潘長青 宋彥波 (江蘇省連云港市新海實驗中學(xué) 222000)

2022年4月下旬,教育部頒布了新版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(下稱2022版),與2011版課標相比,新增了2個基本尺規(guī)作圖,更加重視作圖依據(jù)和原理,突出了尺規(guī)作圖的工具性、應(yīng)用性與探究性.所謂尺規(guī)作圖,是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖.縱覽現(xiàn)行的教材,對于尺規(guī)作圖的內(nèi)容呈現(xiàn)方式多采用程序性操作,這導(dǎo)致教師在日常教學(xué)中往往直接告知學(xué)生作圖步驟,然后當作一種技能反復(fù)練習(xí),很少有機會讓學(xué)生探索分析作圖的原理,導(dǎo)致學(xué)生對“為什么這么作”缺乏深層次的認知.筆者認為,特別在尺規(guī)作圖教學(xué)的起始階段,更應(yīng)注重探索的過程,要讓學(xué)生能夠感受到尺規(guī)作圖的來路、思路及出路,充分體驗到探究的過程與樂趣,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,并以此為載體將核心素養(yǎng)落地生根.下面筆者將結(jié)合“用尺規(guī)作一個角等于已知角”教學(xué)片段來呈現(xiàn)其探索過程,并就教于同行.

1 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體之一:尺規(guī)作圖

從立足學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來看,尺規(guī)作圖內(nèi)容蘊含了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀及推理能力等學(xué)科核心素養(yǎng),它們對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和品質(zhì)具有極其重要的價值.

(1)幾何直觀．2022版新課程標準明確指出[1]:幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣.數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾說:“在幾何中,視覺思維占主導(dǎo)地位.”也就是說,學(xué)習(xí)幾何知識、解決幾何問題,離不開空間想象和直觀洞察.事實上,尺規(guī)作圖的實質(zhì)[2]就是用圖形來解決和表達幾何問題或數(shù)量關(guān)系問題,既需要直觀洞察和空間想象能力,又能培養(yǎng)直觀洞察和空間想象能力.

(2)推理能力．尺規(guī)作圖是鍛煉學(xué)生推理能力的良好平臺.尺規(guī)作圖既需要推理能力,又能培養(yǎng)推理能力,還能培養(yǎng)學(xué)生嚴謹細致的學(xué)習(xí)習(xí)慣,可謂一舉多得.不僅要思考怎么作,而且要尋求為什么這樣作.而作出符合要求的圖形后,往往會再往前走一步,思考有沒有更優(yōu)的畫法.這些想法的背后就凸顯出學(xué)生“四基”水平如何,學(xué)生“三會”維度在何層次上.

2 滲透核心素養(yǎng)的教學(xué)實踐片斷與分析

站在落實立德樹人、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的角度,基于對尺規(guī)作圖教學(xué)的認識和理解,結(jié)合學(xué)生的生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),在2021年10月江蘇省初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課比賽時筆者對蘇科版教材七年級上冊“6.2角(2)”一節(jié)進行了教學(xué)設(shè)計與課堂實踐,并最終榮獲省一等獎.這節(jié)課教學(xué)的難點是如何讓學(xué)生主動聯(lián)想到用直尺和圓規(guī)“作一個角等于已知角”.通過師生、生生之間的對話發(fā)現(xiàn)問題、分析與解決問題,從而完成數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理能力等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

(1)畫一個角等于已知角

操作1 (1)如圖1,已知∠AOB=60°,請選擇合適的工具畫∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.

圖1

引導(dǎo)學(xué)生思考畫圖工具和方法主要有:①利用含60°的三角尺,直接描出60°角;②利用量角器,并在此時總結(jié)畫一個角的主要步驟(定始邊,定標記點,定終邊),讓學(xué)生深刻體會準確畫圖最關(guān)鍵的是定標記點(不妨記作點D),也就是找準量角器邊緣弧與角終邊的交點D,進而總結(jié)出標記點D的位置能確定角的大小.

在此基礎(chǔ)上,學(xué)生觀察到量角器邊緣弧與刻度線已經(jīng)有181個標記點,根據(jù)這些點的位置能畫出0°～180°的整數(shù)度的角.繼而引發(fā)思考:如果一個角度不是整數(shù),能不能繼續(xù)用量角器畫出來?

操作2 (2)如圖2,已知∠AOB(這里設(shè)計的是48.31°),你還能用量角器畫∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB嗎?

圖2

學(xué)生展示:先畫射線O′A′,然后用量角器量一下∠AOB,找到量角器邊緣弧與射線OB的交點,作標記點D,然后將量角器移動過來,對準始邊,過這個標記點畫出終邊.(學(xué)生邊說邊畫,如圖3)

圖3

師生總結(jié):此時只要找到這個標記點D就能確定角的大小.當∠AOB是整數(shù)度的角,顯然也能運用這種作標記點的方法畫出與它相等的角,故能畫出0°～180°的任意角.

