摘要：

在太陽(yáng)能光伏跟蹤支架系統(tǒng)中，冷彎型檁條結(jié)構(gòu)被用于支撐光伏板，安裝位置介于主梁與邊框之間。首先構(gòu)建以結(jié)構(gòu)柔順度最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)、單元相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量、體積與一階固有頻率為約束的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，基于SIMP法獲得檁條結(jié)構(gòu)的最優(yōu)布局構(gòu)型，在此基礎(chǔ)上，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型進(jìn)行工程化設(shè)計(jì)，并制造加工出相關(guān)結(jié)構(gòu)。然后根據(jù)太陽(yáng)能光伏跟蹤支架實(shí)際服役于不同風(fēng)速荷載下的環(huán)境，設(shè)計(jì)分步測(cè)試載荷工況，分別對(duì)優(yōu)化前后的檁條結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)仿真分析，由仿真結(jié)果可知優(yōu)化后的檁條結(jié)構(gòu)在抗彎、抗扭性能以及固有頻率方面均得到了提高，從而驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。最后采用實(shí)驗(yàn)測(cè)試方法對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的檁條結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，在機(jī)械性能明顯增強(qiáng)的前提下，檁條結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了減重8.8%。

關(guān)鍵詞：檁條結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；光伏跟蹤支架；工程化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TP31；TU33

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.10.010

High Rigidity and Lightweight Design of Purlins in Photovoltaic Tracker Bracket

DONG Xiaohu1 WANG Shitao1，2 ZHOU Dechun1

1.Arctech Solar Technology Limited Holdings Shanghai Branch，Shanghai，200335

2.Department of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin，150001

Abstract： In the intelligent photovoltaic tracker brackets， cold-formed purlins were used to support the photovoltaic panels， and located spannig the horizontal single-axis and the module frame. Firstly， the minimum compliance of the structures was taken as the target and relative densities of elements were taken as the design variables， and the topology optimum design models were constructed under the given volume and the first natural frequency constraints. Optimal material distributions of the purlins were obtained based on SIMP （solid isotropic material with penalization） method， and this topology optimization structure was engineering designed and manufactured. Then， test load conditions were designed according to the practical environment where the photovoltaic tracker brackets were applied under different wind loads. The static and dynamic finite element analyses of the original and optimized purlins were carried out respectively， the simulation results show that the optimized purlins are improved in terms of bending resistance， torsion resistance， and natural frequency. Thus， the effectiveness of the optimization design method is verified. After that， the optimal purlins whose mass is reduced by 8.8% were also manufactured by engineering methods， and the mechanics performances were verified by the experiments.

Key words： purlin； topology optimization； photovoltaic tracker bracket； engineering design

0 引言

在“雙碳”目標(biāo)的歷史與現(xiàn)實(shí)背景下，大力發(fā)展可再生能源勢(shì)不可擋。太陽(yáng)能是最清潔的能源，在光熱和光伏發(fā)電過(guò)程中，應(yīng)用太陽(yáng)能跟蹤支架系統(tǒng)［1］能最優(yōu)化太陽(yáng)光使用，保證光伏組件發(fā)電高效率，所以跟蹤支架日益受到人們的關(guān)注和青睞［2-3］，其可靠性和經(jīng)濟(jì)性將影響太陽(yáng)能光伏工程能否實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益?！皫住弊中螜_條是太陽(yáng)能跟蹤支架系統(tǒng)重要組成部分，用冷彎工藝制作而成，性價(jià)比較高，為了進(jìn)一步減重增效，提高客戶的收益，需對(duì)檁條進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)?，F(xiàn)今，針對(duì)光伏支架總體設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)有很多，徐黃華等［4］研究了固定支架的承載能力及破壞形態(tài)，為太陽(yáng)能光伏發(fā)電站的工程設(shè)計(jì)提供了參考。周湘杰等［5］設(shè)計(jì)了一種新型的可折疊跟蹤式光伏支架，提高了支架抗強(qiáng)風(fēng)能力。楊成等［6］以聚氨酯復(fù)合材料作為型材，對(duì)光伏支架結(jié)構(gòu)進(jìn)行多參數(shù)化設(shè)計(jì)優(yōu)化分析，提出了一種基于多島遺傳算法的高效率優(yōu)化分析方法。衛(wèi)劍征等［7］對(duì)大尺度、大面積充氣式桁架式太陽(yáng)能陣列的三維空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，為未來(lái)大型空間展開系統(tǒng)應(yīng)用提供參考。HE等［8-9］采用懸索來(lái)承受光伏組件的載荷，對(duì)太陽(yáng)能光伏柔性支架進(jìn)行設(shè)計(jì)研究，適用于各種復(fù)雜地形和特殊場(chǎng)所。然而，直接針對(duì)檁條結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)則少之又少，究其原因，檁條結(jié)構(gòu)可優(yōu)化的空間小，相關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)［10］可參考的設(shè)計(jì)形式也很單一。

