王惠清

?江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心

平面向量問題一直是每年模擬、高考、競賽等考試中的熱點與重點問題之一，其借助平面幾何的背景，創(chuàng)新性、新穎性皆很強，且變化多端，?？汲Ｐ拢瑫r也是數(shù)學(xué)知識交匯與融合的理想場所之一，是考試中能力齊全、思維各異、方法多樣的一個主戰(zhàn)場.破解平面向量問題，主要是抓住平面向量與平面幾何的圖形特征，借助基底思維、坐標(biāo)思維、解三角形思維等方式切入，結(jié)合平面向量的相關(guān)運算，得以研究相關(guān)的幾何元素之間的關(guān)系問題.

1 問題呈現(xiàn)

問題(2020屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三年級4月調(diào)研測試數(shù)學(xué)理科試卷·10)如圖1所示，在由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形中，設(shè)DF=3FA，則( ).

圖1

此題設(shè)計新穎別致，題意簡潔明了，目標(biāo)明確，立意深刻，通過平面幾何圖形的拼接與組合，以兩個具有特殊關(guān)系的等邊三角形為問題背景，結(jié)合其中線段之間的比例關(guān)系來確定平面向量的線性關(guān)系式.問題以平面幾何圖形為背景，使得命題條件獨具特色，并增加了思維難度，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)高考的“多考思維，少考計算”的命題新理念，意在考查學(xué)生的觀察、歸納、猜想和邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算能力.

2 問題破解

思維視角一：基底思維

方法1：基底法——線性運算法.

解析：根據(jù)題目條件可知△ABD≌△BCE≌△CAF.

由DF=3FA，可得ED=3DB，F(xiàn)E=3EC.

點評：根據(jù)平面圖形的形象直觀性，數(shù)形結(jié)合，利用三角形法則，結(jié)合平面向量的線性運算加以轉(zhuǎn)化，“一條路到底”，再結(jié)合基底法的應(yīng)用來確定平面向量的線性關(guān)系式，從而正確求解.

方法2：基底法——待定系數(shù)法.

思維視角二：坐標(biāo)思維

方法3：坐標(biāo)法.

解析：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

圖2

E(16x-6，16y).

點評：根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點B的坐標(biāo)，從而確定點C的坐標(biāo).設(shè)F(x，y)，利用條件中線段長度的關(guān)系分別表示出點D，E的坐標(biāo).結(jié)合CF=4CE建立相關(guān)參數(shù)的方程組，進而確定點D的坐標(biāo).利用平面向量的基本原理及其坐標(biāo)運算建立關(guān)系式，結(jié)合待定系數(shù)法來求解相應(yīng)的參數(shù)值，從而正確求解.

思維視角三：解三角形思維

方法4：余弦定理法.

圖3

解析：如圖3所示，延長AD交BC于點M，延長BE交CA于點N.

結(jié)合DF=3FA，根據(jù)對稱性，可設(shè)AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3，BM=CN=x，DM=EN=y.

在△BCE中，由余弦定理，得

點評：根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的輔助線，通過設(shè)出相應(yīng)的線段長度，并結(jié)合余弦定理的應(yīng)用確定BC的長度.通過相似三角形的判定與性質(zhì)建立相應(yīng)的關(guān)系式，得以確定相應(yīng)的參數(shù)值，再結(jié)合平面向量的平行關(guān)系、共線性質(zhì)以及線性運算進行分解，從而正確求解.

方法5：正弦定理法.

解析：如圖4所示，延長AD交BC于點M.

圖4

結(jié)合DF=3FA，根據(jù)對稱性，可設(shè)AF=BD=CE=1，DF=ED=FE=3.記∠DAB=α，∠DBA=β.

點評：根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的輔助線，通過設(shè)出相應(yīng)的線段長度，并結(jié)合正弦定理的應(yīng)用確定線段之間的關(guān)系，再結(jié)合三角形面積之間的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進而確定線段之間的比例關(guān)系，最后結(jié)合平面向量的平行關(guān)系、共線性質(zhì)以及線性運算進行分解，從而正確求解.

3 變式拓展

探究1：保留題目條件，根據(jù)大、小等邊三角形之間的比例關(guān)系，通過面積關(guān)系來設(shè)置幾何概型問題，利用概率的求解來進行合理變式.

變式1如圖1所示，在由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形中，設(shè)DF=3FA，若在大等邊三角形中隨機取一點，則該點取自小等邊三角形內(nèi)的概率是.

探究2：保留原問題的部分條件，把具體的線段比例關(guān)系進行一般化處理，將原問題變式拓展，從而得到相應(yīng)的一般性結(jié)論.

該結(jié)論的具體證明過程可參照原問題中方法4的求解過程.利用該結(jié)論，可以確定小等邊三角形與大等邊三角形邊長的關(guān)系、面積的關(guān)系以及與之相關(guān)的其他問題，包括變式1中的幾何概型問題等.

4 解后反思

破解平面向量問題最常見的“三思維”：基底思維、坐標(biāo)思維、解三角形思維.在實際解答過程中，利用平面向量的線性運算或坐標(biāo)運算來分析與處理，具體破解與切入方式又有不同的形式.其實，在解決平面向量問題時，要充分利用平面向量的特征，提高識“圖”與用“圖”能力，提升用“數(shù)”與解“數(shù)”思維，進而從“形”的角度或“數(shù)”的角度切入，結(jié)合不同的思維方式來分析，達到多角度思維，多方法處理，多層面拓展.