收稿日期：2021-12-09

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51876054；11502070）；南通市民生科技重點(diǎn)項(xiàng)目（MS22019018）

通信作者：趙振宙（1982—），男，博士、教授、博士生導(dǎo)師，主要從事風(fēng)力機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)方面的研究。joephy@163.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2021-1517 文章編號(hào)：0254-0096（2023）04-0099-07

摘 要：考慮風(fēng)剪切效應(yīng)，提出一種高斯形狀的三維尾流模型（3DG-k）。該模型定義尾流半徑[rw]等于兩倍的高斯特征參數(shù)[σ]，并與物理尾流邊界的擴(kuò)展系數(shù)[k]建立聯(lián)系，來(lái)描述風(fēng)輪后尾流邊界的演變規(guī)律。通過(guò)GH風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、Nibe風(fēng)電場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、Vestas V80-2 MW風(fēng)力機(jī)大渦模擬數(shù)據(jù)，對(duì)3DG-k模型、Jensen模型、三維高斯模型（3DG）及三維橢圓高斯模型（3DEG）進(jìn)行對(duì)比分析。研究結(jié)果顯示，3DG-k模型在3種案例中均顯示出最佳的預(yù)測(cè)精度，更適用于工程實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：風(fēng)力機(jī)；三維尾流模型；風(fēng)剪切效應(yīng)；尾流效應(yīng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TK81""""""""" nbsp;"""""""" """文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

風(fēng)力機(jī)尾流效應(yīng)對(duì)下游風(fēng)電機(jī)組產(chǎn)生較大負(fù)面影響，造成速度損失，增大疲勞載荷。尾流效應(yīng)可采用計(jì)算流體力學(xué)（computational fluid dynamics，CFD）方法來(lái)進(jìn)行評(píng)估。理論上，CFD方法可獲得高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果，但很難對(duì)集群式風(fēng)電場(chǎng)的尾流效應(yīng)展開(kāi)研究。相對(duì)而言，尾流模型預(yù)測(cè)速度快、實(shí)施方便，具有一定精度，故工程領(lǐng)域廣泛采用尾流模型來(lái)預(yù)測(cè)風(fēng)力機(jī)尾流效應(yīng)及其影響下的風(fēng)電場(chǎng)出力。

Jensen模型是廣泛應(yīng)用的一維尾流模型［1-2］。該模型假設(shè)尾流半徑呈線(xiàn)性擴(kuò)展，尾流區(qū)的風(fēng)速分布呈頂帽狀，僅與下游位置有關(guān)。Frandsen模型認(rèn)為尾流呈非線(xiàn)性膨脹，尾流風(fēng)速也呈頂帽狀分布［3］。文獻(xiàn)［4］指出尾流速度在徑向呈高斯分布，與頂帽形狀假設(shè)差異較大。總體來(lái)看，一維模型因預(yù)測(cè)精度較差，已經(jīng)難以滿(mǎn)足目前的工程精度需求。近年來(lái)，許多學(xué)者提出二維尾流模型，其尾流速度大多服從高斯分布，如田琳琳等［5］、高曉霞等［6］、楊祥生等［7］及葛銘緯等［8］。隨著風(fēng)力機(jī)風(fēng)輪掃風(fēng)面積及輪轂高度不斷增加，風(fēng)剪切影響越來(lái)越大，二維尾流模型因未考慮風(fēng)速在高度上的梯度變化，預(yù)測(cè)誤差增大；此外，山地等復(fù)雜地形風(fēng)電場(chǎng)中風(fēng)力機(jī)輪轂高度差較大，二維模型因僅考慮平面問(wèn)題導(dǎo)致其預(yù)測(cè)誤差進(jìn)一步增大。

基于上述分析，發(fā)展能夠反映流向、橫向和垂向速度分布的三維尾流模型很有必要。三維尾流模型可以更精確地提供尾流效應(yīng)下三維空間的流場(chǎng)信息，大大提高了風(fēng)力機(jī)尾流的預(yù)測(cè)精度。Bastankhah等［9］基于動(dòng)量和質(zhì)量守恒定律提出一種三維高斯尾流模型，顯著提高了尾流預(yù)測(cè)的精度。文獻(xiàn)［10］基于流量守恒提出一種三維模型，該模型的精度通過(guò)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了檢驗(yàn)。文獻(xiàn)［11］提出采用多變量高斯分布的三維尾流模型和各維尾流膨脹率的表達(dá)式，并通過(guò)4個(gè)案例驗(yàn)證表明其精度更高。