拓?fù)鋬?yōu)化經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展，現(xiàn)已成為結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)中最為有效的手段，能有效地提高材料利用率。MLEJNEK等［11］提出的變密度法理論簡(jiǎn)單明了，在BENDSOE等［12］證實(shí)該方法所具有的中間密度單元在物理意義上的存在性后，程序被不斷地優(yōu)化簡(jiǎn)易［13］。 由于其計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，該方法已在各類工程仿真優(yōu)化軟件中被廣泛應(yīng)用。SETHIAN等［14］將水平集函數(shù)引入結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域，提出了一種高邊界分辨率且具有處理剛性結(jié)構(gòu)能力的拓?fù)鋬?yōu)化方法。隨后，BELYTSCHKO等［15］和WANG等［16］構(gòu)造了水平集演化所需要的速度場(chǎng)，結(jié)合敏度分析技術(shù)和水平集方法，進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究，LI等［17］運(yùn)用該方法對(duì)單塊光伏板支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。程自然等［18］基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，對(duì)碟式太陽(yáng)能聚光器桁架結(jié)構(gòu)展開輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)，在優(yōu)化前后桁架的最大變形相同時(shí)，質(zhì)量減小了34.4%。FENG等［19］將B樣條參數(shù)描述法擴(kuò)展應(yīng)用到板殼加筋結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化中，突破了棋盤格式和灰度單元等數(shù)值求解問(wèn)題。JI等［20］和董小虎等［21］結(jié)合仿生優(yōu)化思想，通過(guò)研究自然界生物結(jié)構(gòu)自適應(yīng)生長(zhǎng)規(guī)律，對(duì)板殼結(jié)構(gòu)筋板布局進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。在此基礎(chǔ)上，王博等［22］提出了一種薄壁結(jié)構(gòu)多層級(jí)并發(fā)加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法，在一次求解中可同時(shí)優(yōu)化生成主層級(jí)稀疏加筋布局和次層級(jí)密集點(diǎn)陣構(gòu)型，擴(kuò)展了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)空間，提高了材料利用率。以上拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)雖然可獲得較好的結(jié)構(gòu)布局形態(tài)，但沒(méi)有考慮工程化制造設(shè)計(jì)與經(jīng)濟(jì)效益問(wèn)題。

本文提出一種冷彎型鋼結(jié)構(gòu)高剛性輕量化設(shè)計(jì)方法，即以冷彎型檁條結(jié)構(gòu)為例，基于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，獲得檁條結(jié)構(gòu)材料分布形式，并進(jìn)行工程化設(shè)計(jì)，制造加工出相關(guān)零部件，最后通過(guò)仿真對(duì)比分析與試驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證該優(yōu)化設(shè)計(jì)策略的有效性。

1 檁條結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

首先采用變密度法對(duì)檁條進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，得到檁條結(jié)構(gòu)最佳拓?fù)湫螒B(tài)，然后根據(jù)優(yōu)化形態(tài)進(jìn)行工程化設(shè)計(jì)，建立新檁條結(jié)構(gòu)的三維幾何模型。

