何杰　褚慧潔

摘要： 針對(duì)人的擴(kuò)散、 空間異質(zhì)性和處于靜態(tài)水源環(huán)境中不同濃度的弧菌對(duì)霍亂傳播的影響， 建立一個(gè)部分退化的反應(yīng)擴(kuò)散霍亂模型. 先定義模型的基本再生數(shù)R0， 表明R0-1的符號(hào)決定模型的全局閾值動(dòng)力學(xué); 然后通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)討論模型關(guān)鍵參數(shù)對(duì)R0的影響， 結(jié)果表明適度的城市化有利于對(duì)疾病的控制.

關(guān)鍵詞： 霍亂弧菌; 空間異質(zhì)性; 基本再生數(shù); 全局閾值動(dòng)力學(xué)

中圖分類號(hào)：? O29文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1671－5489（2023）04－0831－09

Threshold Dynamics of a Partially DegeneratedReaction－Diffusion Cholera Model

HE Jie， CHU Huijie

（School of Mathematics and Statistics， Xidian University， Xian 710126， China）

Abstract： In order to study the effects of human to human diffusion， spatial heterogeneity and different concentrations of Vibrio in static water source environment on cholera transmission， we established? a partially degenerated reaction－diffusion cholera model. Firstly， we defined the basic reproduction number R0 of the model. Secondly， the global threshold dynamics of the model was determined by the sign of R0-1. Finally， we discussed? the effects of key model parameters on R0 through numerical simulation experiments. The results show that moderate urbanization is beneficial to disease control.

Keywords： vibrio cholerae; spatial heterogeneity; basic reproduction number; global threshold dynamics

霍亂是由霍亂弧菌引起的細(xì)菌性疾病， 屬于急性腸道傳染病， 易導(dǎo)致水樣腹瀉、 嘔吐、 肌肉痙攣等癥狀， 大規(guī)模的霍亂疫情嚴(yán)重威脅人類的健康［1－5］. 霍亂是一種水媒傳染病， 通常有兩種傳播途徑： 由被霍亂弧菌污染的水或食物通過口及消化道傳播， 稱為間接傳播; 通過人與人之間的接觸傳播， 稱為直接傳播. 基于這兩種傳播途徑， 目前已建立了很多關(guān)于霍亂傳播的模型［6－9］. 這些工作主要基于SIB（這里S表示易感者， I表示染病者， B為水中的霍亂弧菌）的倉(cāng)室模型對(duì)其進(jìn)行定性和定量的研究， 對(duì)理解霍亂的傳播機(jī)制及其預(yù)防和控制具有積極作用.

實(shí)驗(yàn)表明， 存在于宿主之外的霍亂弧菌的傳染性會(huì)隨著時(shí)間的推移而衰減. 通常通過胃腸道在受感染的人類宿主身上新產(chǎn)生的弧菌可以存活數(shù)小時(shí)， 此時(shí)具有高度毒性和傳染性， 稱為霍亂弧菌的短期高傳染性（short－lived hyperinfectious）狀態(tài)［3，10］， 而在環(huán)境中生長(zhǎng)的霍亂弧菌稱為低傳染性霍亂弧菌（lower－infectious vibrio cholerae）. Hartley等［10］研究表明， 在模型中引入具有高傳染性的霍亂弧菌可更好地?cái)M合觀察到霍亂流行的模式. 因此， 在建模時(shí)有必要將霍亂弧菌從高傳染性到低傳染性的演變規(guī)律融入到模型中.

受文獻(xiàn)［11－12］的啟發(fā)， 本文討論一個(gè)部分退化反應(yīng)擴(kuò)散霍亂模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)， 這里的“退化”在數(shù)學(xué)模型中是指： 霍亂弧菌的擴(kuò)散系數(shù)為0. 本文首先構(gòu)建模型及其適定性， 通過定義模型的基本再生數(shù)R0， 表明R0-1的符號(hào)決定模型的全局閾值動(dòng)力學(xué)， 即當(dāng)R0≤1時(shí)， 疾病消除; 當(dāng)R0>1時(shí)， 模型有一全局漸近穩(wěn)定的正穩(wěn)態(tài)解， 疾病一致持續(xù). 最后， 通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)探討模型參數(shù)對(duì)R0的影響.

其次， 基于文獻(xiàn)［16］中的模擬思路， 分兩種情形討論R0與擴(kuò)散系數(shù)D的關(guān)系.

