摘要：

采用包絡(luò)法推導(dǎo)了擺線輪齒廓方程并進(jìn)行了齒面接觸分析，獲得了齒面接觸參數(shù)；提出側(cè)隙幾何學(xué)分析的精確算法，解決了傳統(tǒng)側(cè)隙算法只能針對等移距修形的缺陷；采用逐齒消隙法求解變形協(xié)調(diào)方程，避免了常規(guī)嚙合分析的誤差與不確定性，提高了承載接觸分析的計算精度和計算效率。給出了齒面接觸分析到承載接觸分析的完整計算流程，獲得了任意轉(zhuǎn)角位置、不同修形方式的精確載荷參數(shù)。

關(guān)鍵詞：包絡(luò)法；齒面接觸分析；側(cè)隙計算；消隙法；變形協(xié)調(diào)

中圖分類號：V231；TH132

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.10.003

Multi Tooth Meshing Characteristics and Load Bearing Contact Analysis Method of Cycloidal-pin Wheels

WANG Yongqiang1 WEI Bingyang1 XU Jiake2 YANG Jianjun1

1.School of Mechanical and Electronic Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang，Henan，471003

2.Ningbo Zhongda Leader Intelligent Transmission Co.，Ltd.，Ningbo，Zhejiang，315000

Abstract： The tooth profile equations of cycloidal gear were derived by the envelope methods， and the tooth surface contact parameters were obtained. An accurate algorithm for the geometry analysis of the backlash was proposed， which solved the defects that the traditional backlash algorithm might only be used for the constant displacement modification. The tooth by tooth clearance elimination methods were used to solve the deformation compatibility equation， which avoided the error and uncertainty of conventional meshing analysis and improved the calculation accuracy and efficiency of load-bearing contact analysis. The complete calculation flow from tooth surface contact analysis to load contact analysis was given， and the accurate load parameters of any angle position and different modification methods were obtained.

Key words： envelope method； tooth contact analysis； backlash calculation； clearance elimination method； deformation coordination

收稿日期：2022-06-27

基金項目：

國家自然科學(xué)基金（51875174）；龍門實驗室前沿探索課題（LMQYTSKT025）

0 引言

RV（rotational vector）減速器被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)，但國產(chǎn)擺線針輪減速器面臨背隙角和傳動誤差大、齒面磨損沖擊加劇與傳動精度喪失等關(guān)鍵問題［1-2］。擺線針輪傳動嚙合齒數(shù)多，嚙合機(jī)理復(fù)雜，許多學(xué)者就其背隙、嚙合特性進(jìn)行了研究。

文獻(xiàn)［3］給出了初始間隙的傳統(tǒng)算法。文獻(xiàn)［4］考慮傳動過程中節(jié)點(diǎn)位置的變化，給出了任意轉(zhuǎn)角下嚙合間隙的精確算法。文獻(xiàn)［5］分析了側(cè)隙對擺線針輪嚙合副接觸力和摩擦功耗的影響。文獻(xiàn)［6］提出了一種考慮齒廓修形和偏心誤差影響的齒廓剛度新算法。文獻(xiàn)［7］為確定擺線針輪嚙合齒對數(shù)、嚙合點(diǎn)位置及接觸載荷，建立了擺線針輪傳動多齒嚙合接觸動力學(xué)模型。文獻(xiàn)［8］探究了擺線針輪多齒嚙合的動態(tài)過程，建立了動力學(xué)模型，并進(jìn)行了樣機(jī)測試。文獻(xiàn)［9-10］提出了擺線針輪承載接觸分析（load tooth contact analysis，LTCA）解析模型，研究了徑向間隙、銷孔間隙以及偏心誤差對嚙合性能的影響。文獻(xiàn)［11］提出了判定擺線針輪最大嚙合力的方法，研究偏心距對其承載能力的影響規(guī)律，并進(jìn)行了有限元驗證。文獻(xiàn)［12］提出了可實現(xiàn)擺線針輪嚙合點(diǎn)定位、接觸載荷分布確定和傳動效率計算的分析方法，并進(jìn)行了試驗驗證。文獻(xiàn)［13-15］設(shè)計了采用拋物線修形的新型擺線針輪減速器，提出利用離散點(diǎn)進(jìn)行齒面接觸分析的新方法，計算其傳動誤差和接觸力，利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，制造了物理樣機(jī)并進(jìn)行了試驗。文獻(xiàn)［16］提出了擺線針輪減速器的運(yùn)動誤差分析和公差設(shè)計方法，通過離散擺線輪齒廓來進(jìn)行齒面接觸分析，利用蒙特卡羅方法建立計算機(jī)輔助程序，以制造成本最小為目標(biāo)對參數(shù)公差進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)［17］以壓力角最小和接觸應(yīng)力分布方差最小為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行擺線輪修形設(shè)計，實現(xiàn)了接觸應(yīng)力均化的目的。文獻(xiàn)［18］考慮曲柄軸承、銷孔間隙及擺線齒廓修形的影響，分析了擺線針輪傳動中相關(guān)接觸副的接觸特性。