以上三維高斯尾流模型盡管精度較高，但其膨脹率[k*]必須通過(guò)CFD確定，工程應(yīng)用的可行性受到極大的限制。為解決上述問(wèn)題，本文考慮風(fēng)剪切效應(yīng)，建立新的三維高斯尾流模型（3DG-k），并通過(guò)3個(gè)案例驗(yàn)證該模型的預(yù)測(cè)精度及普適性。3DG-k模型采用物理尾流邊界的擴(kuò)展系數(shù)[k]來(lái)描繪尾流的三維膨脹特性，[k]值由入流湍流強(qiáng)度（[I0]）和風(fēng)力機(jī)推力系數(shù)（[CT]）即可確定，同時(shí)用2倍的高斯特征參數(shù)（[2σ]）表征尾流邊界。新模型消除了以往三維高斯尾流模型中[k*]的難確定缺陷，更廣泛適用于工程實(shí)際應(yīng)用。

1 3DG-k模型建模方法

首先，假設(shè)均勻入流時(shí)3DG-k模型尾流速度分布滿(mǎn)足高斯函數(shù)，如圖1a所示。其表達(dá)式為：

[U0（x，y，z）=u0-A（x）2πσ2e-y22σ2+（z-z0）22σ2]"""" （1）

式中：[u0]——均勻入流風(fēng)速，[m/s]；[A（x）]——決定高斯形狀的參數(shù)；[σ]——高斯標(biāo)準(zhǔn)偏差；[z0]——輪轂高度，m。

根據(jù)動(dòng)量守恒定律，與Bastankhah模型［9］采用相同假設(shè)，忽略動(dòng)量方程中的壓力項(xiàng)和黏性項(xiàng)，則風(fēng)力機(jī)推力[T]為：

[T=ρU0（x，y，z）[u0-U0（x，y，z）]dA" =12CTρΑ0u20]" （2）

式中：[ρ]——空氣密度，[kg/m3]；[A0]——風(fēng)輪掃風(fēng)面積，[m2]。

將式（1）代入式（2）并積分得到式（3）。

[14πσ2A（x）2-u0A（x）+12CTA0u20=0]""""" （3）

求解式（3）得到：

[A（x）=2πσ2u0[1-1-CTr202σ2]]""""" （4）

式中：[r0]——風(fēng)輪半徑，[m]。

在文獻(xiàn)［9，11］的模型中，[σ]表示為：

[σD=k*xD+ε]""" （5）

式中：[D]——風(fēng)輪直徑，[m]；[k*]——膨脹率，[k*=?σ/?x]；[ε]——[x]接近0時(shí)[σ/D]的值。膨脹率[k*]必須通過(guò)CFD確定，這無(wú)疑增加了工程實(shí)踐中的應(yīng)用復(fù)雜度。葛銘緯等［8］在二維模型研究中指出，真實(shí)尾流邊界相比于標(biāo)準(zhǔn)高斯分布更窄。對(duì)文獻(xiàn)［8］中大渦模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合分析，結(jié)果表明在[x/Dgt;2]的遠(yuǎn)尾流區(qū)，[2σ=kx+r0]整體上能夠表征尾流膨脹規(guī)律。故本文設(shè)尾流半徑線(xiàn)性膨脹并等于[2σ]，如式（6）所示。

[rw=2σ=r0+kx]""" （6）

式中：[k]與Jensen模型中的[kwake]為同一量級(jí)，可用[kwake]值來(lái)指導(dǎo)[k]值。

然后，考慮實(shí)際中的風(fēng)剪切效應(yīng)，尾流速度在垂向分布上呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性。風(fēng)輪上方風(fēng)速增大，下方風(fēng)速減小，如圖1b所示。剪切入流風(fēng)速用指數(shù)率表示為：

[U0（z）=u0zz0α]""" （7）

式中：[α]——風(fēng)剪切指數(shù)。

較均勻入流，風(fēng)剪切產(chǎn)生的速度差可表示為：

[Δu=U0（z）-u0]"""" （8）

采用相應(yīng)的速度對(duì)面積進(jìn)行積分，計(jì)算三維模型中的質(zhì)量變化，考慮風(fēng)切變的尾流速度[U（x，y，z）]在尾跡半徑[rw]的圓形區(qū)域[Srw]的總質(zhì)量[M（x）]為：

[M（x）=SrwU（x，y，z）dA]" （9）

總質(zhì)量也可表示為均勻入流時(shí)尾跡半徑圓形區(qū)域內(nèi)的質(zhì)量與風(fēng)切變產(chǎn)生的質(zhì)量增量之和，即：