情形1） 不依賴于擴(kuò)散的傳染率. 取β1（x）=0.23×Λ（x）×（1+sin（πx））， β2（x）=0.4×β1（x）.? 利用文獻(xiàn)［23］中引理2.5和注3.2給出的R0計(jì)算策略， 繪制R0隨D的變化曲線， 如圖3所示. 由圖3可見， R0關(guān)于D單調(diào)遞減. 特別地， 當(dāng)D∈（0，0.2］時(shí)， R0隨D的改變急劇下降; 當(dāng)D∈（0.2，1］時(shí)， R0的變化較平緩， 波動(dòng)不大. 注意到感染者擴(kuò)散主要是為了尋找醫(yī)療資源進(jìn)行治療. 因此當(dāng)疫情開始時(shí)， 醫(yī)療資源較充足， 及時(shí)對(duì)感染者治療將快速降低疾病的傳播. 但隨著疫情的延續(xù)， 感染者的快速擴(kuò)散可能會(huì)導(dǎo)致醫(yī)療資源的擠兌， 因此擴(kuò)散對(duì)R0的影響較小. 所以在霍亂傳播早期， 可通過增加醫(yī)療投入對(duì)患病者給與充分的治療， 進(jìn)而降低霍亂疫情的傳播.

情形2） 依賴于擴(kuò)散的傳染率. 取β1（x，D）=×Λ（x）×（1+sin（πx））×D／（0.01+D）， 這里為基本傳染率. 圖4給出了R0關(guān)于擴(kuò)散系數(shù)D的變化趨勢(shì)， 它依賴于的大小. 當(dāng)=0.01時(shí)， R0關(guān)于D單調(diào)遞減（見圖4（A））; 當(dāng)=0.1時(shí)， R0關(guān)于D是非單調(diào)的（見圖4（B））; 當(dāng)=1.1， R0關(guān)于D單調(diào)遞增（見圖4（C））. 表明R0與擴(kuò)散系數(shù)D的關(guān)系與文獻(xiàn)［24］中單調(diào)遞減的結(jié)論不同，? 它依賴于模型中參數(shù)的選擇. 此外， 由圖4（A）～（C）可見， 對(duì)于固定的擴(kuò)散率，? 越大， R0越大. 因此， 當(dāng)霍亂疫情暴發(fā)時(shí)， 可通過減少與不潔水源的接觸、 注意個(gè)人衛(wèi)生等措施降低被水源中霍亂弧菌感染的風(fēng)險(xiǎn).

為探討空間異質(zhì)性對(duì)霍亂傳播的影響， 令Λ（x）=100（1.1-σcos（2x））， 這里σ由0變化到1表示由于城市化進(jìn)程， 越來越多的人離開農(nóng)村來到城市［25］. 其他參數(shù)的選取除D=0.2外， 可參見式（7）和情形1）. 圖5為R0與σ和ξ的關(guān)系曲線. 由圖5（A）可見， 隨著σ的增加， R0先遞減后遞增， 表明適度的城市化會(huì)降低霍亂傳播的風(fēng)險(xiǎn)， 但過度的城市化反而會(huì)加速疾病的傳播.

最后討論高傳染性霍亂弧菌的衰退率ξ 對(duì)R0的影響. 各參數(shù)的取值參見式（7）和情形1）. 由圖5（B）可見， R0關(guān)于ξ單調(diào)遞減， 即隨著高傳染性弧菌濃度的衰退， 霍亂傳播的風(fēng)險(xiǎn)將逐步降低.

綜上所述， 本文考慮了人及人的擴(kuò)散、 不同傳染性的霍亂弧菌和空間異質(zhì)性對(duì)霍亂傳播的影響， 通過假設(shè)水源靜止， 建立了一個(gè)部分退化反應(yīng)的擴(kuò)散霍亂模型. 首先定義了模型的基本再生數(shù)R0， 并討論了模型關(guān)于R0 的全局閾值動(dòng)力學(xué). 其次， 在理論上證明了R0是決定疾病消除或一致持續(xù)的閾值. 即當(dāng)R0≤1時(shí)， 無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)R0>1時(shí)， 系統(tǒng)（1）有唯一全局漸近穩(wěn)定的正穩(wěn)態(tài)解. 最后， 數(shù)值實(shí)驗(yàn)證了理論結(jié)果， 并進(jìn)一步研究了模型中關(guān)鍵參數(shù)對(duì)R0 的影響， 結(jié)果表明： 人口密度分布的非均勻性和城市化都會(huì)影響疾病的傳播； R0關(guān)于擴(kuò)散系數(shù)D是非單調(diào)性的.

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（責(zé)任編輯： 李 琦）

收稿日期： 2022－09－15.

第一作者簡(jiǎn)介： 何 杰（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事生物數(shù)學(xué)與應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng)的研究， E－mail： hj1416500720@163.com.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 11971369）.