平面向量數(shù)量積問題常見的命題形式有：（1）根據(jù)已知向量和夾角，求兩個(gè)向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積，求參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)已知向量及其數(shù)量積；求兩個(gè)向量的夾角.求解平面向量數(shù)量積問題的常用方法有：定義法、坐標(biāo)法、投影法、幾何性質(zhì)法、分解轉(zhuǎn)化法等.本文主要談一談定義法、坐標(biāo)法、分解轉(zhuǎn)化法及其應(yīng)用技巧.

一、定義法

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積，即兩個(gè)向量α與β的數(shù)量積為α?β=α?β? cos θ，其中|α|、|β|是兩個(gè)向量的模，θ是兩個(gè)向量α與β 的夾角0≤θ≤π.運(yùn)用定義法解答平面向量數(shù)量積問題，需先根據(jù)已知條件求出目標(biāo)向量的模和夾角，然后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義α?β=α?β? cos θ求出兩個(gè)向量的數(shù)量積.

例1.如圖1，已知ΔABC 的外接圓的圓心為 O，

解：

由正余弦定理可求得1A0BC，由圓心角與圓周角之間的關(guān)系可求出兩個(gè)向量 AO、BC 的夾角，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，即可求出兩個(gè)向量AO|BC的數(shù)量積.

例2

解：

由于AD、DB為正六邊形的對(duì)角線，所以根據(jù)正六邊形的幾何特征和性質(zhì)即可求出以及兩 個(gè)向量AD、DB的夾角，便能直接根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解.因?yàn)閮蓚€(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)的夾角與不共起點(diǎn)時(shí)的夾角互補(bǔ)，所以在運(yùn)用平面向量數(shù)量積的定義解題時(shí)，要注意先判斷兩個(gè)向量是否共起點(diǎn).

二、坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是指建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示出來，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和性質(zhì)解題.在解題時(shí)，往往要根據(jù)題意和幾何圖形的特點(diǎn)，尋找相互垂直的兩條直線，并將其視為坐標(biāo)軸，來建立平面直角坐標(biāo)系.建立坐標(biāo)系的方式不同，所求得的向量坐標(biāo)也不相同.

例3．如圖3，已知正方形ABCD的邊長為1，頂點(diǎn)A、D分別在x、y的正半軸上移動(dòng)，求OB·OC的最大值.、

例3.如圖3，已知正方形 ABCD 的邊長為1，頂點(diǎn)A、D 分別在x、y 的正半軸上移動(dòng)，求? 的最大值.

解：

一般地，若a＝（x1，y），b＝（x2，y2），則a·b＝xx2＋ y1y2．設(shè)出ZODA＝θ（0≤θ≤），求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便能將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求得問題的答案.

例4．

解：

根據(jù)題意，很難快速求得DA、DB，以及DA與DB 的夾角，而三角形ABC是等邊三角形，于是以BC所在的直線為x軸、BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，將等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，并求得DA、DB的坐標(biāo)，即可解題.

三、分解轉(zhuǎn)化法

分解轉(zhuǎn)化法是指根據(jù)平面向量基本定理，將所求的向量用基底表示出來，通過向量運(yùn)算求得問題的答案.一般地，這組基底的模和夾角往往是已知的，或容易求得的，這樣才能通過求基底的數(shù)量積，求得目標(biāo)向量的數(shù)量積.

例5．已知O為ΔABC的外心，AB＝4，AC＝2，ZBAC 為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，求OA—BC.

解：

解答本題主要運(yùn)用了分解轉(zhuǎn)化法，根據(jù)已知條件選擇AB、AC作為基底，將求OA.BC轉(zhuǎn)化為求AB、AC的模長問題，這樣便達(dá)到了化難為易的效果.

例6.如圖5，已知圓0的半徑為1，BC、DE是圓O的兩條直徑，BF=2FO，求 FD—FE.

解：

根據(jù)已知條件可求得1FO，而OEOD1的長均等于圓的半徑，根據(jù)已知條件，求得其夾角，便可運(yùn)用分解轉(zhuǎn)化法，以O(shè)F、OD、OE為基底，通過向量運(yùn)算求得兩個(gè)向量 FD、FE 的數(shù)量積.

定義法、坐標(biāo)法、分解轉(zhuǎn)化法均是求解平面向量數(shù)量積問題的重要方法，其中定義法的適用范圍較廣，且較為簡單，坐標(biāo)法和分解轉(zhuǎn)化法的適用范圍較窄.因此，在解題時(shí)，可首先運(yùn)用定義法，然后再考慮運(yùn)用坐標(biāo)法、分解轉(zhuǎn)化法.

（作者單位：福建省泉州廈門外國語學(xué)校石獅分校）