[M（x）=SrwU0（x，y，z）dA+Srw-Sr1ΔudA+Sr1Δu（1-2a）dA]"""""" （10）

式中：右側(cè)第1項(xiàng)——均勻入流時(shí)初始尾跡半徑圓形區(qū)域[Sr1]內(nèi)的質(zhì)量；右側(cè)第2、3項(xiàng)——風(fēng)切變產(chǎn)生的質(zhì)量增量；[r1]——初始尾跡半徑，如式（11）所示；[a]——軸向誘導(dǎo)因子，如式（12）所示。

[r1=r01-a1-2a]"""""" （11）

[a=1-1-CT2]"" （12）

聯(lián)立式（1）～式（11）可得3DG-k模型表達(dá)式為：

[U（x，y，z）=""""" U0（z）+u01-2CT1+kxr02-1e-21+kxr02y2+（z-z0）2r02-2aSr1ΔudAπr2w]""""""""""""""""" （13）

從上述推導(dǎo)可看出，3DG-k模型引入[k]，并與[σ]建立關(guān)系，即采用線(xiàn)性膨脹定律來(lái)描述[σ]的演變。[k]可根據(jù)[I0]和[CT]進(jìn)行取值，如較小[I0]和[CT]下[k]=0.06［8］。不同于以往三維高斯尾流模型需要通過(guò)CFD確定經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，[k]的引入大大提高了三維模型應(yīng)用的便利性。

2 模型驗(yàn)證

采用3個(gè)算例驗(yàn)證3DG-k模型的精度，包括GH風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、Nibe風(fēng)電場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和大渦模擬（large eddy simulation，LES）數(shù)據(jù)（表1）。并與Jensen模型［1］、三維高斯模型（3DG）［10］及三維橢圓高斯模型（3DEG）［11］這3種尾流模型進(jìn)行對(duì)比。

2.1 GH風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

Garrad Hassan公司［12］在MEL風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中開(kāi)展了系列實(shí)驗(yàn)來(lái)研究風(fēng)力機(jī)尾流特性。模型為1/160比例縮放的水平軸風(fēng)力機(jī)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量了3種不同葉尖速比（[λ]）下的尾流場(chǎng)。選取[λ=2.9]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證3DG-k模型精度，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

圖2給出了3個(gè)尾流模型及風(fēng)洞數(shù)據(jù)在下游不同位置的橫向速度分布。由圖2可發(fā)現(xiàn)，在下游[x/D=2.5]處，3DEG模型嚴(yán)重低估了輪轂高度處的速度。在下游更遠(yuǎn)處，3DEG模型對(duì)尾流中心線(xiàn)的速度有不同程度的低估。Jensen模型因頂帽形狀其假設(shè)誤差最大。3DG-k模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)較吻合，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)基本落在3DG-k模型曲線(xiàn)附近，精度更高。

不同下游位置處3DG-k模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如圖3所示?？煽闯?，最大誤差出現(xiàn)在[x/D=2.5]處，這是由于近尾流區(qū)湍流機(jī)制復(fù)雜，而經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛橐环N簡(jiǎn)單的工程模型難以對(duì)其做出精準(zhǔn)的描述。在下游[x/Dgt;2.5]的其他位置處，3DG-k模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，幾乎所有點(diǎn)的相對(duì)誤差在5%之內(nèi)。另外，2/3數(shù)據(jù)誤差在0%以上，在[x/D=7.5]時(shí)尤為明顯，僅兩點(diǎn)誤差在0%以下，說(shuō)明3DG-k模型在提高預(yù)測(cè)精度的同時(shí)，對(duì)尾流速度有輕微的高估。這是由實(shí)際中湍流強(qiáng)度在橫向上非恒定所引起，而湍流強(qiáng)度的變化規(guī)律十分復(fù)雜，目前已有經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ推毡椴捎煤愣ㄍ牧鲝?qiáng)度，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值略偏大。

