何陳程，王文波，喻 敏

(武漢科技大學 理學院，武漢 430065)

0 引言

滾動軸承是許多旋轉機械的重要部件，當滾動軸承發(fā)生故障時會嚴重影響機械的性能。因此，針對滾動軸承的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷受到眾多學者的廣泛關注。滾動軸承的主要部件是內圈、外圈、滾珠和保持架。軸承發(fā)生故障后，每當滾動元件與故障部位接觸時都會引起一系列的沖擊，這些沖擊產生的脈沖會激發(fā)整個系統(tǒng)的周期性振動，滾動軸承故障診斷方案也是基于檢測故障沖擊所引起的周期性振動而形成的。

目前滾動軸承故障診斷方法主要包括時域診斷、頻域診斷和時頻域診斷等。檢測故障周期性沖擊最簡單的方法是快速傅里葉變換(FFT，fast fourier transform)。 在軸承振動信號采集過程中，由于現場環(huán)境和其他設備的干擾，往往采集到的信號中包含較強的背景噪聲，采用傳統(tǒng)的FFT通常難以清晰地識別信號頻譜中與軸承故障相關的特征。為了克服噪聲的影響，提高軸承故障的檢測精度，高頻諧振技術[1-2]，最小熵反卷積[3]，譜峰度[4]，高階譜技術[5]，經驗模態(tài)分解[6-7]，小波去噪[8-9]，小波分解樹[10]等方法被陸續(xù)提出。

對于高速運行的滾動軸承，由于故障而產生的脈沖沖擊強度足夠高，現有的方法可以得到較好的診斷精度[11]。然而，當由軸承支撐的轉子低速運轉時(通常當轉速低于 100 rpm被認為是低速)[12]，與故障相關的沖擊特征通常比較弱，并且往往被背景噪聲所湮沒，此時，傳統(tǒng)的診斷方法往往不能有效地檢測出軸承的缺陷[13-14]。為了克服傳統(tǒng)診斷方案對低速滾動軸承故障檢測的不足，應力波分析[13]、歸納推理分類[14]、參數譜分析[15]、 多帶自回歸解調[16]等診斷方案被提出，然而該類方法對噪聲比較敏感，在進行診斷識別前，需要事先對噪聲進行抑制處理，限制了該類方法的推廣使用。

為了進一步提高低速軸承故障診斷精度以及優(yōu)化降噪效果，本文引入品質可調小波，提出一種基于TQWT小波去噪和自適應閾值相結合的低速滾動軸承故障信號去噪方法。該方法中，首先對低速滾動軸承振動信號進行TQWT分解；然后，利用sigmoid函數構造一種改進的分層自適應閾值函數，對TQWT系數進行去噪處理；最后，利用去噪后的小波系數重構去噪振動信號，并對重構后的信號進行包絡分析，實現低速滾動軸承的故障診斷以及故障信號去噪。

通過實測信號進行了實驗分析，實驗結果表明，本文方法不僅有效濾除了軸承振動信號中的噪聲成分，而且較好的保留了由于故障沖擊而引起的高頻沖擊性特征，從去噪后的信號中可以成功的提取微弱故障特征，對低速軸承的故障診斷問題，具有較高的識別準確度，具有較好的工程實用價值。

1 品質可調小波變換

可調品質因子小波變換(TQWT)是可完全重構的離散小波變換，它通過迭代應用高通濾波器組(HPS β)和低通濾波器組(LPS α)對信號進行逐層分解[17]。TQWT對信號x(n)進行J級分解和重構的過程如圖1所示。

圖1 J級(J=3)TQWT對信號x的分解與重構

在TQWT中，高通濾波器H(ω)和低通濾波器L(ω)的頻率響應分別定義如下：

(1)

(2)

其中：θ(ω)是具有兩個消失矩的 Daubechies小波基[18]，即：

(3)

TQWT有3個參數：品質因子Q、冗余系數r和分解層數J，在TQWT中，高通濾波系數β，低通濾波系數α與Q、r之間的關系如下：

(4)

(5)

其中：N是數據長度，|·|表示向下取整。

當Q=1，r=3，N=10 000時，J=17，此時TQWT小波變換的頻率響應如圖2所示。

圖2 TQWT頻率響應圖

2 自適應閾值TQWT小波去噪

2.1 小波閾值去噪基本理論

小波閾值去噪是一種廣泛使用的信號去噪方法[9]，可較好地去除噪聲并提取信號的關鍵特征，而且小波閾值去噪不需要污染信號中噪聲特征的先驗信息[10-11]。小波閾值去噪主要包括以下步驟：小波基的選擇，分解級數的確定，閾值函數選取以及去噪閾值估計。其中，選取合適的閾值函數對小波去噪的結果至關重要。