上述研究在進(jìn)行LTCA分析時沒有考慮擺線輪曲率半徑的影響及修形后節(jié)點(diǎn)位置的變化，且只能進(jìn)行等移距修形下的LTCA分析，應(yīng)用范圍受限；在采用能量法進(jìn)行嚙合齒對數(shù)計算時，需要求解多組非線性方程，計算量巨大。鑒于此，本文應(yīng)用公法線精確算法確定擺線針輪接觸參數(shù)，采用逐齒消隙法解決承載變形協(xié)調(diào)方程的求解問題，得到不同轉(zhuǎn)角位置、不同修形方式下嚙合齒對數(shù)及各齒嚙合力的大小，為后續(xù)RV減速器齒面設(shè)計與性能控制提供理論依據(jù)與分析手段。

1 擺線輪齒廓方程

擺線針輪傳動過程中，擺線輪既隨著曲軸公轉(zhuǎn)，又繞自身軸線自轉(zhuǎn)。根據(jù)相對運(yùn)動原理，采用反轉(zhuǎn)法，即給整個機(jī)構(gòu)一個與曲柄軸轉(zhuǎn)速大小相等、方向相反的角速度ωH后，擺線輪與針輪的相對運(yùn)動關(guān)系保持不變，整個機(jī)構(gòu)由行星機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為定軸機(jī)構(gòu)。在轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)中，擺線輪與針輪為內(nèi)嚙合傳動。

建立圖1所示的坐標(biāo)系，sf（xfyfzf）與機(jī)架固連，為定坐標(biāo)系，of為坐標(biāo)原點(diǎn)；s1（x1y1z1）、s2（x2y2z2）分別與針輪和擺線輪固連，為動坐標(biāo)系，o1、o2為對應(yīng)坐標(biāo)系原點(diǎn)；o1與of重合，o1與o2的距離為偏心距e，M點(diǎn)為嚙合接觸點(diǎn)，θ為M在針齒上的角度參數(shù)，φ1、φ2為針輪和擺線輪相對于轉(zhuǎn)臂o1o2的轉(zhuǎn)角。

4.1 消隙法與能量最低原理承載接觸分析對比

采用表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行兩種算法的對比分析，其中消隙法幾何上采用精確算法，能量最低原理法幾何上采用的是近似算法，計算結(jié)果略有差異，對比如圖4所示。從圖4中可看出，只有2號齒受到的接觸力有微小區(qū)別，誤差為1.8%，由于幾何近似算法在進(jìn)行側(cè)隙計算時沒有考慮修形對節(jié)點(diǎn)位置的影響，所以采用本文給出的精確算法進(jìn)行LTCA計算更符合工程實際。

采用MATLAB自帶函數(shù)計算兩種算法程序運(yùn)行時間，能量最低原理計算時間為16.741 s，消隙法為13.092 s，計算速度提高了21.8%，說明采用消隙法進(jìn)行承載接觸分析可以提高計算效率。

