陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

(上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444)

由于自然界和工程系統(tǒng)中廣泛存在著非線性因素和現(xiàn)象，非線性振動(dòng)逐漸成為振動(dòng)力學(xué)的一部分，在多種國(guó)內(nèi)外振動(dòng)教材[1-3]中有相關(guān)內(nèi)容。近年的振動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)實(shí)踐中，也有非線性振動(dòng)介紹，例如搓動(dòng)龍洗的自激振動(dòng)實(shí)驗(yàn)[4]和繩系衛(wèi)星系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)[5]?！叭绾卧谟邢迣W(xué)時(shí)的限制和不增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)條件下使學(xué)生獲得必要的非線性振動(dòng)知識(shí)，無(wú)論對(duì)教材編寫(xiě)或?qū)處煹慕虒W(xué)實(shí)踐都是值得認(rèn)真研究和探索的課題”[6]。文獻(xiàn)[7]給出了在本科生振動(dòng)力學(xué)教材中敘述非線性振動(dòng)的一種方案。本文總結(jié)在上海大學(xué)力學(xué)專業(yè)本科生振動(dòng)力學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中對(duì)非線性振動(dòng)內(nèi)容的處理。相關(guān)內(nèi)容也可供為工程專業(yè)研究生開(kāi)設(shè)的40 學(xué)時(shí)振動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課程參考。

1 總體考慮

力學(xué)專業(yè)的振動(dòng)力學(xué)課程在1999 年至2001年曾經(jīng)是50 學(xué)時(shí)，可以大體上遵循教材[7]的體系，較為統(tǒng)一地處理線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)。2002 年起，振動(dòng)力學(xué)課為40 學(xué)時(shí)，只能側(cè)重線性振動(dòng)的教學(xué)?，F(xiàn)行教學(xué)大綱安排非線性振動(dòng)簡(jiǎn)介和混沌簡(jiǎn)介各2 學(xué)時(shí)。如果有節(jié)假日等導(dǎo)致課時(shí)減少時(shí)，只保留非線性振動(dòng)的2 學(xué)時(shí)。

非線性振動(dòng)部分的教學(xué)目的包括3 個(gè)方面：（1）了解典型的非線性振動(dòng)現(xiàn)象以及研究這些現(xiàn)象所需要的最基本近似分析方法；（2）初步了解非線性振動(dòng)研究中建模、分析、仿真等環(huán)節(jié)及其相互關(guān)系；（3）具有分析和解釋最常見(jiàn)的非線性振動(dòng)現(xiàn)象的初步能力。

需要指出的是，通過(guò)對(duì)非線性振動(dòng)的學(xué)習(xí)，還可以對(duì)線性振動(dòng)有更深入的理解。例如，對(duì)比非線性振動(dòng)，更明確研究線性振動(dòng)的必要性至少包括3 個(gè)方面：其一是有效性，在特定時(shí)間和變量范圍內(nèi)近似預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)行為；其二是便利性，使得理論分析可能和數(shù)值仿真易行；其三是工具性，有些非線性振動(dòng)問(wèn)題在一定條件下可以用一系列線性問(wèn)題的解逼近。又例如，通過(guò)與非線性減振和非線性隔振的比較，更明確線性減振和線性隔振的局限。

2 具體內(nèi)容

兩學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容分為非線性振動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)和非線性減振隔振兩部分，各約一個(gè)學(xué)時(shí)。

非線性振動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)包括非線性的概念、非線性振動(dòng)分析的基本方法和典型非線性振動(dòng)現(xiàn)象3 個(gè)方面。非線性的概念包括非線性的數(shù)學(xué)描述、非線性的分類、機(jī)械和電磁系統(tǒng)中非線性因素、線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)比較。特別說(shuō)明研究非線性振動(dòng)的必要性，自然規(guī)律本身是非線性的，存在非線性現(xiàn)象如自激振動(dòng)、內(nèi)共振和混沌等，恰當(dāng)設(shè)計(jì)的非線性能改進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。非線性振動(dòng)的分析方法只敘述推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單、物理意義清晰的諧波平衡法，從簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用下含立方非線性項(xiàng)振動(dòng)系統(tǒng)個(gè)案分析入手，導(dǎo)出幅頻響應(yīng)特性，隨后也討論較為一般的周期受周期外激勵(lì)作用單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)。非線性振動(dòng)典型現(xiàn)象是教學(xué)的重點(diǎn)，對(duì)于前述非線性受迫振動(dòng)分別介紹了跳躍現(xiàn)象、超諧波響應(yīng)和亞諧波響應(yīng)，從物理機(jī)制入手分析了自激振動(dòng)并讓有興趣的學(xué)生課后對(duì)非線性阻尼系統(tǒng)進(jìn)行諧波平衡分析，以含二次非線性項(xiàng)兩自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)為例簡(jiǎn)要介紹了內(nèi)共振的飽和現(xiàn)象和雙跳躍現(xiàn)象。非線性振動(dòng)分析的基本方法和典型的非線性振動(dòng)現(xiàn)象取自教材[7]中相關(guān)內(nèi)容，但沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)。