設(shè)計意圖由于學(xué)生對60°角比較熟悉,可選擇的畫圖工具比較多,易于操作完成.低起點入手可以增強學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的信心,也體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)問題常從特殊到一般.同時,學(xué)生通過用量角器畫60°角,明確“怎么做”,即畫出始邊(一條射線)后如何定終邊(一條射線),感受到畫角關(guān)鍵是確定終邊上的一點.在操作1的分析之下,量角器顯然能方便畫出0°～180°內(nèi)整數(shù)度的角,但角度變?yōu)椴僮?中的任意角時怎樣準確畫角?這是本節(jié)課思考的重點和難點,也是由具體度數(shù)確定角的大小過渡到由點的位置來確定角的大小的思考.雖然此時不便于直接利用量角器的刻度線,但仍然可以確定量角器邊緣弧與角的終邊交點.適時引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到利用圓規(guī)畫弧可以代替這里量角器的功能,為利用尺規(guī)作一個角等于已知角作鋪墊.

(2)作一個角等于已知角

引導(dǎo)學(xué)生回憶在解決“畫一個角等于已知角”的過程中,量角器大小沒有改變,刻度線也沒用到.因此可以通過PPT展示刻度線隱藏后簡潔的圖形(圖4),感受沒有刻度的量角器可用來畫弧,方便確定標記點D的位置.

圖4

操作2 學(xué)生通過圖4可以感受手中的圓規(guī)能替代這樣的無刻度量角器.讓學(xué)生繼續(xù)思考:如圖5,小明的量角器破損了,他說通過上面的啟發(fā)也能用手中其他畫圖工具(三角板、圓規(guī)、直尺)畫出∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.你也能解決這個問題嗎?請在透明紙上試一試(透明紙上印制的量角器大小不一),組內(nèi)合作完成.

圖5 圖6

大部分學(xué)生按照畫一個角的步驟首先畫一條射線O′A′,然后記射線OA與量角器邊緣弧的交點為C,以O(shè)為圓心、OC為半徑畫弧,恢復(fù)量角器的半圓弧,射線OB與量角器半圓弧的交點為D(圖6),再以O(shè)′為圓心、OC長為半徑畫弧交射線O′A′于點C′(圖7)．少數(shù)學(xué)生憑感覺找到圖6中標記點D的對應(yīng)點D′,即用圓規(guī)截取線段CD的長,以C′為圓心、CD長為半徑畫弧,交前弧為D′,這樣就確定∠A′O′B′終邊上的標記點D′,過D′畫射線O′B′(圖8).

圖7 圖8

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:線段CD的長度到底能否控制∠AOB的大小呢?借助量角器探究:當點D在量角器的外輪廓上運動時(圖9),∠AOB的大小與CD的長度之間有什么聯(lián)系呢?(幾何畫板動態(tài)演示)

圖9

學(xué)生通過觀察幾何畫板度量動態(tài)過程中∠AOB的大小與線段CD的長度,發(fā)現(xiàn)線段CD越長,∠AOB也越大;反之線段CD越短,∠AOB也越小.當線段CD固定在某一個數(shù)值時,這個角的大小也隨之確定下來.

師:請未完成的同學(xué)按照這樣的思路,在原來的基礎(chǔ)上繼續(xù)作圖.

由于給學(xué)生們提供的透明紙上的量角器是有大有小的,筆者隨機找了3個學(xué)生畫好的圖形,將3張透明紙重合并使得3個圖形中∠A′O′B′的頂點與始邊重合(投影展示如圖10),發(fā)現(xiàn)不同圖形中標記點D′在同一條射線上.這說明量角器的大小不影響畫一個角等于已知角,所以可以用任意長為半徑畫弧,并且不需畫整個半圓弧,畫出的弧只要能方便確定出標記點的位置即可.

圖10

學(xué)生經(jīng)歷了以上的探究過程后,很容易想到用圓規(guī)代替這里大大小小的量角器.此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)用圓規(guī)和無刻度直尺也能直接作一個角等于已知角,并總結(jié)作圖的一般步驟:

①畫射線O′A′;

②以點O為圓心、任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D;

③以O(shè)′為圓心、OC長為半徑畫弧,交O′A′于點C′;

④以點C′為圓心、CD長為半徑畫弧,交前弧于點D′;

⑤過D′畫射線O′B′.

∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角.

師:至于為什么這樣作的兩個角就相等了,由于教材內(nèi)容的安排,我們在八年級的時候會進行證明.

