李樹基

所謂化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的一種方法，它是轉(zhuǎn)化和歸納的簡(jiǎn)稱。一般總是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將陌生問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，將未解決問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題?；瘹w思想的原則是化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)方程有悠久的歷史，它隨著實(shí)踐需要而產(chǎn)生，并且有著極其廣泛的應(yīng)用。《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，正是對(duì)于它的研究，推動(dòng)了整個(gè)代數(shù)學(xué)的發(fā)展?！冻踔袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在對(duì)初中階段的教學(xué)建議中也要求，對(duì)于重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過(guò)程，不宜集中體現(xiàn)。初中階段，從七年級(jí)到九年級(jí)的方程教學(xué)中，就逐漸體現(xiàn)著“化歸思想”的滲透。

下面就如何在方程教學(xué)中滲透化歸思想，談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一、一元一次方程的解法中滲透化歸思想

例1：解方程

[x+615+x12=1]

解：去分母，得

[4x+24+5x=60]

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得

[9x=36]

系數(shù)化為1，得

[x=4]

本題反映了解一元一次方程的一般步驟包括：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化[x]的系數(shù)化為1等。通過(guò)這些步驟可以使方程變形為[x=a]的形式，各個(gè)步驟都是為此而實(shí)施的，即在保持方程左右兩邊的相等的前提之下，使“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”，使“復(fù)雜”逐步轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”。這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程主要運(yùn)用等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算定律等。

二、二一元一次方程組的解法中滲透化歸思想

例2：解二元一次方程組

[3x+5y=212x-5y=-11]

解：由①+②得 [5x=10] ，解得[x=2]

把[x=2]代入①，得[y=3]，所以原方程組的解是[x=3y=2]

方程組的兩個(gè)二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。此外，還有代入消元法。它們都是通過(guò)消元，使方程轉(zhuǎn)組化為一元一次方程，這樣，就把我們不熟悉的、復(fù)雜的二元一次方程組（兩個(gè)未知數(shù)），通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的、簡(jiǎn)單的一元一次方程（一個(gè)未知數(shù)），只是消元的方法不同，其過(guò)程更加強(qiáng)調(diào)“未知向已知，復(fù)雜到簡(jiǎn)單”的轉(zhuǎn)化。從解法上說(shuō)多元方程消元后要化歸為一元方程，即逐步使方程變形為[x=a]的形式。從思想上說(shuō)，學(xué)生應(yīng)做好從“多元”向“一元”的轉(zhuǎn)化。

三、分式方程的解法中滲透化歸思想

例3：解分式方程[2x-3=3x]

解：去分母，方程兩邊同乘[x（x-3）]，

得：[2x=3x-9]

解得：[x=9]

檢驗(yàn)：當(dāng)[x=9時(shí)x（x-3）≠0]

因此 [x=9]是原分式方程的解.

分式方程的未知數(shù)在分母中，它的解法比以前學(xué)過(guò)的方程復(fù)雜，從分式方程的特點(diǎn)入手，引出解分式方程的基本思路，即通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即逐步使方程轉(zhuǎn)化為[x=a]的形式，體現(xiàn)“未知向已知，復(fù)雜到簡(jiǎn)單”的轉(zhuǎn)化。這樣，解分式方程的基本思路：去分母就很自然、很合理的產(chǎn)生了。學(xué)生是在已有的對(duì)解方程的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，去認(rèn)識(shí)分式方程的解法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)化歸思想的指導(dǎo)作用，使學(xué)生對(duì)解方程的基本方法的認(rèn)識(shí)理解，隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的擴(kuò)充而不斷深化，同時(shí)，提高對(duì)新事物與已熟悉的事物之間的聯(lián)系認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)水平的提高，是構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程中不可缺少的。

四、一元二次方程的解法中滲透化歸思想

例4：解一元二次方程：x2-4=0

解：因式分解得[（x+2）（x-2）=0]

∴[x+2=0]或[x-2=0]

∴[x1=-2]，[x2=2]

解一元二次方程的關(guān)鍵，是如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)會(huì)解的方程，即逐步使方程轉(zhuǎn)化為[x=a]的形式，這樣“降次”的做法就顯得很自然、很合理。本題反映了因式分解法解一元二次方程的步驟是：化方程為一般形，將方程左邊因式分解，根據(jù)“兩個(gè)因式的積為零，至少有一個(gè)因式為零”，得到兩個(gè)一元一次方程；兩個(gè)一元一次方程的根就是原方程的根。因式分解的方法，突出了轉(zhuǎn)化的思想方法——“降次”，鮮明地顯示了“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的過(guò)程。此外，還有直接開平方法、配方法、公式法等。這幾種解法都是依降次的思想，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，只是具體的降次手段有所不同。

可見(jiàn)，解方程中滲透的化歸思想，體現(xiàn)出“未知向已知，復(fù)雜到簡(jiǎn)單”的轉(zhuǎn)化，即逐步使方程轉(zhuǎn)化為[x=a]的形式，是解方程的基本指導(dǎo)思想，它對(duì)各方程都適用。

總之，化歸是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)思想方法，它是數(shù)學(xué)思想方法體系中一個(gè)重要的組成部分，掌握了這種方法，對(duì)于開拓學(xué)生思維有著很大的幫助，它可以在一定程度上將所學(xué)的知識(shí)連貫在一起，讓學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中取得事半功倍的效果。然而，化歸思想的形成，不是一朝一夕的事情，需要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的載體來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)，需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，既需要教科書的滲透反映，也需要教師的點(diǎn)撥，最終還需要學(xué)生自身的感受與理解。