收稿日期：2021-06-01

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51976131；52006148）；上海市“科技創(chuàng)新行動計劃”地方院校能力建設(shè)項目（19060502200）

通信作者：李 春（1963—），男，博士、教授、博士生導(dǎo)師，主要從事動力機械及流體機械優(yōu)化設(shè)計、風(fēng)能利用等方面的研究。

lichunusst@163.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2021-0610 文章編號：0254-0096（2023）04-0009-08

摘 要：為提升垂直軸風(fēng)力機翼型綜合氣動性能，建立針對多運行工況的翼型優(yōu)化設(shè)計方法。采用CST參數(shù)化方法表征翼型幾何外形，通過優(yōu)化的拉丁超立方抽樣方法進行空間采樣，利用CFD方法計算翼型氣動力，并建立徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型，以翼型小攻角下升力和失速攻角下升阻比最優(yōu)為設(shè)計目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法在代理模型上進行尋優(yōu)，獲得適用于垂直軸風(fēng)力機的專用翼型以提高其在不同尖速比下的旋轉(zhuǎn)力矩。對風(fēng)力機常用翼型NACA0018進行優(yōu)化，結(jié)果表明：以翼型失速攻角和最大升阻比攻角為優(yōu)化目標(biāo)，不僅提高了單翼型的升力系數(shù)與升阻比，而且將優(yōu)化翼型應(yīng)用于垂直軸風(fēng)力機時還可提升使整機力矩系數(shù)。

關(guān)鍵詞：垂直軸風(fēng)力機；CST參數(shù)化；代理模型；優(yōu)化設(shè)計

中圖分類號：TK83 """"""""""""""""""" ""nbsp;""" 文獻標(biāo)志碼：A

0 引 言

風(fēng)能是可再生能源的重要組成部分，其開發(fā)利用對緩解能源短缺與減少環(huán)境污染具有重要意義［1］。水平軸和垂直軸風(fēng)力機是目前的主流風(fēng)能轉(zhuǎn)換設(shè)備，通過風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)將風(fēng)能轉(zhuǎn)換為機械能，風(fēng)能轉(zhuǎn)換效率與風(fēng)輪葉片截面翼型的氣動性能密切相關(guān)，直接影響風(fēng)力機功率輸出，故針對翼型氣動外形設(shè)計及優(yōu)化尤為重要［2-3］。

20世紀(jì)80年代以來，國內(nèi)外學(xué)者針對風(fēng)力機專用翼型開展了大量研究，如荷蘭Deft大學(xué)的DU風(fēng)力機翼型系列［4］，丹麥國家實驗室的Ris?翼型族系列［5］，美國可再生能源實驗室的NREL-S翼型族系列［6］與瑞典航空研究院的FFA-W-XXX翼型族系列［7］等。國內(nèi)也相繼開發(fā)出如西北工業(yè)大學(xué)NPU-WA風(fēng)力機翼型族系列［8］與中國科學(xué)院工程熱物理研究所的CAS-WX-XXX風(fēng)力機翼型族系列［9］等。

翼型優(yōu)化設(shè)計分為兩類，基于壓力分布的反設(shè)計方法和直接氣動優(yōu)化設(shè)計方法，壓力反設(shè)計方法基于翼型壓力分布與氣動性能的關(guān)系，通過改變翼型局部壓力分布獲得具有良好氣動性能的葉片，如劉俊等［10］開發(fā)的以壓力分布為優(yōu)化目標(biāo)的翼型反設(shè)計方法。但獲取適用于不同工況的壓力分布依賴于設(shè)計人員的經(jīng)驗，實際應(yīng)用中需多次修改壓力分布，且風(fēng)力機翼型設(shè)計需要考慮多工況多攻角，導(dǎo)致該方法在風(fēng)力機翼型優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用受限。