4.2 TCA分析結(jié)果

計算幾何傳動誤差，結(jié)果如圖5所示?？蛰d時擺線針輪只有一對齒參與嚙合，傳動誤差從-0.018″到0再到-0.018″周期性變化，幾何傳動誤差曲線交點(diǎn)以下部分不參與嚙合，針齒嚙入到嚙出的區(qū)間為（-0.039 72，0.1177）rad，周期T為0.157 rad。根據(jù)單齒傳動誤差曲線，給定任意針輪轉(zhuǎn)角φ1，可確定唯一嚙合參數(shù)（φ2，α，β，i），進(jìn)一步可確定側(cè)隙、接觸力臂及擺線輪曲率半徑。下面以其中一個瞬時位置為例進(jìn)行瞬態(tài)TCA/LTCA分析。

（1）側(cè)隙與力臂。根據(jù)式（14）、式（15）計算φ1=-0.039 72 rad時的側(cè)隙及力臂，結(jié)果如圖6所示，側(cè)隙與力臂近似成反比例關(guān)系，當(dāng)前嚙合齒處4號力臂最大，對當(dāng)前位置的側(cè)隙進(jìn)行升序排序，確定潛在接觸順序。

（2）綜合曲率半徑。根據(jù)嚙合點(diǎn)的齒廓參數(shù)，可計算相應(yīng)位置的擺線輪齒廓曲率半徑：

ρ2i=（rp+Δrp）（1+k21-2k1cos（zcα））1.5k1（zp+1）cos（zcα）-（1+zpk21）+

rrp+Δrrp

擺線輪齒廓曲率半徑與綜合曲率半徑如圖7所示。當(dāng)ρ2igt;0時，曲線內(nèi)凹；反之，曲線外凸。擺線針輪嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑為

ρi=11ρ2i±1rrp=ρ2irrpρ2i±rrp（16）

其中，當(dāng)擺線輪齒面為凸面時取正，為外接觸；當(dāng)擺線輪齒面為凹面時取負(fù)，為內(nèi)接觸。由圖7知，1、2、3號針齒與擺線齒廓為凹凸接觸，耦合作用下該3號齒位置處綜合區(qū)率半徑較大，1號齒綜合區(qū)率半徑值最大，為34.01 mm。

4.3 瞬態(tài)LTCA計算結(jié)果

根據(jù)上述TCA計算結(jié)果，增加驅(qū)動力矩，初始嚙合（4號）針齒接觸產(chǎn)生彈性變形，當(dāng)變形量大于5號針齒與擺線輪對應(yīng)齒廓點(diǎn)的初始嚙合間隙時，5號針齒進(jìn)入嚙合，直至多齒進(jìn)入嚙合達(dá)到平衡。由圖8分布曲線可知：當(dāng)擺線輪承受的負(fù)載力矩為400 N·m時，有8個針齒參與嚙合共同推動擺線輪運(yùn)動；接觸力與變形大致成正比例關(guān)系，只是在4號齒位置接觸力發(fā)生了突變，因為該嚙合點(diǎn)的曲率半徑發(fā)生了突變，取得最小值。

根據(jù)赫茲接觸理論，擺線輪與針齒嚙合的接觸應(yīng)力

σ=2Fπab

瞬時嚙合位置接觸半寬與接觸應(yīng)力如圖9所示，可見，6號針齒嚙合位置受最大接觸應(yīng)力，為1288 MPa，最大接觸應(yīng)力并沒有出現(xiàn)在最大變形的針齒上，表明接觸應(yīng)力是幾何與載荷參數(shù)的綜合作用結(jié)果。

采用表1中的參數(shù)建立擺線針輪三維嚙合模型，進(jìn)行有限元仿真，結(jié)果如圖10所示，可以看出，當(dāng)載荷為400 N·m時，嚙合齒對數(shù)為9，采用逐齒消隙法為8.073，介于8與9之間，表明至少有8個齒參與嚙合；有限元仿真最大接觸應(yīng)力為1199 MPa，而理論結(jié)果為1288 MPa，誤差為6.91%。由于本文采用赫茲接觸分析時沒有考慮擺線輪上板孔分布的影響，可能導(dǎo)致了計算誤差，但該計算精度足可滿足工程理論的使用要求。

