段中雨 孔彥玲

河南開(kāi)封科技傳媒學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院 河南開(kāi)封 475000

線性代數(shù)是理工科院校的一門(mén)公共必修課，是大一新生接觸的第一門(mén)代數(shù)類課程。有關(guān)線性代數(shù)的教學(xué)改革不斷推進(jìn)，將線性代數(shù)教學(xué)改革成果融入教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，已在各高校相繼展開(kāi)，教學(xué)改革成果不斷涌出。其中已發(fā)表的線性代數(shù)教學(xué)改革相關(guān)的研究論文中既有具體內(nèi)容的教學(xué)改革討論[1-2]，也有對(duì)線性代數(shù)教學(xué)改革整體布局的研究[3-4]，還有著眼于哲學(xué)在線性代數(shù)中的引領(lǐng)作用的研究[5]。本文結(jié)合線性代數(shù)各章節(jié)內(nèi)容以及代數(shù)學(xué)發(fā)展史，從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)給出了線性代數(shù)教學(xué)改革中幾點(diǎn)思考和方向。

1 線性代數(shù)教學(xué)改革方向分析

線性代數(shù)作為自然科學(xué)類的一門(mén)基礎(chǔ)課程，是一門(mén)應(yīng)用比較廣泛的課程，其理論和方法普遍應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科不可或缺的基礎(chǔ)。因此，掌握和運(yùn)用線性代數(shù)理論知識(shí)，對(duì)于理解其他數(shù)學(xué)分支，學(xué)習(xí)其他課程都是大有裨益的。但是，線性代數(shù)內(nèi)容抽象、對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力有一定的要求、不同章節(jié)之間有著密切的聯(lián)系，對(duì)于剛接觸線性代數(shù)課程的大一新生來(lái)說(shuō)，難度較大。此外，進(jìn)行教學(xué)改革既需要考慮課時(shí)多少，又要考慮學(xué)生接受程度，改革過(guò)程切忌生搬硬套，而應(yīng)采取與時(shí)俱進(jìn)的方法，達(dá)到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果，要想達(dá)到此種效果，教學(xué)改革任重而道遠(yuǎn)。

線性代數(shù)課程有著豐富的內(nèi)容，若能結(jié)合人才培養(yǎng)目標(biāo)，積極挖掘線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)、線性代數(shù)發(fā)展史、線性代數(shù)原理背后蘊(yùn)含的思想方法，把代數(shù)史、代數(shù)思想方法巧妙融入日常教學(xué)中，以知識(shí)內(nèi)容為導(dǎo)向，課堂講授為著力點(diǎn)，并將其與課堂教學(xué)合理融為一體，則能起到“1+1>2”的效果。這樣既增加了課堂的吸引力，又潛移默化地培養(yǎng)了數(shù)學(xué)情懷，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

首先，線性代數(shù)教學(xué)改革必須以實(shí)際效果為目標(biāo)。并且，教學(xué)改革目標(biāo)要定位準(zhǔn)確，以線性代數(shù)教學(xué)大綱為基礎(chǔ)，進(jìn)而不斷發(fā)掘代數(shù)思想方法，以代數(shù)史為主線，逐步形成各個(gè)章節(jié)協(xié)調(diào)配合、循序漸進(jìn)最終達(dá)成線性代數(shù)課程培養(yǎng)目標(biāo)。其次，要落實(shí)教學(xué)改革效果，通過(guò)不同的班級(jí)對(duì)比，以及成績(jī)、活躍度、課堂參與度等多個(gè)方面來(lái)評(píng)估教學(xué)改革的效果，建立切實(shí)有效的評(píng)估體系。最終不斷改進(jìn)教學(xué)方法，以期達(dá)到線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)。