wind tunnel experiment data in horizontal profile

2.2 Nibe風(fēng)電場(chǎng)實(shí)測(cè)驗(yàn)證

Taylor［13］對(duì)Nibe風(fēng)電場(chǎng)兩臺(tái)風(fēng)力機(jī)Nibe A和Nibe B進(jìn)行長(zhǎng)期測(cè)量，得到Nibe B下游4個(gè)位置的尾流情況。該風(fēng)電場(chǎng)地面粗糙度為0.07 m，選取下游[x/D=4.0、][7.5]的測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證3DG-k模型的精度，風(fēng)力機(jī)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4為下游2個(gè)位置處3個(gè)模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的垂直速度剖面對(duì)比圖。3DEG模型嚴(yán)重低估了輪轂高度附近的風(fēng)速，與實(shí)測(cè)結(jié)果相差較大。3DG模型與測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)吻合度較3DEG模型高，但其精度依賴(lài)于[σ]的調(diào)整。相比之下，3DG-k模型顯示出更高的預(yù)測(cè)精度。在[x/D=4.0、]7.5處，3DG-k模型預(yù)測(cè)的風(fēng)速分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好，僅在[x/D=7.5]葉尖位置處有些許偏差，這是由于風(fēng)電場(chǎng)中停機(jī)狀態(tài)的Nibe A風(fēng)力機(jī)作為障礙物加速了葉輪頂端上方氣流，導(dǎo)致Nibe B風(fēng)力機(jī)葉輪頂端以上實(shí)測(cè)值偏高?？傮w而言，3種模型預(yù)測(cè)顯示最大速度虧損均出現(xiàn)在輪轂高度附近，這與風(fēng)切變和高斯分布疊加相關(guān)。

圖5為3DG-k模型在每個(gè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)誤差。從圖5可看出，3DG-k模型能夠較好地預(yù)測(cè)[x/D=4.0、][7.5]處的垂直速度剖面。大部分?jǐn)?shù)據(jù)的相對(duì)誤差在2%以?xún)?nèi)。下游2個(gè)位置處的相對(duì)誤差呈上下波動(dòng)，其中[x/D=7.5]的波動(dòng)幅度更小，比[x/D=4.0]更穩(wěn)定。在風(fēng)輪底部與輪轂之間的相對(duì)誤差基本為正值，說(shuō)明此范圍內(nèi)尾流模型預(yù)測(cè)風(fēng)速略大于實(shí)測(cè)值。

2.3 Vestas V80-2 MW風(fēng)力機(jī)大渦模擬驗(yàn)證

文獻(xiàn)［14］以Vestas V80-2 MW風(fēng)力機(jī)為研究對(duì)象，采用LES方法研究大氣熱穩(wěn)定性對(duì)風(fēng)力機(jī)尾流的影響。選取中性大氣穩(wěn)定度的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，對(duì)應(yīng)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖6對(duì)比了3個(gè)模型與LES數(shù)據(jù)在下游[x/D=4.0、]8.0、12.0、16.0這4個(gè)位置的垂向速度分布。從圖6可明顯看出，3DG模型高估了輪轂附近的速度虧損；隨著向下游推進(jìn)，雖然這種高估量在逐漸減小，但在[x/D=16.0]時(shí)，仍與LES結(jié)果有不小的偏差。從圖6還可看出，3DG-k模型在[x/D=4.0]和8.0處要比3DEG模型更貼近LES數(shù)據(jù)，在輪轂高度附近的速度虧損更小。隨著下游距離的增加，3DG-k模型和3DEG模型之間的差異變小，在[x/D=12.0]時(shí)已基本重合。這說(shuō)明在近尾流區(qū)3DG-k模型較其他模型精度更高。

本文提取了3DG-k模型在具體數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)誤差。如圖7所示，所有位置處的相對(duì)誤差都經(jīng)歷了從負(fù)到正的趨勢(shì)，這是由于尾流模型通常采用輪轂高度處的恒定湍流強(qiáng)度代替實(shí)際隨高度變化的湍流強(qiáng)度。從圖7可發(fā)現(xiàn)，3DG-k模

型在[x/D=4.0]處相對(duì)誤差較大；在更遠(yuǎn)距離處，3DG-k模型預(yù)測(cè)誤差均較小，絕大部分位于（[-5%， 5%]），這說(shuō)明3DG-k模型整體具有較高精度。

為解釋[x/D=4.0]處誤差較大的現(xiàn)象，圖8提取了3個(gè)模型在[x/D=4.0]時(shí)的相對(duì)誤差。從圖8可發(fā)現(xiàn)，3個(gè)模型在[x/D=4.0]處的相對(duì)誤差都偏大，這是由于LES能夠較好地模擬近尾流區(qū)的尾流流場(chǎng)；尾流模型作為一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，無(wú)法準(zhǔn)確地描述近尾流區(qū)的湍流脈動(dòng)機(jī)制，所以在[x/D=4.0]處誤差普遍較大。盡管如此，整體上來(lái)看3DG-k模型較于其他2個(gè)模型在[x/D=4.0]處的精度更高。3個(gè)模型的相對(duì)誤差在輪轂上方均有較大波動(dòng)：3DG-k模型最大誤差達(dá)12%，稍高于3DEG模型，低于3DG模型。這種誤差大的普遍現(xiàn)象緣于2點(diǎn)因素：1） 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ屯ǔ：雎粤送牧鲝?qiáng)度在垂直方向上的變化，采用輪轂高度處恒定的湍流強(qiáng)度來(lái)表示實(shí)際隨高度增加而減小的湍流強(qiáng)度，這樣導(dǎo)致模型高估了輪轂上方的風(fēng)速；2） [x/D=4.0]處是靠近葉輪的近尾流區(qū)，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ碗y以對(duì)近尾流區(qū)復(fù)雜的湍流強(qiáng)度機(jī)制做出準(zhǔn)確描述，所以導(dǎo)致在[x/D=4.0]處誤差較大。2點(diǎn)因素共同作用加大了[x/D=4.0]輪轂高度以上處的誤差。

