三棱錐的外接球問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，常見的命題形式有：根據(jù)已知條件，求三棱錐外接球的半徑、體積、表面積.這類問題側(cè)重于考查三棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)、體積公式以及表面積公式.求解三棱錐的外接球問題的常用方法有補(bǔ)形法、截面性質(zhì)法、坐標(biāo)法等.坐標(biāo)法是指建立合適的空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求得問題的答案.

運(yùn)用坐標(biāo)法求解三棱錐的外接球問題的基本步驟為：

1．根據(jù)題意和幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系.通常要尋找兩兩相互垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，并將其視為x、y、z軸，將交點(diǎn)視為原點(diǎn)，來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系；

2．給題目中所涉及的各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)，并求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

3．確定三棱錐的外接球的球心．一般地，可根據(jù)球的定義：球面上的點(diǎn)到球心的距離相等來(lái)建立關(guān)系式，求得球心的坐標(biāo)；

4．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得球的半徑，并根據(jù)球的體積公式、表面積公式得出問題的答案.

下面舉例說(shuō)明.

例1．

解：

因?yàn)锳BCD為菱形，所以在ΔCAB中，CB＝BA，可 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以其中線和底邊AC為x、y軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)需過(guò)0點(diǎn)作垂直于平面ABC的直線OD，并將其看作z軸.再設(shè)出并求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)球的半徑｜HB｜＝｜HD｜＝R，建立關(guān)系式，即可求得球心的坐標(biāo)、球的半徑以及球的體積.

例2．如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為23，LBAD＝60°，將ΔABD沿對(duì)角線BD折起，使二面角A—BD—C為120°，則四面體ABCD的外接球的表面積為

解：

解答本題，要先根據(jù)菱形的特點(diǎn)以及等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的中線、高線、角平分線三線合一，建立空間直角坐標(biāo)系.與例1不同的是，此時(shí)z 軸不在平面ABD 內(nèi)，是與AA1平行的.建立空間直角坐標(biāo)系后，便可根據(jù)球的半徑相等，即HA=HB= R ，建立關(guān)系式，即可求得球心的坐標(biāo).

例3.在三棱錐 S - ABC 中，ΔABC 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ΔSAB 是以 AB 為斜邊的直角三角形，二面角 S - AB - C 的大小為60°，則該三棱錐外接球的表面積為""" ．

解：

在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，除了要確保三條垂線交于一點(diǎn)，還需盡可能地使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，或者坐標(biāo)平面上，這樣有利于快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.對(duì)于本題，為了使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)平面上，需以平面 ABX 為 xOy 平面來(lái)建立坐標(biāo)系.

例4.

解：

由于 ABCD 為等腰梯形，所以可根據(jù)其特點(diǎn)，以 CD 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CD 為 x 軸，OM 為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，這樣便可快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并在平面 ABCD 內(nèi)，利用平面幾何知識(shí)求得 S點(diǎn)的坐標(biāo)以及球的半徑.

用坐標(biāo)法求解三棱錐的外接球問題，關(guān)鍵在于如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并準(zhǔn)確求出三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離均相等的性質(zhì)建立等量關(guān)系，進(jìn)而求出球心的坐標(biāo)和球的半徑.通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，成功實(shí)現(xiàn)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，這樣便能大大降低解題的難度.

（作者單位：廣西柳州鐵一中學(xué)）