摘 要 本文為對(duì)2022年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題的后續(xù)研究. 首先，為確定模型更新時(shí)間，我們利用馬爾科夫鏈模型分析歷史氣候數(shù)據(jù)，得到降雨的概率. 再通過蒙特卡洛模擬仿真一個(gè)月內(nèi)的天氣情況，匯總分析，得到連續(xù)t天干旱的概率最大，以此作為模型的更新時(shí)間. 其次，為簡化計(jì)算，先在一年的長度上構(gòu)建水資源的公平分級(jí)供需模型，查閱資料得到水庫水位與容量的函數(shù)關(guān)系，以此構(gòu)建供給函數(shù)；設(shè)計(jì)公平-效益系數(shù)、價(jià)格系數(shù)、成本系數(shù)、滿意度來確定需求函數(shù). 接著，構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃方程，利用NSGA2遺傳算法求解，得經(jīng)濟(jì)效益可達(dá)287.01億美元. 對(duì)于一年的供給量，鮑威爾湖需要10個(gè)月可以滿足需求，米德湖需要12個(gè)月，最后剩余20億立方米左右的水流入加利福尼亞灣. 最后，當(dāng)水資源緊缺，無法滿足水電需求時(shí)，通過控制供給函數(shù)的范圍，實(shí)現(xiàn)節(jié)流. 我們還對(duì)模型進(jìn)行了靈敏度分析，對(duì)于需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動(dòng)進(jìn)行全面的分析.

關(guān)鍵詞 馬爾可夫鏈；多目標(biāo)非線性規(guī)劃；分級(jí)供需

中圖分類號(hào) O29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

0 引 言

格倫峽谷大壩和胡佛大壩位于科羅拉多河系統(tǒng)上，能為美國西南部五個(gè)州供水和電，這五個(gè)州分別為：亞利桑那州（Arizona），加利福尼亞州（California），懷俄明州（Wyoming），新墨西哥州（New Mexico）和科羅拉多州（Colorado）. 如今，氣候的變化導(dǎo)致這兩個(gè)大壩的水庫水量不斷減少，且科羅拉多河系統(tǒng)近期的高溫與降雨短缺的狀況或許將持續(xù). 若仍遵循科羅拉多河系統(tǒng)之前的分配契約，難以滿足這五個(gè)州的用水需求. 但實(shí)際上，州的水電實(shí)際用量或許少于分配量，因此制定一個(gè)用于現(xiàn)在與未來的合理的水資源調(diào)配計(jì)劃非常重要.

本文根據(jù)2022年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題給定的背景資料與指導(dǎo)，解決如下問題：要求首先建立水資源-電力配置的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的更新時(shí)間、滿足供水需求所需的額外供水量，然后解決一般用水（包含：農(nóng)業(yè)、工業(yè)及住宅）和電力生產(chǎn)之間的沖突，最后研究當(dāng)影響模型的因素（如：需水量減少）變動(dòng)時(shí)，模型將發(fā)生何變化.

國內(nèi)外自20世紀(jì)40年代以來，通過分析水資源系統(tǒng)，研究如何合理配置水資源，最初研究的是水庫優(yōu)化調(diào)度問題，在此基礎(chǔ)上逐漸構(gòu)建系統(tǒng)工程且廣泛應(yīng)用于水庫（群）優(yōu)化調(diào)度問題、防洪調(diào)度研究中. 調(diào)度方法大致可分為常規(guī)方法和系統(tǒng)分析方法，其中，常規(guī)方法是結(jié)合水能計(jì)算、徑流調(diào)節(jié)理論及經(jīng)驗(yàn)圖表的半理論、半經(jīng)驗(yàn)方法；而系統(tǒng)分析方法大致可分為兩類：概率模型（包括馬爾可夫決策過程、排隊(duì)論等）與規(guī)劃模型（包括多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等）[1].

本文的數(shù)學(xué)模型基于前人建立的分析方法，求解該供水系統(tǒng)的更新時(shí)間，使得該系統(tǒng)的供水策略隨實(shí)際情況調(diào)整，更靈活并具實(shí)際應(yīng)用意義；以一年為單位時(shí)間分配各州單位時(shí)間內(nèi)的供電及供水，合理簡化模型，該思想易于應(yīng)用于相似的資源動(dòng)態(tài)調(diào)度問題中；在考慮需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動(dòng)的角度下，對(duì)模型進(jìn)行多次靈敏度分析，考慮的因素較為全面以保障模型的穩(wěn)定性.