2 教學(xué)改革的探索與實(shí)踐

2.1 發(fā)掘代數(shù)故事

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程，無(wú)論是專業(yè)數(shù)學(xué)還是公共數(shù)學(xué)，對(duì)于代數(shù)學(xué)歷史背景的了解是必要的，只有扎根于過(guò)去，才能培育出新的成果。然而，通常課程所介紹的僅僅是一些數(shù)學(xué)成就、數(shù)學(xué)片段，而沒(méi)有提及概念內(nèi)容的目的，定理結(jié)論是如何探索得到的，以及數(shù)學(xué)知識(shí)是如何在生活中運(yùn)用來(lái)改善我們的日常生活的。因此，在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)地介紹學(xué)科發(fā)展脈絡(luò)，講解線性代數(shù)發(fā)展史，包括線性代數(shù)的起源、最初的研究對(duì)象，直到現(xiàn)代的發(fā)展方向。在這個(gè)過(guò)程中，可以用課前五分鐘，從代數(shù)史出發(fā)，按照代數(shù)學(xué)發(fā)展順序提供一個(gè)“課前講史平臺(tái)”，不僅使代數(shù)史與課程的內(nèi)容彼此聯(lián)系，更能把線性代數(shù)課程與數(shù)學(xué)思想的發(fā)展聯(lián)系起來(lái)。讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)家克服艱難困苦，探索未知領(lǐng)域，最終經(jīng)歷漫長(zhǎng)艱苦的道路，開(kāi)發(fā)新的理論過(guò)程，而不僅僅是淹沒(méi)在漫天的公式、命題和定理之中。在講到特定的概念，如行列式、向量組等重要概念時(shí)，則可以進(jìn)一步展開(kāi)說(shuō)明這些概念的由來(lái)。此外，還可以布置課下任務(wù)，讓學(xué)生親身參與，了解數(shù)學(xué)家在科學(xué)和哲學(xué)思想的演進(jìn)中的推動(dòng)作用，了解他們對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的重要成果，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感。

借助代數(shù)史的發(fā)展，一方面可以講解清楚數(shù)學(xué)概念的由來(lái)，了解其產(chǎn)生的歷史背景。比如，在講解行列式時(shí)，可以介紹行列式的起源是17世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在求解方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)總是出現(xiàn)一些數(shù)相乘再相加或相減的情況，便想要通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示這一現(xiàn)象，于是行列式應(yīng)運(yùn)而生。隨后又經(jīng)過(guò)克萊姆、貝祖、范德蒙德、拉普拉斯等數(shù)學(xué)家的研究，行列式既自成體系，又在方程組的求解等實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著巨大的作用。這樣，借助線性代數(shù)發(fā)展史，既講清楚了行列式的由來(lái)，又點(diǎn)明了行列式的本質(zhì)是數(shù)。這樣讓學(xué)生在了解線性代數(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)上，更好地理解線性代數(shù)概念的本質(zhì)。

借助代數(shù)史的發(fā)展，另一個(gè)方面是介紹中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就和中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感受中華民族先賢的璀璨思想，理解中國(guó)人民勤勞勇敢，開(kāi)拓創(chuàng)新的拼搏精神，進(jìn)而提升民族自信、文化自信。中國(guó)作為四大文明古國(guó)之一，在文化科學(xué)的多個(gè)方面取得了開(kāi)創(chuàng)性的成果，其中數(shù)學(xué)成就占據(jù)著重要的地位，如用尺規(guī)畫(huà)出各種幾何圖形、用幻方培養(yǎng)數(shù)理邏輯、發(fā)現(xiàn)勾股定理、求解不定方程等，對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，這些都可以在線性代數(shù)課程教學(xué)中反映出來(lái)。比如在學(xué)習(xí)線性方程組時(shí)，可以用《九章算術(shù)》中記載的問(wèn)題融入教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)而引入消元法。以此為切入點(diǎn)，介紹方程組的求解，同時(shí)也指出，中國(guó)的《九章算術(shù)》中就已經(jīng)出現(xiàn)方程組的求解方法，這是已知的世界上最早的求解方程組的方法，在代數(shù)學(xué)早期歷史上占有重要地位，而且《九章算術(shù)》在公元1世紀(jì)左右就提出了正負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，給出了一些二次方程的解法。讓學(xué)生從《九章算術(shù)》中感受中華民族先賢的獨(dú)特智慧和探索精神，進(jìn)而增強(qiáng)文化自信以及民族自豪感。

此外，還可以介紹數(shù)學(xué)家的生平事跡，可以從個(gè)人鉆研，學(xué)而不厭，開(kāi)拓創(chuàng)新以及合作交流等方面入手，借助樸素的世界觀方法論等，幫助學(xué)生培養(yǎng)基礎(chǔ)而深刻的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.2 借用代數(shù)思想和方法