設(shè)計意圖學(xué)生在前面活動的基礎(chǔ)上聯(lián)想到殘缺的量角器可以用圓規(guī)補全,但是此時學(xué)生操作的難點有兩個:一是這個圖形不能移動,這會推動學(xué)生去積極思考利用工具“造”一個量角器的外輪廓,引出“圓規(guī)”;二是如何確定終邊上的一個點,也就是圓弧與終邊的交點,學(xué)生突破難度較大,此時需要在教師的引導(dǎo)下,結(jié)合多媒體感受角的大小還可以通過圓上兩點間距離CD來控制.回頭再看整個作圖過程直接變成用直尺和圓規(guī)可以解決的作圖問題,從而明晰可以直接利用直尺和圓規(guī)“作一個角等于已知角”.在以上的過程中深化知識之間的聯(lián)系,感受知識的生成自然,可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力等核心素養(yǎng).

(3)折一個角等于已知角

操作3 如圖11,你能折出∠BOC,使得∠BOC=∠AOC嗎?請利用手中的透明紙試一試.

圖11 圖12

設(shè)計意圖通過用工具“畫特殊角”到用尺規(guī)“作一個角等于已知角”,再到折出“一個角等于已知角”,這是本節(jié)課學(xué)生活動的主線.通過最后一個活動自然地引入角平分線,同時與線段中點的認知類比,獲得角平分線的定義,并結(jié)合圖形用符號表達.這樣讓學(xué)生在類比中生成新知,在探究中生長新知,從而積累了基本活動經(jīng)驗,建構(gòu)了更加完整的知識體系,從學(xué)會走向會學(xué).

3 教學(xué)思考

(1)凸顯結(jié)構(gòu)框架,感受學(xué)習(xí)方法

本節(jié)課教學(xué)的難點是如何讓學(xué)生主動聯(lián)想到“用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角”.基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗,本節(jié)課安排從畫特殊角60°再到一般角.學(xué)生對60°角比較熟悉,三角尺中剛好也存在這樣的特殊角,會讓學(xué)生產(chǎn)生一種“做做看”的心理活動,增強學(xué)生對學(xué)會本節(jié)課內(nèi)容的信心.對于特殊角60°學(xué)生還能想到用量角器完成,此時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用量角器畫一個角的一般步驟,關(guān)鍵是確定終邊上的點,給學(xué)生后面“畫一個角等于已知角”和“作一個角等于已知角”提供“怎么做”的路徑.將線段中點的定義類比得到角平分線的定義,線段中點的符號語言類比得到角平分線的符號語言．這樣的教學(xué)從學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)中尋找“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生不僅知其然而且知其所以然,課堂生成也自然不生硬.

(2)培養(yǎng)動手操作,積累活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標志.為了讓學(xué)生始終有機會處于一個“動”的狀態(tài)之中,本案例設(shè)計了三個操作活動:“畫一個角等于已知角”“作一個角等于已知角”“折出一個角等于已知角”.這組系列活動學(xué)生每完成一個都必須有所思考,積累一定的認識,為下一個活動做好準備.學(xué)生在這組活動中有操作、有體會、有想象、有發(fā)現(xiàn)、有推理,不但讓學(xué)生在活動中感受尺規(guī)作圖的合理性,而且這三個“操作活動”讓學(xué)生自己動手使用量角器、三角尺、圓規(guī)和直尺等畫圖工具完成了同一個任務(wù)——“畫一個角等于已知角”,有效地增強了學(xué)生的動手能力,很好地激發(fā)出初中起始年級階段學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的興趣,積累了基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

(3)滲透數(shù)學(xué)思想,積淀核心素養(yǎng)

從畫特殊角60°再到一般角,讓學(xué)生體會“從特殊到一般”也是我們數(shù)學(xué)研究和解決問題中常用的思想方法.類比線段中點的定義及符號語言得到角平分線的定義及符號語言,感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“套路”.這兩種數(shù)學(xué)思想在本章節(jié)的其他課時也有出現(xiàn),蘊含數(shù)學(xué)知識的整體性,也蘊含數(shù)學(xué)的一般觀念,所以在平時教學(xué)中教師需要從一個整體的角度看待這兩種數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)學(xué)習(xí)體系,這樣有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

總的來說,尺規(guī)作圖教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去分析思維的起點與突破口,尋找樸素的適合學(xué)生思維的自然,堅持前后一致的必然,揭示本質(zhì)貫通的超然.教給學(xué)生作法背后的“套路”,感悟“套路”背后所蘊含最基本的思想方法,最后讓學(xué)生“想得透”,讓通性通法成為學(xué)生作圖的“家常菜”,從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4].