假設含噪信號為x(k)=s(k)+n(k)，其中s(k)為未含噪聲的純凈信號，n(k)為噪聲信號，則信號經小波變換后可表示為：

wj，k=uj，k+εj，k，j=1，…，J；k=1，…，K

(6)

式中，wj，k表示含噪信號的小波系數，uj，k、εj，k分別表示純凈信號和噪聲的小波系數，j表示小波分解尺度。已有的研究表明，往往噪聲信號的小波系數較小，而有用信號的小波系數較大，因此可以通過對wj，k設置合理的閾值，區(qū)分其為信號小波系數還是噪聲小波系數[20]。傳統(tǒng)的小波閾值函數為硬閾值函數和軟閾值函數[21]，硬閾值函數的表達式為：

(7)

軟閾值函數的表達式為：

(8)

2.2 自適應閾值函數

由式(7)、(8)可知，硬閾值函數是將那些絕對幅值不大于閾值的的點置零，從而保留剩下那些絕對幅值大于閾值的點。然而硬閾值函數在正、負閾值處都存在間斷點，重構后的信號會產生振蕩和模糊。軟閾值函數雖然在閾值處連續(xù)，但是整體會進行收縮，重構后的信號與原始信號存在恒定偏差。

對于如何選取閾值函數，我們知道當函數在閾值處連續(xù)且可導時降噪效果更好。在此基礎上若設置函數向硬閾值函數靠攏，對于減小重構信號的偏差更為有效，最后可以得到更加準確的信號?？紤]到以上條件，本文結合sigmoid 函數，構建了一種分層自適應小波閾值函數，用于低速滾動軸承故障信號的降噪。

sigmoid 函數的定義為：

(9)

sigmoid 函數連續(xù)且可微，其輸出范圍在0～1之間。為了將其輸出范圍調整為-1～1，本文將 sigmoid 函數定義修正為：

(10)

本文以sigmoid 函數和修正后的sigmoid 函數為基礎，構造了分層自適應閾值函數估計，如下式所示：

(11)

式中，m是一個固定正值，本文取m=2；λ表示去噪閾值。按照Donoho[20]給出的公式計算λ，即：

(12)

式中，K表示信號的長度，σ表示第一層小波系數的噪聲方差，其估計值為：

(13)

式中，{w1，k}1≤k≤K表示第一層小波系數。

2.3 閾值函數連續(xù)和可導性證明

2.3.1 連續(xù)性證明

實驗結果表明，閾值函數連續(xù)且一階可導時，往往會取得更好的去噪效果。在實驗結果的基礎上如果閾值函數能向硬閾值函數靠攏，對減小重構信號的偏差就更有效。針對本文所構造的閾值函數(如式(11)所示)，我們需證明它的連續(xù)性和可導性。為了方便表示，我們把式(11)的閾值函數改寫為：

(14)

從式(14)可以看出，本文所構造的閾值函數為一分段函數，函數存在兩個分段點x=λ和x=-λ。由式(11)可知，閾值函數在區(qū)間(-∞，-λ)∪(-λ，λ)∪(λ，+∞)都連續(xù)，因此，只需證明其在分段點處連續(xù)即可。

對于點x=λ，當x→λ+時，函數右極限為：

(15)

當x→λ-時，函數左極限為：

對于點x=-λ，當x→-λ-時，函數左極限為：

(16)

由以上證明可知，本文構造的閾值函數在正閾值與負閾值處都連續(xù)，因此該閾值函數在TQWT小波變換的值域內為連續(xù)函數。

2.3.2 可導性證明

對于點x=λ，當x→λ+時，函數右導數為：

(17)

對于點x=-λ，當x→-λ-時，函數左導數為：

(18)