直接氣動優(yōu)化設(shè)計方法通過將葉片優(yōu)化方向處理為數(shù)學(xué)語言，結(jié)合最優(yōu)化理論求解該問題。此方法涉及翼型參數(shù)化、流場計算、算法尋優(yōu)與目標(biāo)函數(shù)評價［11］。在翼型優(yōu)化過程中，基于不可壓縮勢流方程的XFOIL軟件與在失速區(qū)有較好穩(wěn)定性的RFOIL軟件因其單次計算時間較短而被廣泛使用，如陳亞瓊等［12］基于XFOIL軟件計算翼型氣動力，對多目標(biāo)函數(shù)分配權(quán)重進行優(yōu)化；陳進等［13］基于RFOIL軟件求解氣動參數(shù)對翼型進行優(yōu)化設(shè)計。

現(xiàn)階段，隨著計算機性能的提高，高精度CFD軟件逐漸應(yīng)用于翼型優(yōu)化領(lǐng)域，如徐浩然等［14］在ISIGHT平臺集成翼型生成、網(wǎng)格劃分、Fluent流場計算與算法優(yōu)化模塊對翼型進行優(yōu)化。但上述優(yōu)化方式都存在計算量過大的問題，通常需要成百上千次的CFD流場計算。為此，研究人員將基于機器學(xué)習(xí)構(gòu)建的代理模型應(yīng)用于優(yōu)化流程，通過學(xué)習(xí)大量的數(shù)據(jù)，訓(xùn)練并擬合出翼型幾何參數(shù)與氣動參數(shù)之間的映射關(guān)系，具有較高的可信度。在代理模型上尋找最優(yōu)解可大幅減少計算時間，如琚亞平等［15］采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法相結(jié)合的方法求解優(yōu)化問題；楊碩等［16］建立徑向基函數(shù)模型代替復(fù)雜且耗時的CFD氣動分析模型以提高其優(yōu)化效率；黃意堅等［17］采用二次響應(yīng)面、Kriging模型與徑向基函數(shù)構(gòu)建代理模型對平底后緣翼型進行優(yōu)化設(shè)計。

盡管目前已有不少風(fēng)力機翼型優(yōu)化的相關(guān)研究，但多數(shù)為水平軸風(fēng)力機，較少有針對垂直軸風(fēng)力機葉片專用翼型的設(shè)計。隨著近年來垂直軸風(fēng)力機的快速發(fā)展，有必要開發(fā)出適合垂直軸風(fēng)力機工作特點的專用翼型以提高其氣動效率。由于垂直軸風(fēng)力機在運行過程中無固定攻角，需要對多工況點進行優(yōu)化，且在優(yōu)化過程中既要保證小攻角時的升阻比，同時也要保證攻角較大時阻力不急劇增長［18］。為此，本文采用多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法對垂直軸風(fēng)力機葉片進行優(yōu)化設(shè)計，并通過建立徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型提高優(yōu)化效率。針對垂直軸風(fēng)力機運行時的攻角特點對翼型進行優(yōu)化，以翼型升阻比最大時的攻角與升力最大時的攻角為優(yōu)化目標(biāo)對翼型進行優(yōu)化，確保翼型在失速區(qū)仍有良好的做功能力，從而為垂直軸風(fēng)力機專用翼型優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 翼型參數(shù)化建模

類函數(shù)/形狀函數(shù)轉(zhuǎn)換（Class function/Shape function Transformation，CST）參數(shù)化方法［19］由Kulfan和Bussoletti提出，其原理是先由類函數(shù)（Class function）確定翼型類別，如亞音速翼型為前圓后尖翼型，而超音速為前尖后尖翼型；再由形函數(shù)（Shape function）系數(shù)確定唯一翼型形狀，對其定量的描述。參數(shù)化公式為：

[y=Cx?Sx+x?Δyte]" （1）

式中：[x]、[y]——翼型表面坐標(biāo)點；[Cx]、[Sx]——類函數(shù)與形函數(shù)；[Δyte]——后緣相對厚度，具體形式展開為：

[yu=CN1N2xSux+xyteuyl=CN1N2xSlx+xytel]"" （2）

式中：下標(biāo)[u]，[l]分別代表翼型上下表面，類函數(shù)定義為：

[CN1N2x=xN11-xN2]"" （3）

式中：[N1]、[N2]——幾何外形的類別，上下表面形函數(shù)定義為：

[Sux=0nuAuiBinuxSlx=0nlAliBinlx]""" （4）

式中：[i]——多項式指數(shù)；[nu]和[nl]——多項式階數(shù)，[Au]和[Al]——上下表面形函數(shù)系數(shù)，其組成幾何外形的參數(shù)向量；[Bin]——Bernstein多項式，具體定義為：