數(shù)學(xué)是人類從古至今傳承而來(lái)的智慧結(jié)晶，而代數(shù)學(xué)則是其中的精髓之一，數(shù)學(xué)中的巨大成就背后蘊(yùn)含著深刻的思想方法。線性代數(shù)中也蘊(yùn)含著豐富的辯證法，如特殊與一般、對(duì)立與統(tǒng)一、現(xiàn)象與本質(zhì)、理論與實(shí)踐等。在線性代數(shù)課堂中展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯，揭示數(shù)學(xué)定理的本質(zhì)，不僅有利于學(xué)生掌握科學(xué)的方法、感受數(shù)學(xué)之美，而且能夠提高學(xué)生的思辨能力?？茖W(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，以此作為改革點(diǎn)能夠把理論知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行有效結(jié)合，既提高了學(xué)生對(duì)于線性代數(shù)課程的理解，又加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)世界的認(rèn)識(shí)以及三觀的塑造。因此，通過(guò)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)背后蘊(yùn)藏的思想方法是非常有意義的。

2.2.1 從特殊到一般的思想

在定義行列式時(shí)，首先給出的是二階、三階的行列式，只是通過(guò)計(jì)算的角度給出了行列式的初印象，進(jìn)而介紹一般的n階行列式，這種從特殊到一般的思想，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中時(shí)常用到。其一般步驟為從客觀具體的現(xiàn)象出發(fā)，抓住主要特征，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)概念，總結(jié)出一般規(guī)律，最終通過(guò)科學(xué)的方法證明，得到定理、結(jié)論等。這種思想滲透在線性代數(shù)的方方面面。比如，在方程組的求解中，也是從一個(gè)特殊的方程組求解出發(fā)，進(jìn)而總結(jié)出科學(xué)的方法——消元法，最后應(yīng)用于一般方程組的求解。啟發(fā)學(xué)生，探索問(wèn)題可以從特殊情況出發(fā)，進(jìn)而得到一般的真理。

2.2.2 對(duì)立統(tǒng)一的思想

在向量組的線性相關(guān)性章節(jié)中，首先定義了向量組線性相關(guān)的概念，接著立即給出了向量組線性無(wú)關(guān)的概念，并指出向量組要么線性相關(guān)要么線性無(wú)關(guān)，兩者之間是非此即彼的關(guān)系。以此為切入點(diǎn)，分析線性代數(shù)中很多概念都存在對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，它們彼此之間既相互排斥、相互獨(dú)立，又相互依存、相互聯(lián)系，并且在一定的條件下又可以相互轉(zhuǎn)化。正是這種對(duì)立面之間的統(tǒng)一和斗爭(zhēng)推動(dòng)著學(xué)科的不斷發(fā)展和進(jìn)步，以此，鼓勵(lì)學(xué)生要站在“對(duì)立統(tǒng)一”的辯證角度來(lái)看待問(wèn)題。

2.2.3 現(xiàn)象與本質(zhì)

在二次型的學(xué)習(xí)中，最主要的問(wèn)題是判別二次型的正定性。因此，需要借助多種方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。這個(gè)過(guò)程就采用了透過(guò)事物現(xiàn)象來(lái)研究問(wèn)題本質(zhì)的思想方法。無(wú)論是配方法，還是正交變換法都實(shí)現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)，找出了問(wèn)題的本質(zhì)，把握事物的本質(zhì)之后，一切正定性的判別問(wèn)題就迎刃而解。啟發(fā)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，把握核心部分，忽略次要部分，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)潔的形式，進(jìn)而解決問(wèn)題。

2.2.4 理論與實(shí)踐相結(jié)合的思想

各門(mén)科學(xué)都是以現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，又都反映著現(xiàn)實(shí)，線性代數(shù)也不例外。線性代數(shù)課程理論性較強(qiáng)，學(xué)生經(jīng)常遇到學(xué)習(xí)抽象理論和實(shí)際應(yīng)用相矛盾的情況，應(yīng)注意理論與實(shí)踐相結(jié)合的思想。在掌握線性代數(shù)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，可以用理論知識(shí)與自身學(xué)科相結(jié)合來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。例如，矩陣的特征值在實(shí)際中的應(yīng)用。矩陣的特征值和特征向量不僅在研究矩陣對(duì)角化中起著關(guān)鍵作用，而且在量子力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域有著重要的影響。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究進(jìn)出口總額與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、總消費(fèi)、存儲(chǔ)量之間的關(guān)系時(shí)，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，采用主成分估計(jì)就是基于特征值與特征向量理論[6]。啟發(fā)學(xué)生要把理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中去，注重理論與實(shí)踐相結(jié)合。