1.1 變密度法拓?fù)鋬?yōu)化

變密度法［23］通過(guò)人為引進(jìn)一種假想的密度為0～1之間的可變材料，以每個(gè)單元的相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布問(wèn)題，再應(yīng)用優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行尋優(yōu)求解。最常見(jiàn)流行的插值模型為固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)（SIMP）法，公式表達(dá)為

E（ρi）=Emin+ρpi（E0－Emin）（1）

式中，E（ρi）為插值以后的彈性模量；ρi為第i個(gè)單元相對(duì)密度；Emin為孔洞單元材料的彈性模量；p為懲罰因子，這里取3；E0為實(shí)體部分材料的彈性模量。

現(xiàn)以檁條結(jié)構(gòu)柔順度最小為目標(biāo)，體積為約束條件，基于變密度理論SIMP法的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型表達(dá)為

式中，ρ為單元相對(duì)密度矢量；C為結(jié)構(gòu)柔順度；U為結(jié)構(gòu)的位移向量；K為剛度矩陣；k0為初始單元?jiǎng)偠染仃?；ui為第i個(gè)單元的位移向量；V為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)總體積；V0為初始整體結(jié)構(gòu)體積；η為體積約束因子，取0.75；F為載荷矢量；ρmin為單元相對(duì)密度下限，取0.001，以避免求解時(shí)出現(xiàn)奇異點(diǎn)。

由于風(fēng)荷載作用容易引起檁條結(jié)構(gòu)局部振動(dòng)，因此設(shè)計(jì)中也要考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。這里將一階固有頻率作為響應(yīng)函數(shù)來(lái)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，下面基于有限單元理論，采用數(shù)值解析法推導(dǎo)固有頻率對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度公式。

結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為

1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程

圖1所示是檁條結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型，分為兩個(gè)邊檁條與中間的主檁條，整體結(jié)構(gòu)承受均布載荷。由于檁條中間處是與支架的主軸相連，故在中間處施加固定約束。因太陽(yáng)能光伏支架長(zhǎng)期在戶外工作，因此材料選擇抗彎強(qiáng)度為420 MPa的鍍鎂鋁鋅鋼材，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7850 kg/mm3。圖2是圖1檁條結(jié)構(gòu)在5400 Pa均布載荷下的變形云圖，可知，中間檁條承受較大載荷，故優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)象選擇中間部分的檁條。

圖3所示是中間檁條的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，檁條分為優(yōu)化區(qū)域與非優(yōu)化區(qū)域，非優(yōu)化區(qū)域部分與組件相連。從形態(tài)布局來(lái)看，材料分布高度對(duì)稱，檁條的兩端和中間端的上表面都是閉合相連，材料去除的部分主要是檁條內(nèi)部與中間端的底部。

1.3 工程化設(shè)計(jì)

部分檁條與主軸之間存有轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)，受電機(jī)高度尺寸影響，目前原檁條高為80 mm，厚度為1.5 mm，長(zhǎng)為3000 mm?，F(xiàn)對(duì)檁條進(jìn)行工程化設(shè)計(jì)，尺寸調(diào)整為高90 mm，厚度則為1.2 mm，長(zhǎng)度保持不變，整體質(zhì)量減小13.3%。為了增強(qiáng)新檁條的機(jī)械性能，同時(shí)考慮到經(jīng)濟(jì)效益，根據(jù)圖3拓?fù)鋬?yōu)化形態(tài)中兩個(gè)局部放大圖，對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)出兩個(gè)用于局部加強(qiáng)的零件，即加強(qiáng)框和墊片，均與檁條鉚接相連組成新檁條結(jié)構(gòu)，此時(shí)整體質(zhì)量較原檁條減小了8.8%。零件具體安裝位置如圖4所示，矩形加強(qiáng)框?qū)ΨQ放置于檁條與主梁連接處的兩端，墊片對(duì)稱放置于檁條兩端。兩個(gè)零件均使得結(jié)構(gòu)形成閉合框架，有效地增強(qiáng)了整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。

2 仿真分析對(duì)比

本文從抗彎、抗扭、固有頻率三個(gè)方面的機(jī)械性能對(duì)優(yōu)化前后的檁條結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析對(duì)比。

2.1 測(cè)試載荷設(shè)計(jì)