2.4 基于TQWT自適應閾值去噪的軸承故障診斷

軸承振動信號經TQWT降噪并提取故障特征的步驟如下：

1)設定TQWT的品質因子和冗余度參數(Q，r)，并計算分解層數J，本文中取Q=2，r=3。

2)根據式(5)計算分解層數J，對信號x進行TQWT分解，得到J個高頻系數和1個低頻系數。

3)計算小波去噪閾值。根據式(7)和式(8)，計算TQWT小波去噪的閾值λ。

4)對TQWT小波分解后的J個高頻系數利用閾值公式(11)進行去噪處理。

6)對去噪后的信號進行Hilbert變換構建Hilbert包絡，對包絡進行快速傅里葉變換(FFT)生成其包絡譜，根據包絡譜對低速滾動軸承故障進行識別和診斷。

3 低速軸承故障信號降噪實驗

3.1 本文方法的去噪效果分析

為了驗證本文提出的基于TQWT小波自適應閾值去噪方法對實際低速運行軸承信號的降噪效果，選擇在MFS機械故障模擬實驗系統(tǒng)上進行實驗，該實驗系統(tǒng)能夠通過更換故障軸承的方式采集軸承故障信號，實驗裝置如圖3所示。變頻驅動器 (VFD)用于在 0～80 Hz 范圍內調節(jié)驅動軸的速度。在故障軸承的底座上安裝傳感器以采集軸承振動信號，采樣頻率為2.56 kHz，低速軸承旋轉頻率設為30 Hz，信號采集長度K取4 000。模擬實驗中的振動信號分別來自于軸承在外圈、內圈和滾珠故障時的信號。

圖3 MFS 系統(tǒng)及其重要組成部分

所有實驗均使用 Rexnord MB-ER-16 K1型滾珠軸承進行，該類型軸承滾珠直徑d為7.94 mm，外圈直徑D為39.32 mm，接觸角為0，滾珠數量為9。根據滾珠軸承對應頻率計算公式可知，軸承內圈故障頻率為5.409fs、外圈故障頻率為3.592fs、滾珠故障頻率為2.376fs，其中fs是軸承旋轉速度。

3.1.1 低速軸承外圈故障去噪效果分析

帶有外圈故障的低速軸承振動信號如圖 4(a)所示，實驗中，采集到的振動信號的均方根(RMS)值為0.048，而同期無故障軸承振動信號的RMS為0.003 7，RMS的差異以及軸承溫度等檢測數據表明軸承中存在故障，但僅從時域信號中無法分析故障類型。利用本文方法對外圈故障信號進行去噪，去噪結果如圖4(b)所示，對原始振動信號和去噪后信號進行Hilbert包絡譜分析，結果如圖4(c)和4(d)所示。

圖4 外圈故障信號的去噪分析

從圖4(c)可以看出，原始信號的Hilbert包絡譜在外圈故障頻率(fo)處具有峰值，但峰值并不明顯，和干擾頻率比較接近，而且除了1倍外圈故障頻率，沒有外圈故障頻率的倍頻出現，導致故障判斷特征不明顯。而在去噪后信號的包絡譜中(圖4(d))，對于外圈故障頻率，除了1倍外圈故障頻率(fo)，在2倍頻(2fo)、3倍頻(3fo)和4倍頻(4fo)處也出現了明顯的峰值，可以明顯的識別出外圈故障。因此，原始振動信號經本文方法去噪后，明顯降低了噪聲的干擾，增強了軸承周期性振動信號的特征，可以更清晰地提取出外圈故障的振動特征。

3.1.2 低速軸承內圈故障去噪效果分析

低速運行軸承內圈故障去噪效果分析如圖5所示，實驗中，采集到的內圈故障軸承的原始振動信號的RMS值約為0.047，約為無故障軸承RMS的 13倍，因此可以判定軸承出現了故障。原始振動信號和去噪后信號的時域波形如圖5(a)和5(b)所示，對原始信號和去噪后信號分別進行帶通濾波和Hilbert包絡譜分析，包絡譜分析的結果如圖5(c)、5(d)所示。

圖5 內圈故障振動信號的去噪效果分析

從圖5(c)可以看出，原始信號在軸承內圈故障的1倍頻(fi)和2倍頻(2fi)處出現了比較弱的峰值，但峰值也受到噪聲的較大干擾，峰值趨勢并不明顯，不利于故障特征的提取和故障類型的判斷。從圖5(d)可以看出，去噪后信號在軸承內圈故障1倍頻(fi)、2倍頻(2fi)、3倍頻(3fi)、4倍頻(4fi)、5倍頻(5fi)和6倍頻(6fi)處都有明顯的峰值。可見，本文方法去噪明顯提高了Hilbert功率譜中出現的內圈故障頻率峰值，其邊帶以軸承轉速間隔隔開。因此，內圈故障信號的去噪結果也體現了本文去噪方法的有效性。

3.1.3 低速軸承滾珠故障去噪效果分析

低速軸承滾珠故障去噪的分析結果如圖6所示，在該實驗中，軸承軸速仍為1 Hz，軸承發(fā)生滾珠故障后，其振動信號的RMS值為 0.044，大約是無故障軸承RMS的11.9 倍。

