陳麗真 徐建新，2

（1.德化第一中學，福建 泉州 362500；2.福建教育學院數(shù)學教育研究所，福建 福州 350025）

一、問題背景

鑒于《普通高中數(shù)學課程標準（2003 年實驗）》已使用十年之久，教育部于2013 年啟動了普通高中課程修訂工作.歷經(jīng)四年，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》后又出臺2020 年修訂版本，重新制定了高中數(shù)學課程的教育目標和教學內(nèi)容，作為編寫教材的綱領(lǐng)性文件和主要依據(jù).課程標準發(fā)生變化，教材內(nèi)容、教學理念也隨之變化.解讀、比較這兩個不同版本的教材，尤其是新教材修改的部分，有助于教師理解編者意圖，進而更好地組織教學.

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，在各種函數(shù)的研究中都會涉及，它是比較大小、求函數(shù)的最值、極值以及證明不等式等的重要工具.單調(diào)性的研究過程體現(xiàn)了研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，對研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如奇偶性等有借鑒作用.

文章以“函數(shù)的單調(diào)性”為例，分析研究與2004 年版教材對比，2019 年版教材這節(jié)的教學內(nèi)容是如何落實立德樹人，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)這一新的課程目標.

二、研究對象

人民教育出版社2004 年版《普通高中課程標準實驗教科書（A 版）必修1》（以下簡稱舊教材），2019 年版《普通高中教科書數(shù)學必修第一冊（A 版）》（以下簡稱新教材）.

三、研究內(nèi)容

（一）比較概念的引入方式

兩個版本教材對本節(jié)的引入方式基本相同，都是先用詳細的引言統(tǒng)攝全節(jié)，再把初中階段研究過的函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減少）的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性，繼而研究二次函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性.

在引言中，先指出函數(shù)在現(xiàn)實世界中的作用及研究函數(shù)的目的；再提出研究的問題是“函數(shù)的性質(zhì)”，在邊空中注釋性質(zhì)的含義，［1］介紹性質(zhì)的主要內(nèi)容，并指出函數(shù)性質(zhì)是認識客觀規(guī)律的重要方法；然后明示：先畫出函數(shù)的圖象，通過觀察和分析圖象的特征可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)，引出本節(jié)要研究的內(nèi)容.本節(jié)的引言是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜述，清楚地說明為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)以及如何研究這一問題，有利于學生明晰學習內(nèi)容，有助于學生閱讀能力的培養(yǎng).

（二）比較概念呈現(xiàn)順序

舊教材呈現(xiàn)順序：單調(diào)性→增（減）函數(shù)→（嚴格的）單調(diào)性（區(qū)間）.［1］

新教材在給出“單調(diào)性”概念后，多了“單調(diào)遞增（減）”的概念，把“單調(diào)遞增（減）”與“增（減）函數(shù)”區(qū)分開，這是舊教材所沒有的.函數(shù)的單調(diào)性有兩類：一是定義域上具有一致單調(diào)性的函數(shù)，二是定義域上單調(diào)性不一致的函數(shù).新教材僅把在整個定義域上單調(diào)遞增（減）的函數(shù)稱為增（減）函數(shù).可見，在新教材中，增（減）函數(shù)專指整體性，用單調(diào)遞增（減）說明局部性，更能反映函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一種“局部性質(zhì)”.

（三）比較概念的生成過程

舊教材以f(x)=x2為例，先列出x，y的對應值，再讓學生思考：如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著減?。ㄔ龃螅?？

舊教材先通過x，y具體的數(shù)值變化，再以適當?shù)膯栴}進行引導，試圖把“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”轉(zhuǎn)化為用不等式的語言定量刻畫，但這是一個難點.從以往的教學經(jīng)驗看，教師引導得辛苦，學生聽得一知半解，效果并不理想.