1 模型假設(shè)

· 假設(shè)：水庫蒸發(fā)的水量可以忽略不計(jì).

"" 合理性論證：這兩座大壩的儲(chǔ)水量大到足以可忽略蒸發(fā)的水量.

· 假設(shè)：一千瓦的電力價(jià)格為10.41美分.

"" 合理性論證：美國每千瓦時(shí)電的平均零售價(jià)格是10.41美分[2].

2 符號(hào)說明

3 基于馬爾可夫鏈的更新時(shí)間模型

水庫的調(diào)配成本較高且靈活度低，所以確定一個(gè)合適的模型更新時(shí)間是十分重要的. 我們從五個(gè)州的一個(gè)月內(nèi)連續(xù)干旱天數(shù)考慮模型的更新時(shí)間，選取概率最大的連續(xù)干旱天數(shù)作為更新時(shí)間，這樣，考慮到了最壞的情況，可以使我們的水庫調(diào)配模型更加地穩(wěn)健節(jié)制.

3.1 基于馬爾可夫鏈的天氣預(yù)測(cè)

3.2 蒙特卡洛模擬

蒙特卡洛方法是以計(jì)算機(jī)為工具，通過科學(xué)的統(tǒng)計(jì)與建模，將繁瑣的計(jì)算問題與研究對(duì)象，轉(zhuǎn)化成對(duì)隨機(jī)數(shù)字及它們特征的計(jì)算與仿真，因而能簡化研究問題，降低計(jì)算的復(fù)雜度，獲得性質(zhì)優(yōu)良的近似解[5].

由于湖泊水位高度隨季節(jié)變化大，故根據(jù)其水位高低將一年分為三個(gè)時(shí)間段. 在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)，以兩湖發(fā)生干旱的概率及降雨的概率為參數(shù)，分別模擬仿真一個(gè)月內(nèi)的天氣情況，匯總分析，得到連續(xù)t天干旱的概率最大（模擬使用的參數(shù)及結(jié)果見下表2）.

4 基于多目標(biāo)非線性規(guī)劃的公平分級(jí)供需模型

4.1 供需關(guān)系分析

水資源的可供量受某特定范圍內(nèi)水資源的數(shù)量、時(shí)空分布以及供水工程能力的制約. 實(shí)際需水量則與生產(chǎn)發(fā)展、生活用水量、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和水資源利用效率有關(guān). 不同時(shí)期的可供水量與實(shí)際需求量是可變的. 科羅拉多河面對(duì)的問題主要是水源短缺，供小于求，在短期應(yīng)對(duì)水資源供需關(guān)系作出推斷預(yù)測(cè)，合理分配. 在長期應(yīng)該采用開源節(jié)流的辦法.

4.1.1 供給分析

本文研究的5個(gè)州位于科羅拉多河中下游地區(qū)，大部分屬于干旱、半干旱氣候，年均降水量不足100 mm，加上蒸發(fā)量大、滲漏、灌溉等耗水，水量逐漸減少，各年之間及各季之間豐枯相差很大，4-5月洪水期流量與枯水期相差23-26倍. 其特點(diǎn)為春末夏初洪水泛濫，秋冬河水干涸. 考慮到科羅拉多河水量的劇烈變化，對(duì)于水庫的水位要進(jìn)行分類討論.

1） 水位與蓄水量的對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)線性回歸曲線

通過查閱文獻(xiàn)[6]，我們分別得到了鮑威爾湖和米德湖的水位（單位：高于平均海平面的米數(shù)（m））與蓄水量（m3）的關(guān)系. 如圖1（a）和圖1（b）所示：

同時(shí)，我們還得到了兩湖的最大蓄水量、最小發(fā)電水位和死水位的數(shù)據(jù)，如下表3所示.

我們利用上述文章中的數(shù)據(jù)，用最小二乘回歸來確定水位的對(duì)數(shù)和蓄水量的對(duì)數(shù)間的關(guān)系. 擬合曲線如圖2所示：

對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)線性回歸結(jié)果見表4.