[Bin=Kinxi1-xn-iKin=n！i！n-i！]"""" （5）

式中：[Kin]——組合數(shù)。

選用5階Bernstein多項式對翼型上下表面分別進行參數(shù)化表達(dá)，共有12個設(shè)計變量，通過改變形函數(shù)系數(shù)即可對翼型曲線進行控制，利用最小二乘法擬合曲線使得擬合誤差平方和達(dá)到最小。

本文選用垂直軸風(fēng)力機使用較多的NACA0018對稱翼型，上下表面各取100個坐標(biāo)點擬合翼型，擬合之后的翼型曲線如圖1。其中，[c]為翼型弦長。壓力系數(shù)對比如圖2所示，其中[Cp]為壓力系數(shù)。由圖2可知，經(jīng)CST參數(shù)化方法擬合的翼型壓力分布與基準(zhǔn)翼型基本吻合，說明采用5階CST參數(shù)化方法擬合翼型已滿足本文對翼型幾何形狀的表征。

airfoil and baseline airfoil

2 徑向基函數(shù)模型的建立

2.1 實驗設(shè)計方法

常用的實驗設(shè)計方法包括全因子設(shè)計、正交數(shù)組、均勻設(shè)計與拉丁超立方等［20］。優(yōu)化的拉丁超立方實驗設(shè)計在拉丁方的基礎(chǔ)上進行改進。拉丁方采樣原理是假設(shè)在一個[n]維空間內(nèi)，每一維空間被均勻分成[m×m]個子區(qū)間，隨機選取[m]個點，保證每個因子在每個水平只被研究一次［21］。以二維空間為例，拉丁方如圖3a所示，在橫向與縱向只取一個區(qū)間進行采樣研究，優(yōu)化的拉丁方通過繼續(xù)優(yōu)化采樣點的空間分布，保證設(shè)計點在空間內(nèi)盡可能均勻分布，避免采樣點的聚集，如圖3b所示。

optimized Latin hypercube sampling

2.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有單隱層的前向網(wǎng)絡(luò)，具備學(xué)習(xí)收斂速度快、局部逼近能力強以及克服局部最小值問題等特點，常用來逼近非線性函數(shù)，在眾多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用［22］。

RBF網(wǎng)絡(luò)由3層構(gòu)成，第1層是輸入層，第2層是隱含層，第3層是輸出層。圖4為RBF網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)表達(dá)［23］。

隱含層節(jié)點的激活函數(shù)為徑向基函數(shù)，最常用的是高斯核函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)為：

[φx-ci=exp-x-ci22σ2] （6）

式中：[ci]——核函數(shù)中心；[σ]——函數(shù)的寬度參數(shù)。高斯函數(shù)定義為空間內(nèi)任一點[x]到某一中心[ci]之間歐氏距離的單調(diào)函數(shù)。高斯函數(shù)對輸入層的輸入矢量進行變換，將低維模式的輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到高維空間內(nèi)，使得在低維空間內(nèi)線性不可分問題在高維線性可分。

設(shè)訓(xùn)練集樣本[X=X1，…，Xk，…，XN]，其中任一訓(xùn)練樣本[Xk=xk1，…，xkm，…，xkM]，對應(yīng)實際輸出向量為[Yk=yk1，…，ykj，…，ykJ]，其中[k=1，2，…，N]。當(dāng)RBF網(wǎng)絡(luò)輸入樣本為[Xk]時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第[j]個輸出神經(jīng)元的實際輸出為：

