胡臘婷 (江蘇省常州市龍城高級中學(xué) 213003)

基于新課標(biāo)、新高考、新教材這三新背景,高中開始如火如荼地展開了課堂教學(xué)改革.眾所周知,教材是教學(xué)的基本資料,因此,對比舊教材,研讀新教材,將課改理念向教學(xué)行為轉(zhuǎn)化迫在眉睫.

作為基本初等函數(shù)之一,冪函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的地位.冪函數(shù)的學(xué)習(xí)與研究過程,不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),滲透素質(zhì)教育理念.而這次教材改編,針對“冪函數(shù)”進(jìn)行了很大的改動.筆者在此通過回顧和梳理新、舊蘇教版高中數(shù)學(xué)“冪函數(shù)”部分內(nèi)容的差異,歸納其變化的特點(diǎn),分享對“冪函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)的一點(diǎn)思考.

1 冪函數(shù)的文本內(nèi)容分析

1.1 新、舊教材的編排順序

蘇教版(2019版)新教材將“冪函數(shù)”編排在第六章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)》的第一節(jié),而蘇教版(2004版)教材則是編排在第三章《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)》的第三節(jié).區(qū)別于以前的“指對冪”,新教材選擇最先研究冪函數(shù)的概念和圖象性質(zhì).事實(shí)上,冪函數(shù)的教學(xué)中常常由初中時的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)引入,對比新知識——指數(shù)函數(shù)無疑更易讓學(xué)生接受,并且在進(jìn)行冪函數(shù)的概念教學(xué)時常與指數(shù)函數(shù)對比,這也為下一節(jié)內(nèi)容作了鋪墊.因此,這個順序的微調(diào),不僅起到了非常好的承上啟下的銜接作用,還更符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣.

1.2 新、舊教材的內(nèi)容變動

新教材的主體內(nèi)容部分較之舊教材,有很大的改動和增加.

第一,在情境引入部分,雖然兩版教材都由實(shí)際問題入手構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,但是舊教材得出的函數(shù)解析式并不是冪函數(shù),而是與冪函數(shù)有關(guān),這容易造成概念混淆.而新教材設(shè)置的三個情境則更為精準(zhǔn)貼切.

第二,在段落銜接部分,與舊教材相比,新教材不僅在情境引入與具體概念之間添加了一些問答,總結(jié)了冪函數(shù)的形式特征,還在概念與例題之間添加了一句話過渡——結(jié)合第五章討論的函數(shù)的基本內(nèi)容,來認(rèn)識一些冪函數(shù)的性質(zhì).這些改編使得新教材在編寫上更為全面細(xì)致,不僅有利于教師授課,也有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí).

第三,在例題設(shè)置部分,舊教材只有一個例題,寫出函數(shù)的定義域并指出奇偶性.而新教材添加了一個例2——比較各組數(shù)的大小,在研究得出冪函數(shù)的單調(diào)性特征后,應(yīng)用相關(guān)結(jié)論解題,體現(xiàn)出研究冪函數(shù)性質(zhì)的價值和意義.

2 冪函數(shù)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

基于上述新、舊教材中“冪函數(shù)”內(nèi)容的對比,一線教師更關(guān)注如何利用新教材優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì).冪函數(shù)的教學(xué)重、難點(diǎn)在于繪制具體的冪函數(shù)圖象,并能通過觀察發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律,由此歸納總結(jié)出一般的冪函數(shù)的共性特征.教學(xué)過程以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維為主要目標(biāo),突出課堂中學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位.以下介紹具體的教學(xué)過程設(shè)計(jì).

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,生成概念

在白板上投影5個函數(shù)模型,請學(xué)生求下列函數(shù)關(guān)系式.

(1)如果小紅購買1元/kg的蔬菜w千克,那么她需要支付全額p=w元;

(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2;

(3)如果立方體的棱長為b,那么立方體的體積V=b3;

學(xué)生快速回答了以上幾個函數(shù)的解析式.

師:請同學(xué)們歸納總結(jié)這5個關(guān)系式的共同特征．考慮到這些解析式的字母稍顯繁雜,我們不妨將全部函數(shù)解析式統(tǒng)一至我們常見的用x表示y的函數(shù)關(guān)系式.

生1:它們都是y=xα的形式.

師:這位同學(xué)精簡地總結(jié)了它們的形式特征,非常好!還有沒有別的想法呢?我們可以觀察它的系數(shù)、指數(shù)等方面的特征.

生2:系數(shù)都是1,指數(shù)是常數(shù),底數(shù)都是x這個變量.

師:這位同學(xué)從三個角度總結(jié)得很到位.這種形如y=xα的函數(shù),我們稱為冪函數(shù),其中x為自變量,α為常數(shù).冪函數(shù)的特征為:①xα的系數(shù)為1; ②xα的底數(shù)為自變量;③xα的指數(shù)為常數(shù).

設(shè)計(jì)意圖新教材中的3個例子雖較之舊版更精確,但都以整數(shù)為指數(shù),是一個明顯的不足.為了不讓學(xué)生產(chǎn)生誤解,筆者在創(chuàng)設(shè)情境時選取了新人教版教材中的這5個例子,既能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)源于生活,也能更好地實(shí)現(xiàn)初、高中的銜接過渡.

2.2 探究新知,建構(gòu)圖象

師:請同學(xué)們結(jié)合第五章討論的函數(shù)的基本內(nèi)容,思考如何研究冪函數(shù).

生3:研究函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和圖象.

有些學(xué)生直接用手比劃了這三個函數(shù)的圖象,還有一部分學(xué)生脫口而出“描點(diǎn)作圖”.