3） 水供給函數(shù)

米德湖的部分水是由鮑威爾湖供應(yīng)的，因此，鮑威爾湖供水量增加時(shí)，米德湖的水位將會(huì)下降. 我們假設(shè)鮑威爾湖的供水量每增加1億m3，米德湖的水位就會(huì)下降l m.

我們根據(jù)水庫水位高低將水庫分為充盈與緊缺兩種狀態(tài)，不同狀態(tài)下的可供水量范圍將發(fā)生變化.

4） 降水-徑流-供應(yīng)模式

圖3為兩湖的降水量與徑流量的折線圖. 其橫坐標(biāo)為月份，縱坐標(biāo)為該月份對(duì)應(yīng)的月總降水量與徑流量. 圖3（a）為鮑威爾湖的數(shù)據(jù)，圖3（b）為米德湖的數(shù)據(jù).

其中，k表示徑流系數(shù)，在干旱地區(qū)它非常?。籖表示徑流深度；Q表示徑流量；P表示降水[7].

我們用這個(gè)公式來計(jì)算降水與湖總水量的關(guān)系. 結(jié)合每月的降水量，我們發(fā)現(xiàn)鮑威爾湖需要10個(gè)月才能滿足需求，而米德湖需要12個(gè)月.

4.1.2 分級(jí)需求分析

1） 5個(gè)州4類指標(biāo)的數(shù)據(jù)分析

我們將5個(gè)州的用電量[2]、用水量[8]、人口數(shù)量[7，9]和GDP[10]數(shù)據(jù)可視化，如下圖4所示.

由圖4可知，4類數(shù)據(jù)中，加利佛尼亞州（California）的值均為最大且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他州.

2） 工業(yè)、農(nóng)業(yè)和住宅供水排序

供水次序系數(shù)qij反映i子區(qū)j水源相對(duì)于其他水源供水的優(yōu)先程度，與水源供水次序有關(guān)，可以參考下式確定：

其中，nimax為州3種用水（工業(yè)、農(nóng)業(yè)、住宅）的最大序列值（即為3）；nij為i州j產(chǎn)業(yè)用水量排序位次.

分析不同州對(duì)于水的利用策略，可以更好的得到準(zhǔn)確的需求. 用水首先滿足生活需求，所以我們的模型假設(shè)住宅的權(quán)重最大. 在分析GDP數(shù)據(jù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這5個(gè)州都是側(cè)重工業(yè)，主要因?yàn)樗麄兌继幵诟珊?、半干旱地區(qū)，農(nóng)業(yè)發(fā)展受到氣候和資源限制，所以得出的供水順序?yàn)樽≌?、工業(yè)、農(nóng)業(yè). 如果有更多數(shù)據(jù)支撐，也許順序會(huì)有所變化.

3） 公平-效益系數(shù)

因?yàn)槌Ｓ玫闹饔^賦權(quán)法（如專家打分法等）一定程度上受主觀性的影響，相較之下，客觀賦權(quán)法的精度通常更高. 故在當(dāng)前賦權(quán)重的方法中，熵權(quán)法是較為普遍并且影響力較大的一種. 熵權(quán)法通過計(jì)算指標(biāo)差異變化的程度大小來確定權(quán)重，即：評(píng)價(jià)指標(biāo)的熵值越小，該指標(biāo)的變化差異程度越大、給予的信息越多. 該方法根據(jù)客觀的樣本數(shù)據(jù)獲得最優(yōu)的權(quán)重，一定程度上能有效避免人為主觀性造成的權(quán)重偏差，使得指標(biāo)權(quán)重更為客觀[11].

我們利用熵權(quán)法選取了2類共5個(gè)指標(biāo)衡量州之間的水量分配權(quán)重. 一是分級(jí)類指標(biāo)：歷史平均用水量、GDP、人口數(shù)量；二是公平類：人均用水量、人均GDP、（每萬美元GDP耗水量）. 歷史平均用水量越大、人口越多的州理應(yīng)分配更多的水，GDP代表一個(gè)州的發(fā)展程度，GDP高的州如果能分配到更多的水，就可以創(chuàng)造出更多的GDP，提高供水的經(jīng)濟(jì)效益.