學生在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，對圖象的“上升”與“下降”有所了解，也會用“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”來描述函數(shù)的增減性，只是當時的研究較為粗顯，停留在自然語言階段.因此，本節(jié)內(nèi)容要解決的難點問題是如何在定性的基礎(chǔ)上給出定量刻畫，用數(shù)學語言明確給出有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的定義.

新教材也是以f(x)=x2為例，由圖象直觀地得到函數(shù)值增加、減少的變化特征，進一步直接用數(shù)學語言刻畫函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)遞減的.同時，教材在邊空中提問：“你能說明為什么f(x1)＞f(x2)嗎？”讓學生從代數(shù)的角度證明“當x1＜x2≤0 時，.與初中通過圖象直觀定性描述函數(shù)性質(zhì)比較，高中階段要在圖象直觀的基礎(chǔ)上，通過代數(shù)運算研究函數(shù)性質(zhì).［2］

類似地，定義f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞) 上單調(diào)遞增.

新教材從f(x)=x2入手做數(shù)學語言構(gòu)造的示范，從學生初中熟悉的自然語言描述到高中陌生的符號語言刻畫，從直觀的圖形到抽象的符號，三種語言的轉(zhuǎn)化自然流暢，又層層遞進，引導學生模仿、體會這種刻畫方式的簡潔性和嚴謹性.

接著教材安排思考題：函數(shù)f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？使學生進一步熟悉符號語言的表述方法.這樣，教材從特殊函數(shù)入手，給出一般函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）函數(shù)概念嚴格的數(shù)學表達.并在“思考”環(huán)節(jié)，設(shè)置問題引導學生辨析定義中的關(guān)鍵詞“任意”，最后用新規(guī)則證明一次函數(shù)、反比例函數(shù)等的單調(diào)性.由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，新教材規(guī)避了單調(diào)性概念用符號語言刻畫的難點，直接采用“規(guī)定—例題”的方式來呈現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，把學生的可接受性和發(fā)展性放在首位.

（四）例題及思考題的設(shè)置對比

新教材刪除了舊教材的例1，改成根據(jù)定義研究一次函數(shù)的單調(diào)性；例2 與舊教材相同，即證明函數(shù)p=(V∈(0,+∞)) 是減函數(shù)；例3 是證明函數(shù)y=x+在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

新教材在概念生成的過程中以二次函數(shù)為例，因此，例1 和例2 研究初中學過的另兩類函數(shù)：一次函數(shù)和反比例函數(shù).先借助函數(shù)圖象直觀地感知這兩類函數(shù)的單調(diào)性，再運用定義進行嚴格的證明，從形到數(shù)，從直觀到抽象，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合及分類討論思想，使初中所學內(nèi)容得到深化和提高.

例3 給的函數(shù)是正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=相加構(gòu)成的新函數(shù)，該函數(shù)的圖象是學生不知道的.通過例3 的證明，學生既得到函數(shù)y=x+在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，又得到其在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，從而順利地畫出函數(shù)y=x+在區(qū)間(0,+∞)上的圖象，化抽象為具體.

前兩道例題由圖象觀察函數(shù)的單調(diào)性并證明，后一題反其道而行，先研究函數(shù)的性質(zhì)，再得到函數(shù)的圖象.三道例題相輔相成，提供了研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的兩種常見方法.同時，三道例題都緊扣函數(shù)單調(diào)性的定義，用數(shù)學的符號語言嚴格按照“取值、作差、判斷符號、下結(jié)論”這四個步驟依序操作，使學生進一步理解、鞏固單調(diào)性的概念，對學生能運用概念規(guī)范地用符號語言表達起到很好的示范作用.

新教材例題的設(shè)置比舊教材更豐富、更有層次性和深度，更能引導學生用數(shù)學的思想、方法解決問題，并在問題解決的過程中培育學科素養(yǎng).