圖5所示是真實(shí)環(huán)境下光伏支架所受風(fēng)荷載。根據(jù)此受力形式，建立圖6所示的檁條結(jié)構(gòu)機(jī)械性能測(cè)試方案，模擬真實(shí)環(huán)境不同風(fēng)速下檁條結(jié)構(gòu)受載情況。檁條安裝在主軸與組件之間，組件上表面承受風(fēng)雪等荷載［24-25］。這里將整體結(jié)構(gòu)按東—西方向分成A、B、C、D四個(gè)區(qū)域，測(cè)試載荷大小及步數(shù)如表1所示，隨著測(cè)試步數(shù)的增加，載荷增大，主要分布在C、D區(qū)域。

2.2 機(jī)械性能仿真分析對(duì)比

對(duì)優(yōu)化前后檁條結(jié)構(gòu)的抗彎性能進(jìn)行仿真分析。圖7是原檁條在第10步載荷下的變形云圖與應(yīng)力分布云圖，可知，原檁條最大變形為10.86 mm，此時(shí)最大應(yīng)力為418.4 MPa。圖8是優(yōu)化設(shè)計(jì)后新檁條結(jié)構(gòu)在第12步載荷下的變形云圖與應(yīng)力分布云圖，最大變形為11.83 mm，此時(shí)最大應(yīng)力為419.7 MPa。由對(duì)比結(jié)果可以看出，新檁條結(jié)構(gòu)的抗彎性能得到提高。

在實(shí)際服役中，由于載荷不均勻性，檁條會(huì)受到扭力的作用，故抗扭性能也是要考慮的。圖9所示是一端承受扭轉(zhuǎn)、中間底部固定約束的檁條模型，扭矩Me假設(shè)為33 kN·m。

圖10是優(yōu)化前后檁條結(jié)構(gòu)在受扭后的變形云圖。對(duì)比可知，在相同扭力作用下，最大變形由原來(lái)的44.61 mm減小至32.59 mm，可見(jiàn)新檁條抗扭性能也得到了提高。

為了驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)優(yōu)化前后檁條結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析。圖11與圖12所示分別是優(yōu)化前后檁條結(jié)構(gòu)的前4階模態(tài)振型，對(duì)比結(jié)果如表2所示，原檁條結(jié)構(gòu)1階固有頻率為10.11 Hz，優(yōu)化后是18.25 Hz，提高了80%，其他4階固有頻率也得到了明顯提高，提高率分別為58.2%、43.8%、31.8%、39.8%。由仿真結(jié)果對(duì)比可知，優(yōu)化后的新檁條結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能同樣也得到了提高。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化后新檁條結(jié)構(gòu)的性能，

通過(guò)工程化設(shè)計(jì)，制造加工出新檁條結(jié)構(gòu)相關(guān)零部件，如圖13所示。圖14所示是測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)，用等質(zhì)量的沙袋進(jìn)行分步加載，相鄰兩步之間間隔半小時(shí)，每步加載數(shù)值如表1所示。

測(cè)試點(diǎn)如圖15所示，分別位于檁條一段端面處D1和1/4處D2，每步加載后在間隔時(shí)間里對(duì)這兩點(diǎn)的離地高度進(jìn)行測(cè)量，從而獲得測(cè)試點(diǎn)處的變形量。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

最終實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果為原檁條在第11步載荷下彎折失效，而優(yōu)化設(shè)計(jì)后新檁條結(jié)構(gòu)在第12步載荷下彎折失效。圖16與17分別是點(diǎn)D1與D2的變形差

曲線圖，即每?jī)刹綔y(cè)試的變形量之差隨加載步數(shù)增加的曲線圖。對(duì)比兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)處變形量的變化差可知，原檁條在D1點(diǎn)處的變化量較大，優(yōu)化后的新檁條結(jié)構(gòu)的變形量變化總是小于原檁條，可見(jiàn)新檁條結(jié)構(gòu)的抗彎性能更優(yōu)。