但如果單純使用這些分級(jí)指標(biāo)，容易嚴(yán)重失衡，會(huì)導(dǎo)致人口多、GDP高的州權(quán)重過大，尤其是加州的GDP和人口是其他州的幾十倍. 為了維護(hù)其他州的利益，我們引入了人均用水量、人均GDP作為公平類指標(biāo)，人均用水量、人均GDP較多的州分得水更多.

熵權(quán)法公式如下：

其中，ej為第j個(gè)指標(biāo)的信息熵，z為計(jì)算對(duì)象的數(shù)量，q為指標(biāo)的數(shù)量，Wj為第j個(gè)指標(biāo)的熵權(quán). 即，對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象和指標(biāo)組成的矩陣進(jìn)行歸一化后，計(jì)算得到概率矩陣P，pij為概率矩陣P的第i行第j列元素，繼而可由公式（11）計(jì)算得到第j個(gè)指標(biāo)的信息熵ej及其熵權(quán)Wj.

公平-效益指標(biāo)及其值如表5.

然后我們可以進(jìn)一步計(jì)算出5個(gè)州的公平-效益系數(shù)αi.

4） 成本與價(jià)格系數(shù)

每公里運(yùn)輸一定體積的水的成本與距離正相關(guān)，因此，為簡化模型，我們假設(shè)它們之間有線性關(guān)系，并構(gòu)建成本與距離的線性函數(shù)，得到成本系數(shù)ckij. 且假設(shè)當(dāng)接收水的州在大壩上游時(shí)，成本系數(shù)為原來的兩倍. 公式如下：

其中，cki" 為從k湖輸水至i州的成本系數(shù)，Lki" 為k湖與i州的距離.

不同產(chǎn)業(yè)使用相同水量時(shí)產(chǎn)生不同的效益，所以我們分別計(jì)算農(nóng)業(yè)、工業(yè)和住宅用水的價(jià)格系數(shù).

工業(yè)用水的價(jià)格系數(shù)采用工業(yè)總產(chǎn)值分?jǐn)偡?，?jì)算公式如下：

其中，b1為工業(yè)用水的價(jià)格系數(shù). β為工業(yè)用水的效益分?jǐn)傁禂?shù)，不同水源的分?jǐn)傁禂?shù)不同：以自來水為水源時(shí)，β為3.5；以自備井為水源時(shí)，β為3%；以水利工程為水源時(shí)，β為6.5%. ω為工業(yè)每萬元產(chǎn)值的用水量.

4.3 求解

本文采用NSGA-II法求解了2水庫為5個(gè)州3產(chǎn)業(yè)供水的問題. NSGA-II是應(yīng)用范圍最廣的多目標(biāo)遺傳算法. 其提出一種快速的非支配排序算法，降低了計(jì)算非支配序列的復(fù)雜度. 同時(shí)，在進(jìn)化過程中不丟棄優(yōu)勢(shì)個(gè)體，從而提高優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性. 并且通過對(duì)種群中所有個(gè)體的分層存儲(chǔ)，使最好的個(gè)體不會(huì)丟失，可以迅速提高種群水平. 該算法可以得到均勻分布的非次優(yōu)解，在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域顯示出較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì). 該算法的具體流程如下[12]：

求解得到多個(gè)解集，其中部分帕累托最優(yōu)解如表6、表7.

其中，方案1的經(jīng)濟(jì)效益可接近287億美元，方案2的經(jīng)濟(jì)效益可接近63億美元. 方案2的社會(huì)效益高于方案1. 在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益往往存在沖突.

5 靈敏度分析

5.1 需求

圖6為利潤與民眾滿意度隨需求轉(zhuǎn)移而變化的折線圖. 其橫坐標(biāo)為需求轉(zhuǎn)移率，正需求轉(zhuǎn)移率表示需求增加，負(fù)需求轉(zhuǎn)移率表示需求減少，縱坐標(biāo)為該需求轉(zhuǎn)移率下的利潤與民眾滿意度化率.

隨著需求的不斷提高，滿意度逐漸下降，且下降速度快；而經(jīng)濟(jì)效益不斷波動(dòng)，說明利潤對(duì)需求更為敏感.