[ykjXk=i=1Nwijφixki-ci]""" （7）

式中：[ykjXk]——隱含層各RBF的加權(quán)和；[wij]——權(quán)重系數(shù)，表示為隱含層第[i]個節(jié)點與輸出層第[j]個輸出的權(quán)重。由于輸出值為各RBF線性加權(quán)平均，因此，權(quán)重系數(shù)[wij]可用最小二乘法解線性方程組得到。

3 多目標(biāo)遺傳算法

遺傳算法的本質(zhì)是通過模擬生物在自然條件下的遺傳、進化與變異過程的全局優(yōu)化類概率搜索算法［24］。首先將初始尋優(yōu)個體編碼，給定初始種群數(shù)量與適應(yīng)度函數(shù)；然后模擬自然界個體進化過程中的選擇、交叉與變異過程，淘汰適應(yīng)度較差的個體，留下適應(yīng)度強的個體；最后在若干代進化之后，得到最優(yōu)個體。求解多目標(biāo)問題是在滿足給定約束條件與多個目標(biāo)函數(shù)條件時尋找一組最優(yōu)解［25］，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

[minFx=f1x， f2x，…， fmxs.t.gix≤0， i=1，2，…，khix≤0， i=1，2，…，pai≤xi≤bi， i=1，2，…，n]"""""" （8）

式中：[fmx]——目標(biāo)函數(shù)；[m]——目標(biāo)函數(shù)數(shù)量，[gix]——不等式約束；[k]——不等式約束數(shù)量；[hix]——等式約束；[p]——等式約束數(shù)量；[xi]——設(shè)計變量；[ai]、[bi]——第[i]個設(shè)計變量的上限與下限。

4 翼型優(yōu)化設(shè)計流程

圖5為翼型優(yōu)化設(shè)計流程圖。優(yōu)化設(shè)計流程從翼型參數(shù)化、實驗設(shè)計、網(wǎng)格劃分、氣動力求解與多目標(biāo)尋優(yōu)均已在Matlab軟件中通過腳本文件實現(xiàn)自動化過程。

Fig.5 Airfoil optimization design flow

1）首先通過CST參數(shù)化方法獲得幾何設(shè)計參數(shù)[Au]與[Al]，確定翼型幾何形狀的優(yōu)化空間，設(shè)計空間變化范圍定義為[Au]與[Al]各變化20%，圖6為翼型設(shè)計空間。

2）利用優(yōu)化的拉丁超立方法在設(shè)計范圍內(nèi)均勻采樣，因設(shè)計空間較大，為保證后續(xù)代理模型精度，設(shè)置初始空間采樣點數(shù)為100。

3）在獲取采樣點處響應(yīng)值后，構(gòu)造RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并通過采樣點數(shù)據(jù)計算值訓(xùn)練模型，若不滿足精度則增加空間采樣點數(shù)。

4）確定目標(biāo)函數(shù)與約束條件，利用多目標(biāo)遺傳算法在該近似模型上尋找最優(yōu)值，得到Pareto前沿，若優(yōu)化翼型效果不理想，則重新獲取樣本點繼續(xù)優(yōu)化，直至滿足收斂精度。

5 算例分析

5.1 網(wǎng)格生成與流場設(shè)置

本文選取NACA0018作為基準(zhǔn)翼型，其計算域網(wǎng)格及前緣網(wǎng)格細(xì)節(jié)如圖7所示。計算域尺寸為[25c×40c]（[c]為翼型弦長），邊界條件為速度入口與壓力出口，翼型表面設(shè)置為無滑移壁面。邊界層第一層網(wǎng)格高度為0.01 mm以確保Y+值接近1。在驗證網(wǎng)格無關(guān)性之后確定網(wǎng)格數(shù)量約為68700，翼型周圍網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為400，翼型前緣與尾緣節(jié)點數(shù)較多。

因優(yōu)化攻角較大，選擇瞬態(tài)求解器計算翼型氣動力，[SST k-ω]湍流模型對自由剪切湍流、附著邊界層流和適度分離流有較好的計算精度［26］。流動雷諾數(shù)為25萬，入流速度較小故可視為不可壓縮流動，通過Fluent軟件求解二維不可壓縮URANS方程，選擇SIMPLEC算法解耦壓力和速度方程。圖8為計算結(jié)果與文獻［27］的實驗值對比，可知計算數(shù)據(jù)吻合良好，表明所選用的湍流模型與計算方法適用于低雷諾數(shù)流動模擬，計算結(jié)果可靠。