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，非線性接觸剛度kn的計算公式為

kn=F/δ=

πb2［1-μ21E1（ln4|ρ1|a-0.5）+1-μ22E2（ln4rrpa-0.5）］

計算結(jié)果如圖11所示。接觸剛度與接觸點(diǎn)的曲率半徑和赫茲接觸半寬有關(guān)，文獻(xiàn)［12］在進(jìn)行承載接觸分析時，忽略曲率半徑的影響顯然是不合適的。接觸剛度因受嚙合點(diǎn)曲率半徑的影響，在擺線輪齒廓平點(diǎn)處發(fā)生了突變，此處接觸剛度最小。

4.4 全嚙合周期LTCA計算結(jié)果

根據(jù)全嚙合周期LTCA，取若干點(diǎn)計算4號針齒從嚙入到嚙出運(yùn)動的載荷變化歷程，如圖12所示。從圖12中可看出參與嚙合的只是擺線針輪齒廓的很少一部分。明確齒廓嚙合范圍與接觸載荷的變化規(guī)律對齒面修形優(yōu)化設(shè)計具有重要作用。

整個嚙合區(qū)承載接觸分析結(jié)果如圖13所示。由圖13可知，在全嚙合周期，擺線輪從齒頂區(qū)域進(jìn)入嚙合，接觸力、接觸應(yīng)力及嚙合剛度先增大后減小，在齒廓平點(diǎn)處接觸力與嚙合剛度取得極小值，越過平點(diǎn)靠近齒根區(qū)域接觸力與嚙合剛度變化劇烈，先急劇增大，后迅速減小，而接觸應(yīng)力變化平緩無突變。

齒間載荷分擔(dān)比如圖14所示。隨著轉(zhuǎn)矩的增大，各齒承擔(dān)的載荷分擔(dān)比逐漸減小，意味著有更多的齒進(jìn)入嚙合，且承載接觸區(qū)域向齒頂方向擴(kuò)展，擺線輪更早進(jìn)入嚙合。載荷為400 N·m時，有效重合度計算公式如下：

ε=1.1438+0.1245T=8.073

當(dāng)載荷為1200 N·m時，重合度達(dá)到10.419，表示此時至少有10對齒參與嚙合。

圖15所示為5種載荷下承載傳動誤差，可以看出，承載傳動誤差呈周期性變化，隨著載荷的增大，因變形增大，導(dǎo)致總的承載傳動誤差變大，但變化幅值都在1.35″之內(nèi)。

當(dāng)Tc=200 N·m時，承載傳動誤差波動幅值最小，僅為0.2″。減速器在工作載荷200～800 N·m范圍內(nèi)，傳動誤差波動較小，運(yùn)行較平穩(wěn)。

5 結(jié)論

（1）利用精確側(cè)隙及力臂算法，確定了嚙合位置的接觸參數(shù)，克服了傳統(tǒng)側(cè)隙計算應(yīng)用范圍窄的缺陷。

（2）采用消隙法進(jìn)行承載接觸分析計算，解決了利用能量法進(jìn)行承載分析時判斷參與嚙合齒數(shù)的不確定性，提高了計算效率；通過有限元分析，驗證了采用逐齒消隙法進(jìn)行承載接觸分析計算的正確性。

（3）擺線針輪承載過程中，擺線輪由齒頂附近嚙入靠近齒根區(qū)域嚙出。接觸力、嚙合剛度嚙入?yún)^(qū)域傳動平穩(wěn)，嚙出處載荷變化劇烈，在齒廓平點(diǎn)處有極小值；接觸應(yīng)力由嚙入到嚙出變化平緩無突變。

（4）隨著轉(zhuǎn)矩的增大，參與嚙合的齒對數(shù)逐漸增多，承載接觸區(qū)域向齒頂擴(kuò)展，當(dāng)載荷為1200 N·m時，至少有10對齒參與嚙合。

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（編輯 袁興玲）

作者簡介：

王永強(qiáng)，男，1987年生，博士研究生。研究方向為擺線針輪、諧波齒輪減速器摩擦磨損分析。E-mail：893081255@qq.com。