5.2 可再生能源技術(shù)

可再生能源技術(shù)比重增加，主要體現(xiàn)在水力發(fā)電系數(shù)K. 圖7為利潤與民眾滿意度隨水力發(fā)電系數(shù)K增大而變化的折線圖. 其橫坐標(biāo)為水力發(fā)電系數(shù)K，縱坐標(biāo)為該K值對(duì)應(yīng)的利潤與民眾滿意度變化率. 對(duì)K進(jìn)行靈敏度分析，隨著K增加，社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益都有很大的提高，在K＝8.3左右達(dá)到最大值.

5.3 工業(yè)，農(nóng)業(yè)與住宅需水量

如果該州的工業(yè)比重發(fā)生變化，或者各第二產(chǎn)業(yè)及其住宅用水量發(fā)生變化，可以通過改變工業(yè)、農(nóng)業(yè)和住宅的供水排名進(jìn)行調(diào)整. 圖8為利潤與民眾滿意度隨供水排名而變化的折線圖. 其橫坐標(biāo)為排名，縱坐標(biāo)為排名下的利潤與民眾滿意度變化率.

通過對(duì)qij進(jìn)行靈敏度分析可知，當(dāng)住宅用水量排在第一位，工業(yè)排在第二位時(shí)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益最佳.

6 總結(jié)

本文通過建立多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，解決了3個(gè)問題. 首先，利用馬爾科夫鏈模型與蒙特卡洛模擬仿真求解模型的更新時(shí)間. 其次，以一年為單位時(shí)間，構(gòu)建供給函數(shù)、需求函數(shù)與多目標(biāo)規(guī)劃方程，并利用NSGA2遺傳算法求解，并通過降水-徑流-供給模型來分配每個(gè)州的單位時(shí)間供給量. 最后，對(duì)模型進(jìn)行靈敏度分析，對(duì)于需求側(cè)的變化引起供給側(cè)的變動(dòng)進(jìn)行全面分析. 本文建立的求解流程具有一般性，可對(duì)相關(guān)問題的解決提供有益的思路和啟發(fā).

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Fair Hierarchical Supply and Demand Model Basedon Multi-Objective Nonlinear Programming

ZHUANG Miaoxia， PAN Haoran， NIE Yulin， FANG Rui

（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

Abstract" In this paper， a further study is carried out on the Problem B of The 2022 Mathematical Contest in Modeling. First of all， the updating time of the model from the consecutive drought days of one month in five states is considered， and the continuous drought days with the highest probability as the updating time are selected. In this way， considering the worst case， our reservoir allocation model can be more robust and moderate. The specific method is to use Markov chain model to analyze the historical climate data and get the probability of rainfall. Then through Monte Carlo to simulate the weather in a month， summary analysis， the probability of continuous T days of drought is the largest. Secondly， through the analysis of the topic， it is found that if water resources are allocated in units of month or day， it will bring huge complexity to the model， and the solution will be tedious and time-consuming. In order to allocate water resources fairly and effectively， a fair hierarchical supply and demand model of water resources on the length of a year is built， and the functional relationship between reservoir water level and capacity by consulting data is obtained， so as to build the supply function. Design the equity-benefit coefficient， price coefficient， cost coefficient and satisfaction to determine the demand function. Then， the multi-objective programming equation is constructed and solved by NSGA2 genetic algorithm. Firstly， the annual water resources amount is allocated to determine the annual supply amount. The economic benefits can reach us $28.701 billion; For a year？蒺s supply， Powell needed 10 months to meet demand and Mead needed 12 months， leaving about 2 billion cubic meters of water flowing into the Gulf of California. Moreover， when water resources are scarce and the demand for hydropower cannot be met， the range of supply function is controlled to achieve throttling. Sensitivity analysis on the model is also constructed， and the changes of supply side caused by the changes of demand side are comprehensively analyzed.

Keywords" Markov chain; multi-objective nonlinear programming; hierarchical

收稿日期：2022 － 05 － 19

通訊作者：方 睿（1987—），男（漢族），廣東汕頭人，博士，副教授，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì).

E-mail：rfang@stu.edu.cn