簡(jiǎn)要介紹非線性減振和非線性隔振，以便讓學(xué)生對(duì)前述恰當(dāng)設(shè)計(jì)的非線性能改進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有初步的了解。減振是對(duì)整星縮比模型設(shè)計(jì)了非線性能量匯，可以克服線性動(dòng)力吸振器產(chǎn)生新共振頻率的局限性，實(shí)驗(yàn)表明能實(shí)現(xiàn)寬頻減振并保持系統(tǒng)固有頻率基本不變；基于前兩階固有頻率相同可以建立降階簡(jiǎn)化模型，用諧波平衡法導(dǎo)出幅頻特性，解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。非線性隔振采用圓環(huán)，通過(guò)對(duì)曲梁的分析可以導(dǎo)出非線性剛度，為分段函數(shù)，都涉及橢圓函數(shù)，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)的等效黏性阻尼；在所得到單自由度非線性振動(dòng)模型基礎(chǔ)上，可以用諧波平衡法導(dǎo)出幅頻響應(yīng)特性；用數(shù)顯式測(cè)力計(jì)的靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證導(dǎo)出的非線性剛度，振動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了近似解析方法預(yù)測(cè)的幅頻響應(yīng)曲線，包括跳躍現(xiàn)象。這部分應(yīng)用內(nèi)容分別取材于研究論文整星縮比模型的非線性能量匯減振[8]和圓環(huán)非線性隔振[9]。兩篇論文共同特點(diǎn)是都有建模和分析，以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

3 思政元素

課程思政提倡思政元素春風(fēng)化雨、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入正常的課程教學(xué)中[10]。非線性振動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)內(nèi)在地包含思政元素，試總結(jié)幾點(diǎn)如下。

在研究方法方面，突出建模和近似分析的簡(jiǎn)化思路。所謂簡(jiǎn)化，其實(shí)就是抓住主要矛盾?！暗闷渚浯?，在其內(nèi)而忘其外，見(jiàn)其所見(jiàn)，不見(jiàn)其所不見(jiàn)，視其所視，而遺其所不視”(《列子·說(shuō)符》)。用諧波平衡法進(jìn)行近似分析時(shí)，聚焦于非線性項(xiàng)對(duì)低階次諧波的影響，而忽略了對(duì)高階次諧波的影響。在適當(dāng)簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)建模中包括不同的思路，從原理出發(fā)的理論建模如圓環(huán)隔振器非線性剛度的推導(dǎo)，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的辨識(shí)建模如圓環(huán)隔振器的等效黏性阻尼系數(shù)的確定，基于功能等效建立簡(jiǎn)化模型如整星降階模型。

作為振動(dòng)力學(xué)課程的一部分，非線性振動(dòng)的簡(jiǎn)介試圖能彰顯力學(xué)學(xué)科特色。因此除了基本近似分析方法和典型非線性振動(dòng)現(xiàn)象外，增加了非線性減振和隔振的應(yīng)用性專題。與物理學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)以認(rèn)識(shí)世界為主不同，力學(xué)同時(shí)也是應(yīng)用科學(xué)，具有改造世界的功能。借用馬克思《關(guān)于費(fèi)爾巴哈的提綱》(Thesen über Feuerbach)的話，“哲學(xué)家們只用不同的方式解釋世界，而問(wèn)題在于改變世界(Die Philosophen haben die Welt nur verschieden interpretiert; es k?mmt drauf an,sie zu ver?ndern)?！绷W(xué)既要解釋世界，也要改造世界。在認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)上改造世界，在改造世界的過(guò)程中更好地認(rèn)識(shí)世界。非線性振動(dòng)所涉及的問(wèn)題，不僅有分析和仿真，也有設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

非線性振動(dòng)的教學(xué)還突出力學(xué)與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系?；谥C波平衡進(jìn)行簡(jiǎn)單的公式推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算，可預(yù)測(cè)幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，并得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。不加推導(dǎo)給出的圓環(huán)的非線性剛度，為含有橢圓函數(shù)的非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式。但奇妙的是，恢復(fù)力隨變形變化的曲線，與靜力實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好。這種數(shù)學(xué)在力學(xué)中的適用性、準(zhǔn)確性和預(yù)見(jiàn)性，或許就是諾貝爾獎(jiǎng)得主維格納(Eugene Paul Wigner, 1902—1995)與圖靈獎(jiǎng)得主漢明(Richard Wesley Hamming, 1915—1998)分別討論的數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的 “不可思議的有效性(the unreasonable effectiveness)”[11-12]。但另一方面，力學(xué)不僅是數(shù)學(xué)。在力學(xué)中，數(shù)學(xué)建模和分析的結(jié)果，需要有實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。

教學(xué)中采用的非線性振動(dòng)兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例都是課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)在主流期刊上發(fā)表的研究結(jié)果，意在鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新探索。科學(xué)研究并不神秘，也不一定需要大量的準(zhǔn)備知識(shí)。只要對(duì)科學(xué)問(wèn)題有清晰的理解，并及時(shí)學(xué)習(xí)研究需要的準(zhǔn)備知識(shí)，就有可能采取分析、數(shù)值或?qū)嶒?yàn)的方法，在特定方面取得研究進(jìn)展。

4 結(jié)語(yǔ)

本文總結(jié)在本科生振動(dòng)力學(xué)課程中簡(jiǎn)介非線性振動(dòng)的思考和實(shí)踐。教學(xué)目的主要是了解典型非線性振動(dòng)現(xiàn)象及其最基本的分析方法，以便能對(duì)常見(jiàn)非線性振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行初步的理論分析和解釋。教學(xué)內(nèi)容包括諧波平衡法、典型非線性振動(dòng)現(xiàn)象（跳躍、超諧波響應(yīng)、亞諧波響應(yīng)、自激振動(dòng)、內(nèi)共振中的飽和和雙跳躍）以及非線性在減振和隔振中的應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生了解建模和分析過(guò)程中的簡(jiǎn)化、理解力學(xué)學(xué)科具有應(yīng)用學(xué)科的功能和體認(rèn)力學(xué)與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系。