師:描點(diǎn)作圖雖簡單易操作,但也有缺點(diǎn):為了使得函數(shù)圖象更精準(zhǔn),描點(diǎn)越多越好,但這會導(dǎo)致計(jì)算量有可能比較大.我剛剛在巡視的過程中,發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)幫我們優(yōu)化了描點(diǎn)作圖法.

生4:利用函數(shù)的奇偶性.譬如y=x3是奇函數(shù),繪制了(0,+∞)的圖象后再作關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象.

(教師在巡視過程中,發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生畫圖時沒有考慮到定義域和漸近線.)

師(投影展示兩幅圖):請同學(xué)們思考,究竟哪個圖象是正確的?

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)新教材,對于冪函數(shù)圖象的繪制,不僅限于指數(shù)α>0,在指數(shù)α<0時,繪制冪函數(shù)圖象除了要關(guān)注定義域,還需注意到函數(shù)具有漸近線.這一環(huán)節(jié)無疑是本節(jié)課的一個難點(diǎn).但是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維的教學(xué),筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)繪制一個新函數(shù)圖象的易錯點(diǎn)和注意點(diǎn),思考如何優(yōu)化繪圖方法,進(jìn)而領(lǐng)會函數(shù)的圖象與性質(zhì)的相輔相成,感悟數(shù)與形內(nèi)在的聯(lián)系.

2.3 歸納概括,總結(jié)性質(zhì)

師:由這6個典型的冪函數(shù)模型,我們發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)圖象根據(jù)指數(shù)與0的大小關(guān)系可分成兩大類.這里我們利用希沃自帶的軟件來插入幾個常見的冪函數(shù)圖象(圖1、圖2).

圖1 圖2

學(xué)生小組討論時,教師在教室內(nèi)巡視.考慮到小組間水平參差不齊,故而對個別組給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

師:請各小組派一名代表,描述他們小組歸納的共同特征,其他小組可以舉手補(bǔ)充.

經(jīng)過小組展示后,最終得出以下結(jié)論:

①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一象限,一定不經(jīng)過第四象限.

②函數(shù)圖象恒過點(diǎn)(1,1).

③當(dāng)α>0時,函數(shù)圖象在(0,+∞)上增,而且恒過(1,1)和(0,0).

④當(dāng)α<0時,函數(shù)圖象在(0,+∞)上減,恒過(1,1).

師:我們已經(jīng)了解了冪函數(shù)的靜態(tài)圖象特征,那動態(tài)時圖象是如何變化的呢?

打開GeoGebra,利用滑動條生成的動畫,動態(tài)地展示隨著指數(shù)變化函數(shù)圖象的變化.

生7:當(dāng)α>0時,隨著指數(shù)α的增大,在第一象限的圖象越發(fā)陡峭.當(dāng)α<0時,隨著指數(shù)α的減小,在第一象限的圖象變化的弧度也變小.

在滑動條變化的過程中,冪函數(shù)在第一象限的圖象可分成5小類(圖3).

圖3

設(shè)計(jì)意圖新教材與時俱進(jìn)地引入了最新的數(shù)學(xué)軟件,注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識的整合.因此,筆者在學(xué)生初步掌握冪函數(shù)作圖后,應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)幫助學(xué)生獲得直觀的感受,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,也幫助學(xué)生了解函數(shù)動態(tài)變化中變與不變之處,培養(yǎng)他們的探究能力.

2.4 練習(xí)反饋,鞏固提升

通過問題鏈逐步引導(dǎo)學(xué)生形成探究冪函數(shù)圖象的步驟:

①根據(jù)冪指數(shù)的大小畫出第一象限函數(shù)圖象;

②先化成根式形式求解定義域;

③由根式得到函數(shù)奇偶性;

④依據(jù)奇偶性補(bǔ)全整個函數(shù)的圖象.

設(shè)計(jì)意圖新教材在編寫中更為注重對探究結(jié)論的應(yīng)用.因此,總結(jié)了冪函數(shù)在第一象限的一般規(guī)律后,還需要引導(dǎo)學(xué)生將其應(yīng)用到日常解題中,真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用、用以促學(xué)、學(xué)用相長.

2.5 拓展延伸,活躍思維

師:我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等,現(xiàn)在請同學(xué)們閱讀書本第142頁思考運(yùn)用第7題,并去查閱相關(guān)資料,研究這體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì).

3 冪函數(shù)的課后教學(xué)反思

新蘇教版充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的基本理念,通過創(chuàng)設(shè)合適的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作、觀察、探究和運(yùn)用等活動,感悟并獲得數(shù)學(xué)知識與思想方法.因此,整個課堂設(shè)計(jì)的主要形式為問題情境—學(xué)生活動—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)結(jié)論—數(shù)學(xué)運(yùn)用—拓展延伸,力圖實(shí)現(xiàn)“入口淺,寓意深”.

新教材對于GeoGebra的細(xì)致介紹和詳細(xì)講解使得課堂教學(xué)活動與現(xiàn)代信息技術(shù)結(jié)合程度日趨提高.本節(jié)課中,利用GeoGebra作圖能幫助學(xué)生更為直觀地觀察冪函數(shù)y=xα的動態(tài)圖象,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.因此,教師有必要加強(qiáng)自身的專業(yè)素養(yǎng),多學(xué)習(xí)一些必要的軟件,例如幾何畫板、GeoGebra等.

但是,數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué),信息技術(shù)只是錦上添花,絕不能喧賓奪主.整個課堂還是以學(xué)生活動和探究總結(jié)為主體,教學(xué)過程中滲透函數(shù)的圖象與性質(zhì)相輔相成,讓學(xué)生感悟以形助數(shù)、以數(shù)解形,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識,提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).