圖6 滾珠故障振動信號去噪效果分析

從圖6(c)和6(d)可以看出，原始振動信號的包絡譜只顯示出微弱的滾珠故障1倍頻和2倍頻特征。而去噪后信號的包絡譜則在滾珠故障的1倍頻(fc)，2倍頻(2fc)，3倍頻(3fc)，4倍頻(4fc)和5倍頻(5fc)處都具有較明顯的峰值?？梢钥闯?，當軸承轉速較慢時，如果不對滾珠故障的軸承振動信號進行去噪，則滾珠故障的微弱故障特征就會被掩埋在噪聲中而無法提取故障特征和分析故障類型。當原始振動信號經本文方法去噪后，微弱故障的特征信息在包絡譜中可以清晰呈現，顯示了去噪方案的有效性。

3.2 仿真故障信號去噪時的對比實驗分析

為了進一步分析所提出自適應閾值函數的去噪性能，將其分別與硬閾值函數、軟閾值函數的去噪結果進行比較。采用信噪比(SNR，signal-to-noise ratio )和均方根誤差(RMSE，root mean square error)對去噪性能進行評價分析。SNR和RMSE的定義公式分別為：

(19)

為了計算SNR和RMSE，需要用到不含噪聲的純凈振動信號，但在軸承振動信號的實際測量中，受到工況、運行環(huán)境等原因的影響，獲得不含噪聲的純凈信號較為困難。因此，首先采用仿真模擬信號驗證本文所提方法的有效性，分別構造外圈故障信號、內圈故障信號和滾珠故障信號。然后將本文提出的方法分別與傳統(tǒng)小波分解的軟閾值去噪和硬閾值去噪進行比較。針對外圈故障仿真信號，設置軸承固有振動頻為fn=3 000 Hz，外圈故障特征頻率為100 Hz，采樣頻率設置為fs=20 kHz，采樣長度為N=4 096。給仿真信號加入信噪比為2 dB的高斯白噪聲，原始仿真信號和添加白噪聲后的信號分別如圖7(a)和7(b)所示。

圖7 仿真外圈故障信號

將加噪仿真信號利用TQWT分解后，分別采用硬閾值函數、軟閾值函數和本文提出的閾值函數進行去噪處理，3種方法去噪后的結果如圖8所示。

圖8 不同閾值函數去噪后結果

從圖8可以看出，硬閾值函數的去噪結果優(yōu)于軟閾值函數的去噪結果，但硬閾值函數去噪后，信號中的噪聲仍去除的不夠充分，有較多的殘留，噪聲對故障沖擊脈沖波形造成了較大的干擾，必然會影響后繼的故障特征提取。從圖8(c)可以看出，含噪信號經本文提出的閾值函數去噪后，噪聲基本被去除，而且比較完整地保留了外圈故障信號的沖擊脈沖。因此，從圖8中的波形對比可以看出，本文方法取得了更優(yōu)的去噪效果，與經典的硬閾值和軟閾值函數相比，去噪效果都有了較大幅度的提高。

為了進一步對3種閾值函數的去噪效果進行對比，下面分別計算3種方法去噪之后信號的SNR和RMSE，結果如表1所示。

表1 各方法對軸承信號降噪后的評價指標

從表1可以看出，相較于軟閾值函數，硬閾值函數在外圈故障和內圈故障信號的去噪中效果更好，其SNR更高、RMSE更低。對于滾珠故障信號來說，硬閾值函數和軟閾值函數去噪后的效果相當，硬閾值函數去噪后的效果略好一點，但兩者相差不大。從表1也可以看出，不論是外圈故障、內圈故障還是滾珠故障信號，本文方法去噪后的SNR和RMSE都要優(yōu)于兩種經典的閾值函數。對于3種故障信號，與硬閾值函數相比，本文方法去噪后的SNR平均增加了4.149 1，RMSE平均下降了0.132 9；與軟閾值函數相比，本文方法去噪后的SNR平均增加了5.111 8，RMSE平均下降了0.150 5。因此，可以看出本文提出的閾值函數具有更優(yōu)的去噪效果，可以在去除噪聲的同時更好地保留軸承故障的沖擊性脈沖特征。

3.3 實測故障信號去噪時的對比實驗分析

分別采用硬閾值算法、軟閾值算法和本文方法對美國凱斯西儲大學(case western reserve university)的軸承故障試驗數據進行去噪，比較3種方法的去噪性能。該實驗中，軸承型號為SKF6205深溝球軸承，實驗參數如表2所示，實驗數據的采樣頻率為12 kHz，本文中選取的實驗數據的長度為2 048。在凱斯西儲大學的軸承故障實驗中，通過點蝕的方式在分別內圈和外圈布置尺寸為0.006×0.012英寸的單點故障。內圈故障和外圈故障的頻率分別如式(20)中的fi和fo所示：