5.2 結(jié)果分析

綜合考慮翼型氣動性能，升阻比最大時的攻角與失速攻角是最佳的優(yōu)化目標(biāo)，故選擇來流攻角[α]為9°時的升力與失速攻角[α]為16°時翼型的升阻比作為優(yōu)化目標(biāo)，同時為保證翼型的結(jié)構(gòu)強度，對厚度進行約束。數(shù)學(xué)模型為：

[maxClα=9°maxClCdα=16°s.t.Clα=9°gt;C01α=9°Clα=16°gt;C01α=16°Cdα=16°≤C0dα=16°0.9t00.35≤t0.35≤1.1t00.35]"" （9）

式中：[Cl]與[Cd]——優(yōu)化翼型的升力系數(shù)與阻力系數(shù)；[C0l]與[C0d]——基準(zhǔn)翼型的升力與阻力系數(shù)；[t0.35]與[t00.35]——優(yōu)化翼型與基準(zhǔn)翼型在[0.35c]處的厚度。

采用多目標(biāo)遺傳算法尋優(yōu)，初始種群為200，精英種群比例為0.3，進化100代，得到Pareto前沿如圖9所示。

Pareto前沿為一系列符合多目標(biāo)優(yōu)化范圍的折中解，決策者可根據(jù)具體需求和側(cè)重點選擇最優(yōu)目標(biāo)。從Pareto前沿不同位置取3個優(yōu)化翼型如圖9所示，分別命名為[opt-1]、[opt-2]與[opt-3]，其中[opt-1]表現(xiàn)為在大攻角時氣動性能最好，[opt-3]表現(xiàn)為在攻角較小時氣動性能最好，[opt-2]均具有較好的氣動性能，3種優(yōu)化翼型的幾何外形如圖10所示。

由圖10可知，與基準(zhǔn)翼型相比，[opt-3]翼型吸力面前緣厚度增加，[opt-1]翼型吸力面前緣厚度減小，[opt-2]吸力面前緣厚度無太大變化，表明隨著吸力面前緣厚度的減小，在大攻角處氣動性能越好，3種優(yōu)化翼型壓力面輪廓厚度均減小。

文中選取的垂直軸風(fēng)力機運行雷諾數(shù)與優(yōu)化翼型相似，其最優(yōu)尖速比為2，此時一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)多數(shù)相位角攻角較大，故選擇在攻角較大時氣動性能較好的[opt-1]作為垂直軸專用翼型進行分析，其與基準(zhǔn)翼型的升力系數(shù)與升阻比對比如圖11所示。氣動力變化如表1所示。

由圖11可知，與基準(zhǔn)翼型相比，優(yōu)化翼型[opt-1]在不同攻角下升力均有提升，尤其在大攻角時提升幅度較大，但就升阻比而言，在攻角10°左右提升最顯著，是因為此時阻力較小，升力系數(shù)的微小改變便可提高升阻力，攻角較大時升力雖顯著增大，但由于阻力也增加，導(dǎo)致升阻比變化并不明顯。由表1可知，翼型厚度變化幅度較小，而且翼型最大厚度位置由[0.45c]變化到[0.4c]處，結(jié)構(gòu)強度不會發(fā)生較大變化。

對比文獻［27］中垂直軸風(fēng)力機結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，具體如表2所示，計算優(yōu)化翼型[opt-1]作用于垂直軸風(fēng)力機的適用性。

對垂直軸風(fēng)力機計算流域進行網(wǎng)格與時間無關(guān)性驗證，最后確定網(wǎng)格數(shù)量約為52萬，圖12為垂直軸風(fēng)力機流域網(wǎng)格。以每旋轉(zhuǎn)0.5°對應(yīng)的時間為時間步長。

