汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

“創(chuàng)新意識”是義務教育數學課程標準提出的數學核心素養(yǎng)之一,如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,是今日數學教育研究的重要課題．美國數學家舒爾茨(A.Schultze,1861—?)在《中學數學的教學》(1939)中已經提到創(chuàng)新的重要性:“數學學習的結果應該是能力的發(fā)展,而非事實的獲?。粋€人知道很多數學事實,并非就是一位好的數學家,只有能夠明智地應用這些事實、能夠發(fā)現全新的事實以及能夠重構已經遺忘的事實的人,才是好的數學家．”[1]著名物理學家愛因斯坦(A.Einstein,1879—1955)則強調,學校教育“應當始終將發(fā)展獨立思考和獨立判斷的能力放在首位,獲得專業(yè)知識很次要”[2]．今天,人工智能(如ChatGPT)的應用必將對數學教育產生深遠的影響,事實性的數學知識離開課堂也很容易獲取,而創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)理應成為數學教學更重要的目標．

在這樣的背景下,“留白創(chuàng)造式”教學成了需要人們深入探索的一種教學方式．這種教學方式提倡以學生為中心,通過留白活動,給予學生足夠的思維空間和探究機會,讓他們經歷知識創(chuàng)獲的過程,進而達成創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標．為了夯實留白創(chuàng)造式教學的理論基礎,我們既需要借助數學教育心理學的指導,也需要尋求中國傳統(tǒng)教育思想的支撐,還需要從數學歷史中尋找思想的啟迪．

“留白”一詞源于中國古代繪畫理論,將該術語用于數學教學,其特定內涵有待于深入探討．本文擬通過數學史上的若干典型案例的考察,提煉出“留白創(chuàng)造式”教學中的“留白”類型,為未來的相關理論研究和實踐探索提供參考．

2 論證之白

我國古代數學名著、成書于東漢的《九章算術》是一部問題集,書中呈現了問題、答案以及解法,但絲毫不提那些解法是如何得來的,也就是說,作者并不交代“所以然”的問題,因而為后世數學家留下了研究空間．

劉徽利用無窮分割求和的方法對公式進行了推導．將長、寬、高分別為a,b,c的長方體(圖1)沿對角面剖開,得到兩個塹堵(底面為直角三角形的直三棱柱),將一個塹堵沿對角面剖開,得到一個陽馬(涂以黑色)和一個鱉臑(涂以紅色),如 圖2所示．

圖1 圖2

分別過塹堵底面長、寬和高的中點作平行或垂直于底面的平面,將黑色陽馬分割成1個小長方體、2個小塹堵和2個小陽馬,將紅色鱉臑分割成2個小塹堵和2個小鱉臑,如圖3所示．先考慮黑色小立方體、黑色和紅色小塹堵(圖4),分別將同類小塹堵組合成小長方體,共得到3個小長方體(圖5)．這3個小長方體中,黑色和紅色部分的體積之比為2∶1．

圖3 圖4

圖5

再考慮剩下的2個黑色小陽馬和2個紅色小鱉臑,共組成2個小塹堵(圖6),每個小塹堵的構造與原來的大塹堵完全一樣．分別對這兩個小塹堵實施同樣的分割和重組,所得的6個小長方體中,黑色和紅色部分的體積之比為2∶1．

圖6

《九章算術》作者的留白,引發(fā)了劉徽超越時代的論證．我們將這種為命題的證明、公式的推導等所留出的思維空間稱為“論證之白”．

3 發(fā)現之白

這就表明,漢代數學家的球體積公式是不正確的,利用該公式所得結果大于球體積的真實值,即使是取圓周率為3,結果仍然偏大．

牟合方蓋為球體積問題的解決開辟了道路,但是,牟合方蓋的體積太難算了．劉徽的思路是:先算出立方體內牟合方蓋之外的“碎片”的體積,從立方體體積中減去這些“碎片”的體積,即得牟合方蓋的體積．考慮立方體的八分之一部分,其中含有牟合方蓋的八分之一部分以及另外三塊碎片,如圖8所示．

圖8 立方體八分之一部分的構成

求三塊“碎片”體積的嘗試以失敗告終．劉徽不無遺憾地說:“欲陋形措意,懼失正理．敢不闕疑,以俟能言者．”

圖9 外棋與倒立陽馬

正是劉徽的留白,引發(fā)了祖暅的發(fā)現．導致新知發(fā)現的思維是數學創(chuàng)造力的因素之一[4],我們將為這種思維所留的空間稱為“發(fā)現之白”．

4 方法之白

在命題的證明或問題的求解上,一代代數學家從未停止過探索的腳步．面對過去的數學家所給出的某個命題的某種證明或某個問題的某種解法,追求真善美、富有好奇心和創(chuàng)新精神的數學家常常會問:還有更好的方法嗎?這就是為什么同一個數學命題在歷史上往往會有多種不同的證明．

歐幾里得在《幾何原本》中利用勾股定理(命題I.47)證明了鈍角三角形和銳角三角形情形的余弦定理幾何形式(命題II.12和II.13),17世紀荷蘭數學家格雷戈里(Gregory of Saint-Vincent,1584—1667)思考了如下問題[5]:可否像歐幾里得證明勾股定理那樣,用面積的方法來證明這兩個命題呢?如圖10,在銳角三角形ABC三邊上,分別作正方形ACEF,BCHG,AMNB,過頂點A,B,C分別作對邊的垂線,垂足為I,K,D,交相應的正方形的另一邊于點J,L,P．以全等三角形為媒介,可以證明長方形AIJF,BKLG的面積分別等于長方形AMPD,DPNB的面積．又以全等三角形為媒介,可以證明長方形JICE和HCKL面積相等,于是有c2=a2+b2-2a×CI,或c2=a2+b2-2b×CK,注意到CI=bcosC,CK=acosC,分別代入上面的等式,即得今天人們耳熟能詳的三角形式的余弦定理結論．

