顯然更離譜的答案呢？

如果花點(diǎn)心思深入探究，可能就會(huì)想到很多類(lèi)似的情況。貓的平均身高是25厘米，拉布拉多犬的平均身高是60厘米，一些細(xì)菌的高度是千分之一毫米。因此，就高度而言，與拉布拉多犬相比，貓更接近細(xì)菌。貓和細(xì)菌的高度差了大約25厘米，但貓和狗的高度差了大約35厘米。

同樣地，這個(gè)結(jié)果與我們對(duì)現(xiàn)實(shí)的固有感知背道而馳。貓和狗同屬一個(gè)世界，相反，如果貓沒(méi)有學(xué)過(guò)科學(xué)知識(shí)，它就根本不會(huì)知道細(xì)菌的存在。細(xì)菌如此之小，以至于對(duì)于貓既是不可見(jiàn)的，也是不可想象的。

通過(guò)類(lèi)似推理，我們可以給出大量的例子，所有這些例子都有違直覺(jué)，但在數(shù)學(xué)上卻是確切無(wú)誤的。那么，如何才能把這些直覺(jué)性的思考納入數(shù)學(xué)的范疇？基本的思路很簡(jiǎn)單：按數(shù)量級(jí)去思考，采取乘法思維，而不是加法思維。

如果蒙上你的眼睛，在你的一只手里放一個(gè)重10克的物體，另一只手里放一個(gè)重20克的物體，你馬上就能說(shuō)出哪個(gè)物體更重。但如果是兩個(gè)分別重10千克和10千克零10克的物體，你就會(huì)很難說(shuō)出哪個(gè)更重。然而，這兩組物體的重量之差卻是一樣的：10克。但從乘法的角度來(lái)看，重量的變化一目了然：第一種情況從10克到20克，相當(dāng)于從單倍變成了雙倍；但在第二種情況下，兩個(gè)物體的重量只差了0.1%。

視覺(jué)也一樣。你是否曾試過(guò)在大白天開(kāi)燈？如果太陽(yáng)光已經(jīng)灑滿(mǎn)房間，那么開(kāi)燈幾乎不會(huì)造成任何的改變。相反，如果你在晚上打開(kāi)同一盞燈，這一次燈光會(huì)穿透黑暗，而且看起來(lái)灑滿(mǎn)了整個(gè)房間。燈光讓我們清楚地看到了片刻之前在昏暗之中無(wú)法看到的東西。

但是，天花板上的燈在白天發(fā)出的光并不比晚上少。無(wú)論是白天還是夜晚，這盞燈都發(fā)出同樣多的光。也就是說(shuō)，從加法的角度來(lái)說(shuō)，兩種情況下的亮度之差是一樣的。但這不是我們雙眼所感知到的“加法的差距”。我們看到的是相對(duì)之差，也就是“乘法的差距”。白天，燈光的亮度與太陽(yáng)光的亮度相比微乎其微；夜晚，掌控一切的是占據(jù)優(yōu)勢(shì)的燈光。

回過(guò)頭來(lái)想想你所有的感覺(jué)：視覺(jué)、觸覺(jué)、味覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、嗅覺(jué)，甚至還可以想想你對(duì)逝去的時(shí)間、通過(guò)的距離的感知，并以更為主觀的方式想想你情緒的強(qiáng)烈程度。一旦開(kāi)始以乘法而非加法的思維去思考這些事物，你就會(huì)更好地適應(yīng)所有這些朝你撲面而來(lái)的感知了。

（摘自《數(shù)學(xué)的雨傘下》，人民郵電出版社，張?jiān)崎_(kāi)圖）