線性代數(shù)注重?cái)?shù)學(xué)理論的探究，具有諸多樸素的辯證法思想，注重一般規(guī)律。只有讓學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的思辨性有了深刻的認(rèn)識(shí)，才能夠擺脫模糊不清的、約定俗成的部分，進(jìn)而對(duì)線性代數(shù)有簡(jiǎn)明清晰的可靠的理解。通過(guò)線性代數(shù)中蘊(yùn)含的思想方法，可以從思辨能力、科學(xué)精神、創(chuàng)新思維等方面入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)，要多方面觀察，尋找解決問(wèn)題的可能性和可行性。

2.3 采取“線上+線下”教學(xué)模式

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)需要線上線下相結(jié)合的學(xué)習(xí)情景，線上學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生之間、師生之間缺乏面對(duì)面交流。學(xué)生有更多的時(shí)間接觸網(wǎng)絡(luò)信息，而大學(xué)生思想不夠成熟，易被錯(cuò)誤信息誘導(dǎo)。部分學(xué)生作息混亂，對(duì)封閉式管理產(chǎn)生抵觸情緒，這些情況對(duì)線性代數(shù)日常教學(xué)工作提出了新的挑戰(zhàn)。線性代數(shù)課程的講授應(yīng)把握當(dāng)下形勢(shì)，改變單純的課堂講授的教學(xué)方式，而教學(xué)改革，也應(yīng)該采取靈活的方式，借助便捷的互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境，設(shè)計(jì)出切實(shí)可行的“線上+線下”的教學(xué)模式，為單調(diào)的理論課程增加人文關(guān)懷，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)節(jié)自身情緒。首先，在發(fā)揮線下課堂主陣地外，也要把握課外師生交流這一教學(xué)改革的重要戰(zhàn)場(chǎng)，針對(duì)“線上+線下”混合式教學(xué)的特點(diǎn)，需要加強(qiáng)師生之間的交流溝通，教師可以通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷、投票等多種形式進(jìn)行互動(dòng)，了解學(xué)生對(duì)教學(xué)改革方式的認(rèn)可程度。其次，還應(yīng)建立課前挖掘教學(xué)方法、課堂潛移默化傳播代數(shù)思想、課后進(jìn)階鞏固理論知識(shí)的三位一體的教學(xué)改革體系。同時(shí)，要合理運(yùn)用共享資源，可以借助雨課堂、超星學(xué)習(xí)平臺(tái)等學(xué)習(xí)APP，發(fā)布電子教案、課件、教學(xué)視頻，以此來(lái)進(jìn)行教學(xué)互動(dòng)[7]。這樣既可以讓學(xué)生獲得專業(yè)知識(shí)，又把代數(shù)思想、社會(huì)主義核心價(jià)值觀、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等內(nèi)容傳遞給了學(xué)生，進(jìn)而提升這些社會(huì)主義未來(lái)接班人的思想水平和視野。這種采用傳統(tǒng)講授與信息化教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式來(lái)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，就建立起了一種課前、課中、課后全方位的教學(xué)新模式。在探索線性代數(shù)教學(xué)改革多元化教學(xué)方法中，將價(jià)值引領(lǐng)與知識(shí)傳授相融合，依托線性代數(shù)在線課程建設(shè)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，充分發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的強(qiáng)大功能和作用，同時(shí)借助學(xué)習(xí)APP平臺(tái)數(shù)據(jù)，分析學(xué)生課堂學(xué)習(xí)情況，及時(shí)接收教學(xué)改革成果，量化教學(xué)改革效果。

通過(guò)“線上+線下”的教學(xué)模式，不僅順應(yīng)課堂理論教學(xué)與互聯(lián)網(wǎng)融合的時(shí)代環(huán)境，而且增加了教學(xué)吸引力，加強(qiáng)了師生良性互動(dòng)，進(jìn)一步拓展了線性代數(shù)課程的影響力。

結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)教學(xué)改革任重道遠(yuǎn)，在線性代數(shù)課程內(nèi)容中融入代數(shù)史和代數(shù)思想方法，仍然需要不斷地在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中實(shí)現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)。通過(guò)以上這些探索和實(shí)踐，在線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)、教學(xué)方法選取、教學(xué)實(shí)踐展開(kāi)等環(huán)節(jié)將改革方法融入實(shí)際教學(xué)，在這個(gè)過(guò)程中要注重實(shí)際的教學(xué)效果，而不是形式。教學(xué)改革應(yīng)以課堂、課程為起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，最終達(dá)到“立德樹(shù)人”的目的。如何把線性代數(shù)教學(xué)改革做得更好，仍需要不斷優(yōu)化教學(xué)布局，完善課程體系，進(jìn)行切實(shí)有效的探索和實(shí)踐。