圖10 銳角三角形情形的余弦定理的面積證法 圖11 鈍角三角形情形的余弦定理的面積證法

如圖11,同理可證鈍角三角形中的結論c2=a2+b2+2a×CI或c2=a2+b2+2b×CK．注意到CI=bcos(π-C),CK=acos(π-C),即得三角形式的余弦定理結論．

對于《幾何原本》中的大量命題,如三角形內角和定理、等腰三角形性質定理、邊邊邊定理、 勾股定理、黃金分割的 作圖、圓內接正五邊形的作圖、線面垂直判定定理等等,后世數學家都有新的證明．可見,這部數學圣經為后世數學家留下了廣闊的思維空間．“創(chuàng)造數學問題全新解法的能力”也是數學創(chuàng)造力的因素之一[4],我們將為 突破舊法、創(chuàng)造新法所留下的思維空間稱為“方法之白”．

5 問題之白

沒有問題,就沒有數學的發(fā)展．數學史是數學問題的寶庫,這個寶庫是一代又一代數學家在漫長的過程中不斷積累起來的．任何一個數學問題都可以成為人們設計新問題的出發(fā)點．

1617年,荷蘭數學家斯內爾(W.Snell,1580—1626)解決了以下測量問題:如圖12所示,已知三點A,B,C兩兩之間的距離,從觀測點P處可以觀測到點A,B,C,測得∠APB和∠APC的大小(分別記為α和β),求PA,PB,PC的長度．1692年,法國數學家波特諾(L.Pothenot,1650—1732)將上述問題改成求點P的位置問題,后人因此將“已知三點兩兩之間的距離以及觀測所得兩個視角,求觀測點位置和觀測點到已知點的距離”統(tǒng)稱為“斯內爾-波特諾問題”(有時也被稱為“地圖問題”)．

圖12 斯內爾-波特諾問題1 圖13 斯內爾-波特諾問題2

1671年,英國數學家柯林斯(J.Collins,1624—1683)再次對該問題進行了討論[6]．柯林斯按照觀測點P和三個已知點A,B,C的不同位置,將問題分成六類,除了斯內爾所考慮的圖12所示的情形,另外五種情形如圖13～17所示．

圖14 斯內爾-波特諾問題3 圖15 斯內爾-波特諾問題4

圖16 斯內爾-波特諾問題5 圖17 斯內爾-波特諾問題6

1845年,美國數學家肖菲爾德(N.Scholfeld)在其《高等幾何學與三角學》中在斯內爾-波特諾問題的基礎上,又提出新的問題[7]:

·如圖18所示,已知三點A,B,C兩兩之間的距離,從點P可以觀測到點B,A,Q,但不能觀測到點C;從點Q可以觀測到點C,A,P,但不能觀測到點B．測得∠APB,∠APQ,∠AQC,∠AQP的大小,求PA,PB,PQ,QC,QA．

圖18 斯內爾-波特諾問題的推廣1 圖19 斯內爾-波特諾問題的推廣2

·如圖19所示,已知四邊形ABCD各邊的長度以及各角的大小,從點P可以觀測到點A,C,Q,但不能觀測到點B,D;從點Q可以觀測到點D,B,P,但不能觀測到點C,A．測得∠APC,∠CPQ,∠DQB,∠BQP的大小,求PA,PC,PQ,QD,QB．

這里,柯林斯和肖菲爾德在斯內爾測量問題的基礎上,采用條件操作策略(即改變原問題的條件而保留其所求目標)提出新問題．問題提出是培養(yǎng)數學創(chuàng)造力的有效途徑之一[4],我們將為提出新問題而留出的思維空間稱為“問題之白”．

6 結語

以上我們看到,從數學史上的典型案例中至少可以總結出“留白”的四類形式——論證之白、發(fā)現之白、方法之白和問題之白．可以斷言,數學的歷史就是留白與創(chuàng)新的歷史:前人的失敗是后人成功的階梯,前人的思想是后人發(fā)現的鑰匙,前人的結果是后人論證的目標,前人的方法是后人創(chuàng)新的源頭,前人的問題是后人探索的起點．總之,正是有了前人的留白,才有了后人的創(chuàng)新,留白是創(chuàng)新的必要條件．

數學史上的留白與創(chuàng)新為留白創(chuàng)造式教學提供了思想啟迪．

首先,在教學中,要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力,教師在教學中需要留白,教師的留白是學生創(chuàng)新的必要條件,因此,我們有必要倡導留白創(chuàng)造式教學．

其次,在教學中,教師可以設計恰當的探究任務,留出發(fā)現之白,引導學生創(chuàng)獲新知;留出論證之白,促使學生探尋因果;留出方法之白,助力學生另辟蹊徑;留出問題之白,培養(yǎng)學生提問能力．

再次,數學史本身也為留白創(chuàng)造式教學提供了取之不盡、用之不竭的問題和方法,是留白創(chuàng)造式教學設計、實施和評價的思想源泉．