除例題外，新教材通過設(shè)置兩道思考題對概念進行辨析，通過明晰概念，促進學生重視對概念的學習.區(qū)間I上部分滿足單調(diào)遞增的條件，不能得出函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，讓學生理解概念中為什么要“?x1,x2∈D”.另一題是讓學生舉例說明定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)（如一次函數(shù)）和既有單調(diào)遞增區(qū)間又有單調(diào)遞減區(qū)間的函數(shù)（如二次函數(shù)），讓學生辨別了增（減）函數(shù)和單調(diào)遞增（減）這兩個概念的區(qū)別.

基于新舊教材中都有的例2 玻意耳定律就是證明函數(shù)y=(k＞0)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.所以，新教材刪掉舊教材關(guān)于函數(shù)y=在定義域上單調(diào)性的探究題，將其安排在課后練習中，并將函數(shù)y=改成反比例函數(shù)y=-提高了難度.學生要通過討論k的正負得到不同的單調(diào)性，與例1呼應，分類討論思想進一步得到鞏固.該題可以通過舉反例，說明函數(shù)y=(k＞0)在定義域上不是減函數(shù)，更具體地讓學生明白概念中“?x1,x2∈D”這一條件的重要性，從而理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為什么不能簡單合并.教材在多個位置設(shè)置不同的題目，不斷地強化學生對函數(shù)單調(diào)性這一抽象概念的理解，感悟常用邏輯用語中的量詞與數(shù)學的嚴謹性.

（五）比較課后習題的安排

新教材課后習題的數(shù)量明顯增多，其中最大一個亮點是習題3.2 的第8 題和第9 題.

習題3.2 第8 題設(shè)置了三道小題，分別要求用定義證明函數(shù)y=x+在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增，討論函數(shù)y=x+及y=x+(k＞0)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

該題與例3 是同一類型的函數(shù)，由易到難地引導學生完成對函數(shù)y=x+(k＞0)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性的探究，后續(xù)在學完函數(shù)的奇偶性后又得到該函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性，在學完本章后又專門“探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)”.教材根據(jù)學生的認知水平，通過例題、習題、閱讀材料逐步達成學生對形如y=ax+(a,b＞0)的函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，對運用基本不等式求這類函數(shù)的最值起到補充、加強的作用.

習題3.2 第9 題的證明題實際上是給出增（減）函數(shù)定義的等價形式：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，記Vx=x1-x2，Vy=f(x1)-f(x2).

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）的充要條件是：?x1,x2∈I，x1≠x2，都有＞(＜)0.

新教材將“差商法”放在本節(jié)習題中作為“定義法”判別法則的補充，更簡潔但也更抽象.由“差商法”可知，函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）的充要條件是該區(qū)間上圖象任意兩點連線的斜率大于（小于）零，它為今后研究平均變化率與導數(shù)提供了基礎(chǔ)，也為用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性作鋪墊.

新教材在例題與習題上做了較大的改動，充分體現(xiàn)了新課標“重視以學科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學科核心素養(yǎng)的落實”的編寫理念.［3］

四、結(jié)束語

新舊兩種版本的教材對函數(shù)的單調(diào)性處理方式同中有異，各有千秋，體現(xiàn)了各自的課程目標和內(nèi)容.2003 年版課標要求通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性；2017 年版的課標修改為：借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性.可見，新課標要求結(jié)合函數(shù)圖象，經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程.因此，新教材的編寫更注重發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).函數(shù)的圖象直觀地表達了函數(shù)的性質(zhì)，兩種版本的教材都注重加強與學生已有經(jīng)驗的聯(lián)系，先通過學生熟悉的函數(shù)圖象直觀感知，再引入概念，關(guān)注學生直觀想象素養(yǎng)的培育過程.新教材例題與習題的設(shè)計以能力立意為主，體現(xiàn)了數(shù)學思想方法的運用以及知識的螺旋式上升，發(fā)展學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).教學中要充分發(fā)揮教材的作用，理解教材，把握教材內(nèi)涵，落實“四基”“四能”，發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).