來流風(fēng)速為8 m/s，通過改變?nèi)~片旋轉(zhuǎn)速度來控制葉尖速比（tip speed ratio， [TSR]）變化，模擬[TSR]變化范圍為1～4，取值間隔為0.5。力矩系數(shù)（coefficient of torque， [CT]）是衡量垂直軸風(fēng)力機做功能力的重要指標(biāo)，對比基準(zhǔn)翼型與[opt-1]翼型作用于垂直軸風(fēng)力機的力矩系數(shù)變化如圖13所示。由圖13可知，相較于基準(zhǔn)翼型NACA0018，使用優(yōu)化翼型[opt-1]提升了整機力矩系數(shù)，說明此優(yōu)化方法對提升垂直軸風(fēng)力機性能有效。在[TSR]為2時提升幅值最大，約15.7%。

為了解在不同相位角下的提升效果，對比[TSR]為2時單翼型在一個穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的力矩系數(shù)變化如圖14所示。由圖14可知，優(yōu)化翼型的力矩系數(shù)在相位角60°之前基本無明顯變化，優(yōu)化翼型在60°～180°與240°～330°之間力矩系數(shù)優(yōu)于原始翼型，而在180°～240°之間作用效果并不理想，但整體提升了力矩系數(shù)。

6 結(jié) 論

本文提出一種垂直軸風(fēng)力機專用翼型的開發(fā)思路，通過翼型參數(shù)化建模、代理模型近似氣動力求解與多目標(biāo)遺傳算法尋優(yōu)。以NACA0018翼型為例，驗證了此方法的可行性，為垂直軸風(fēng)力機翼型設(shè)計提供參考。

1）翼型吸力面前緣厚度對氣動力有較大影響，前緣較厚的翼型在攻角較小時氣動性能較好；隨攻角不斷增大，若要增加氣動力則要減小翼型前緣厚度。

2）Pareto前沿可提供一組適用于不同工況的優(yōu)化翼型，垂直軸風(fēng)力機尖速比較低時攻角較大，選擇在大攻角時性能優(yōu)異的翼型用于垂直軸風(fēng)力機可提高其在不同尖速比時力矩系數(shù)。

3）通過垂直軸風(fēng)力機數(shù)值模擬可知，優(yōu)化后翼型在上風(fēng)向區(qū)域顯著提升風(fēng)輪力矩，在下風(fēng)向一段區(qū)域內(nèi)力矩有所下降，但總力矩有所提升，證明了該優(yōu)化翼型在垂直風(fēng)力機上的有效性。

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OPTIMAL DESIGN OF VERTICAL AXIS WIND TURBINE SPECIAL

AIRFOIL BASED ON MULTI-OBJECTIVE GENETIC ALGORITHM

Zhang Qiang1，Miao Weipao1，Liu Qingsong1，Chang Linsen1，Li Chun1.2， Zhang Wanfu1.2

（1. School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2. Shanghai Key Laboratory of Multiphase Flow and Heat Transfer in Power Engineering， Shanghai 200093， China）

Abstract：In order to improve the comprehensive aerodynamic performance of vertical axis wind airfoil， an airfoil optimization design method for multiple operating conditions was established. The CST parameterization method is used to characterize airfoil geometry shape. Through optimizing the Latin hypercube sampling method for space sampling， CFD method is used to calculate airfoil aerodynamic force， and establish the radial basis function （RBF） neural network surrogate model. Taking the optimal of airfoil lift under the small angle of attack and lift-to-drag ratio under small angle of attack as the optimal design target， adopts the multi-objective genetic algorithm optimization on the surrogate model， so as to obtain suitable dedicated airfoil for vertical axis wind turbines to improve its rotation torque under different tip speed ratios. Through optimization of the common airfoil NACA0018 for wind turbine， the results show that the lift coefficient and lift to drag ratio of a single airfoil are not only improved by taking the small angle of attack and the maximum angle of attack of lift to drag ratio as the optimization objectives， but also the torque coefficient of the whole airfoil can be improved when the optimized airfoil is applied to the vertical axis wind turbine.

Keywords：vertical axis wind turbines； CST parameterization； surrogate model； optimization design