圖9為各下游處橫向的速度分布。Jensen模型作為經(jīng)典的頂帽分布，高估了尾流中心處的速度，低估了尾流中心線(xiàn)兩側(cè)的速度，總體誤差最大。在[x/D=4.0]近尾流區(qū)，3DG-k模型與3DEG模型都稍高估了尾流中心線(xiàn)兩側(cè)的速度，這種高估只發(fā)生在相對(duì)較近的下游距離，但總體吻合良好。在更遠(yuǎn)下游位置，上述現(xiàn)象逐漸消失。在[x/D=4.0、][8.0]處，3DG-k模型尾流中心線(xiàn)附近速度略大于3DEG，與LES結(jié)果吻合度更高；在更遠(yuǎn)下游處，2個(gè)模型的速度曲線(xiàn)基本重合。隨下游距離增加，3DG-k模型和LES結(jié)果的吻合度越來(lái)越高，[x/D=16.0]時(shí)已完全重合。

圖10為橫向3DG-k模型與LES結(jié)果的相對(duì)誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著下游位置增加，相對(duì)誤差越來(lái)越小，逐漸向0%靠近。整體上看，僅[x/D=4.0]處少數(shù)點(diǎn)的相對(duì)誤差超過(guò)了4%，其他下游位置處的相對(duì)誤差都在±4%以?xún)?nèi)，甚至小于2%，這說(shuō)明3DG-k模型具有較好的擬合效果和較高的預(yù)測(cè)精度。

LES in horizontal profile

3 結(jié) 論

本文基于質(zhì)量守恒定律，考慮風(fēng)剪切效應(yīng)及風(fēng)剪切帶來(lái)的質(zhì)量虧損，提出一種高斯形狀的新三維尾流模型，結(jié)論如下：

1） 3DG-k模型采用[rw=2σ]，并引入線(xiàn)性膨脹定律，通過(guò)物理尾流邊界的擴(kuò)展系數(shù)[k]來(lái)描述[σ]的演變，能更準(zhǔn)確反映和預(yù)測(cè)物理尾流半徑的變化。

2） 通過(guò)3種不同算例進(jìn)行驗(yàn)證，并與3個(gè)尾流模型進(jìn)行對(duì)比，3DG-k模型預(yù)測(cè)的垂向、橫向速度分布的最大、最小相對(duì)誤差均最小，具有較好的擬合效果和較高的預(yù)測(cè)精度。

3） 不同于以往三維高斯尾流模型，3DG-k模型無(wú)需通過(guò)CFD來(lái)確定經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，能夠更便利地應(yīng)用到工程實(shí)踐當(dāng)中，為大型風(fēng)電場(chǎng)尾流效應(yīng)的分析和布局優(yōu)化提供更為快捷、高效和精確的算法。

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RESEARCH AND VALIDATION OF 3D WAKE MODEL FOR

WIND TURBINE

Ling Ziyan，Zhao Zhenzhou，Liu Huiwen，Ma Yuanzhuo，Liu Yige，Wang Dingding

（College of Energy and Electrical Engineering， Hohai University， Nanjing 211100， China）

Abstract：A Gaussian shape three-dimensional wake model（3DG-k） is proposed considering the wind shear effect. The model defines the wake radius [rw] equal to twice the Gaussian characteristic parameter [σ] and establishes a link with the expansion coefficient [k] of the physical wake boundary to describe the evolution law of the wake boundary after the wind turbine. The 3DG-k model， Jensen model， three-dimensional Gaussian model （3DG） and three-dimensional elliptical Gaussian model （3DEG） are compared and analyzed by GH wind tunnel experiment data， actual measurement data from Nibe wind farm and large eddy simulation data from Vestas V80-2 MW wind turbine. The results show that the 3DG-k model shows the best prediction accuracy in all three cases and is more suitable for practical engineering applications.

Keywords：wind turbine； three-dimensional wake model； wind shear effect； wake effect