4 結(jié)論

（1）根據(jù)拓?fù)錁?gòu)型，通過(guò)工程化設(shè)計(jì)的零件易于加工，便于安裝，性價(jià)比高。

（2）優(yōu)化后的新檁條結(jié)構(gòu)質(zhì)量減小8.8%的同時(shí)，靜動(dòng)態(tài)性能均得到了提升，有效地提高了光伏電站的經(jīng)濟(jì)效益。

（3）優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果表明，該輕量化設(shè)計(jì)策略效率高，實(shí)用性廣，為面向工程制造的冷彎型鋼結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)提供了思路。

（4）模擬真實(shí)環(huán)境風(fēng)雪荷載下的物理實(shí)驗(yàn)與仿真分析最終失效結(jié)果基本一致，后續(xù)可極大提高支架鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員的研發(fā)效率。

參考文獻(xiàn)：

［1］ CARLOS D R， LIU H H， GANDHI O， et al. Global Techno-economic Performance of Bifacial and Tracking Photovoltaic Systems［J］. Joule， 2020， 4（7）：1514-1541.

［2］ 王士濤， 沈毅， 沈有國(guó)， 等. 逆跟蹤技術(shù)在平單軸跟蹤器上的應(yīng)用［J］. 太陽(yáng)能學(xué)報(bào)， 2021， 42（5）：145-149.

WANG Shitao， SHEN Yi， SHEN Youguo， et al. Backtracking Technology Applied on Horizontal Single Axis Tracker［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2021， 42（5）：145-149.

［3］ 王士濤， 沈毅， 李彩霞， 等. 基于人工智能的太陽(yáng)跟蹤系統(tǒng)架構(gòu)［J］. 太陽(yáng)能學(xué)報(bào)， 2020， 41（6）：299-304.

WANG Shitao， SHEN Yi， LI Caixia， et al. Architecture of Solar Tracking System Based on Artificial Intelligence［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2020， 41（6）：299-304.

［4］ 徐黃華， 張梅， 何銀濤. 固定式光伏支架承載能力試驗(yàn)研究［J］. 太陽(yáng)能學(xué)報(bào)， 2020， 41（4）：7-13.

XU Huanghua， ZHANG Mei， HE Yintao. Experimental Study on Load-carrying Capacity of Fixed Photovoltaic Bracket［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2020， 41（4）：7-13.

［5］ 周湘杰， 袁小芳， 陽(yáng)領(lǐng). 光伏電站自適應(yīng)光伏支架設(shè)計(jì)及仿真分析［J］. 熱力發(fā)電， 2020， 49（6）：84-89.

ZHOU Xiangjie， YUAN Xiaofang， YANG Ling. Design and Simulation Analysis of Self-adaptive Photovoltaic Support for Photovoltaic Power Station［J］. Thermal Power Generation， 2020， 49（6）：84-89.

［6］ 楊成， 陳建鈞， 袁偉杰， 等. 復(fù)合材料光伏支架梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析［J］. 太陽(yáng)能學(xué)報(bào)， 2020， 41（3）：305-310.

YANG Chen， CHEN Jianjun， YUAN Weijie， et al. Structural Optimization of Composite Photovoltaic Supporting Beam［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2020， 41（3）：305-310.

［7］ 衛(wèi)劍征， 張鵬飛， 馬瑞強(qiáng)， 等. 大尺度充氣式桁架太陽(yáng)能陣列設(shè)計(jì)及動(dòng)力學(xué)分析［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2020， 56（5）：93-99.

WEI Jianzheng， ZHANG Pengfei， MA Ruiqiang， et al. Design and Dynamics of Large-scale Solar Arrays with Inflatable Mast［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2020， 56（5）：218-229.

［8］ HE X H， DING H， JING H Q， et al. Wind-induced Vibration and Its Suppression of Photovoltaic Modules Supported by Suspension Cables［J］. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2020， 206：1-15.

［9］ HE X H， DING H， JING H Q， et al. Mechanical Characteristics of a New Type of Cable-supported Photovoltaic Module System［J］. Solar Energy， 2021， 226：408-420.