(20)

圖9 外圈故障信號3種方法去噪后的Hilbert包絡譜

圖10 內圈故障信號3種方法去噪后的Hilbert包絡譜

其中：r表示軸承本身的轉速，n表示軸承中滾珠的個數；d表示軸承滾珠的直徑；D表示軸承保持架的直徑；α表示軸承滾珠接觸角。

表2 實驗軸承參數設置 英寸

3.3.1 軸承外圈故障信號去噪效果分析

本文選取的外圈故障實驗信號如圖9(a)所示，根據式(20)可求出外圈故障的沖擊頻率為103.47 Hz。分別采用硬閾值函數、軟閾值函數和本文提出的方法對外圈故障信號進行去噪處理，然后計算3種方法去噪后信號的Hilbert包絡譜，分別如圖9(b)、(c)和(d)所示。

從圖9(b)和9(c)可以看出，故障信號經硬閾值和軟閾值方法去噪后，其Hilbert包絡譜中可以看出外圈故障頻率的一倍頻(104.4 Hz)以及其二倍頻(210.7 Hz)。與軟閾值去噪相比，硬閾值方法去噪效果有一定的優(yōu)勢，其去噪后的Hilbert譜(圖9(b))中外圈故障一倍頻和二倍頻的幅值更清晰，且周圍的干擾譜線也較少。但硬閾值和軟閾值去噪后，都無法顯示故障的其他倍頻，仍無法精確識別軸承的具體故障類型。從圖9(d)可以看出，經過本文方法去噪后的Hilbert包絡譜中，可以比較清楚的看出外圈故障特征頻率的一倍頻、二倍頻至七倍頻，且干擾譜線較少，可以充分的顯示外圈故障的沖擊特征，從而準確識別軸承的故障類型。因此，對于軸承外圈故障信號，本文所提出的去噪方法可以取得更好的去噪效果。

3.3.2 軸承內圈故障信號去噪效果分析

本文選取的內圈故障實驗信號如圖10(a)所示，根據式(20)可求出內圈故障的特征頻率為161.21 Hz。分別采用硬閾值函數、軟閾值函數和本文提出的方法對內圈故障信號進行去噪，3種方法去噪后信號的Hilbert包絡譜分別如圖10(b)、(c)和(d)所示。

從圖10(b)和10(c)可以看出，硬閾值方法的去噪效果由于軟閾值方法，但兩種方法去噪后的Hilbert包絡譜中，都只能顯示出內圈故障頻率的一倍頻(163.1 Hz)以及其二倍頻(324.3 Hz)。由于殘留噪聲的干擾，內圈故障頻率的其他倍頻倍湮沒，無法清晰顯示，影響了內圈故障類型的識別。從圖10(d)可以看出，本文方法去噪后的Hilbert包絡譜中，內圈故障特征頻率的1倍頻163.1 Hz，2倍頻324.3 Hz，3倍頻487.2 Hz，4倍頻648.5和5倍頻813.6 Hz 等都清晰可見。顯然，使用本文方法獲得了最好了降噪效果，充分去除了內圈故障信號中的噪聲且保留了故障特征的沖擊波形，降低了噪聲對軸承故障特征影響。通過Hilbert包絡檢測到的倍頻值與理論計算出的內圈故障理論值基本吻合，因此，可以準確地識別出軸承內圈故障。

4 結束語

傳統(tǒng)的滾動軸承故障診斷方法不適用于低速運行時的轉子軸承系統(tǒng)，本文采用改進的TQWT小波去噪和包絡譜分析的混合方法對低速運行的軸承故障進行診斷分析。在本文所提出的方法中，首先對軸承故障振動信號進行TQWT小波分解，然后基于sigmoid 函數構造了一種新的閾值函數，利用該閾值函數對TQWT小波分解系數進行去噪處理。利用所提出的方法對低速運行軸承的外圈故障、內圈故障和滾珠故障分別進行了去噪實驗分析，實驗結果表明，本文方法具有較好的去噪效果，經本文方法去噪后，顯著減少了噪聲的干擾，包絡譜中可清晰地呈現軸承故障的頻譜特征，對去噪后信號利用包絡譜分析可以較好地發(fā)現各種故障癥狀，從而實現對故障類型的分析和分類。 本文方法是在TQWT分解的基礎上進行閾值去噪處理的，因此TQWT小波的分解參數(Q，r，J)非常重要，(Q，r，J)取不同值時對去噪效果有較大的影響，如何選取TQWT的最后參數組合，進一步提高軸承故障信號的去噪效果是本文下一步將要開展的研究方向。