［10］ 中華人民共和國(guó)建設(shè)部， 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局. GB50018—2002 冷彎薄壁型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范［S］. 北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社， 2002.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China， General Administration of Quality Supervision， Inspection and Quarantine of the People’s Republic of China. GB50018—2002 Technical Code of Cold-formed Thin-wall Steel Structures［s］. Beijing：Standards Press of China， 2002.

［11］ MLEJNEK H P， SCHIRRMACHER R. An Engineer’s Approach to Optimal Material Distribution and Shape Finding［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1993， 106（1/2）：1-26.

［12］ BENDSOE M P， SIGMUND O. Material Interpolations in Topology Optimization［J］. Archive of Applied Mechanics， 1999， 69：635-654.

［13］ ANDREASSEN E， CLAUSEN A， SCHEVENEL M， et al. Efficient Topology Optimization in MATLAB Using 88 Lines of Code［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 43（1）：1-16.

［14］ SETHIAN J A， WIEGMANN A. Structural Boundary Design via Level Set and Immersed Interface Methods［J］. Journal of Computational Physics， 2000， 163（2）：489-528.

［15］ BELYTSCHKO T， XIAO S P， PARIMI C. Topology Optimization with Implicit Functions and Regularization［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2003， 57（8）：1177-1196.

［16］ WANG M Y， WANG X M， GUO D M. A Level Set Method for Structural Topology Optimization［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2003， 192（1/2）：227-246.

［17］ LI H， KONDOH T， JOLIVET P， et al. Three-dimensional Topology Optimization of Fluid-structure System Using Body-fitted Mesh Adaption Based on the Level-set Method［J］. Applied Mathematical Modelling， 2022， 101：276-308.

［18］ 程自然， 顏健， 彭佑多. 基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的碟式聚光器輕量化研究［J］. 太陽(yáng)能學(xué)報(bào)， 2020， 41（4）：99-106.

CHENG Ziran， YAN Jian， PENG Youduo. Lightweight Design of Solar Dish Concentrator Based on Evolutionary Structure Method［J］. Acta Energiae Solaris Sinica， 2020， 41（4）：99-106.

［19］ FENG S Q， ZHANG W H， MENG L， et al. Stiffener Layout Optimization of Shell Structures with B-spline Parameterization Method［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2021， 63（6）：2637-2651.

［20］ JI J， DING X H， XIONG M. Optimal Stiffener Lay-out of Plate Shell Structures by Bionic Growth Method［J］. Computers amp; Structures， 2014， 135（135）：88-99.

［21］ 董小虎， 丁曉紅. 基于自適應(yīng)成長(zhǎng)法的周期性加筋結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2018， 29（17）：2045-2051.

DONG Xiaohu， DING Xiaohong. Topology Optimum Design Method for Periodic Stiffener Structures Based on Adaptive Growth Method［J］. China Mechanical Engineering， 2018， 29（17）：2045-2051.

［22］ 王博， 周子童， 周演， 等. 薄壁結(jié)構(gòu)多層級(jí)并發(fā)加筋拓?fù)鋬?yōu)化研究［J］. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 38（4）：487-497.

WANG Bo， ZHOU Zitong， ZHOU Yan， et al. Concurrent Topology Optimization of Hierarchical Stiffened Thin-walled Structures［J］. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2021， 38（4）：487-497.

［23］ SIGMUND O， MAUTE K. Topology Optimization Approaches［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2013， 48（6）：1031-1055.

［24］ 國(guó)家能源局. NB/T 10115—2018 光伏支架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程［S］. 北京：中國(guó)計(jì)劃出版社， 2018.

National Energy Administration. NB/T 10115—2018 Code for Design of Photovoltaic Modules Support Structures［S］. Beijing：Planning Press of China， 2018.

［25］ 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部， 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局. GB 50009—2012 建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范［S］. 北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 2012.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People’s Republic of China， General Administration of Quality Supervision， Inspection and Quarantine of the People’s Republic of China. GB 50009—2012 Load Code for the Design of Building Structures［S］. Beijing：China Building Industry Press， 2012.

（編輯 袁興玲）

作者簡(jiǎn)介：

董小虎，男，1986年生，博士。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)。E-mail：170523839@qq.com。