收稿日期：2022-03-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51875100）；江蘇省重點研發(fā)計劃（BE2020034）；江蘇省碳達峰碳中和科技創(chuàng)新專項資金（BA2022214）

通信作者：鄧艾東（1968—）男，博士、教授，主要從事故障診斷與測控系統(tǒng)方面的研究。dnh@seu.edu.cn

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2022-0253 文章編號：0254-0096（2023）06-0477-07

摘 要：針對傳統(tǒng)的硬閾值奇異值分解降噪法（HSVD）閾值選取主觀性較強、自適應(yīng)性較弱、易丟失信號特征的問題，首先提出一種自適應(yīng)的硬閾值選取算法；其次，利用一種非等量最優(yōu)權(quán)值收縮的軟閾值奇異值分解降噪（SSVD）方法，并結(jié)合HSVD，形成一種混合閾值的奇異值分解（SHSVD）降噪方法；最后再結(jié)合所提出的一種幅值抑制（AS）算法用于突出信號的故障沖擊特征SHSVD-AS。利用該方法對風(fēng)電傳動系統(tǒng)齒輪箱故障信號進行分析，仿真、實測信號的結(jié)果均表明，在強噪聲環(huán)境下，相較于傳統(tǒng)的HSVD、VMD-HSVD方法，SHSVD-AS在風(fēng)電齒輪故障診斷上性能較好。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電機組；故障診斷；奇異值分解；齒輪箱；硬閾值；軟閾值；幅值抑制

中圖分類號：TH165+.3"""""""""""""""""" """""文獻標(biāo)志碼：A

0 引 言

風(fēng)電機組常年工作于惡劣環(huán)境中，導(dǎo)致其傳動部件的故障發(fā)生率較高［1］。由于設(shè)備大多在高空工作，一旦發(fā)生故障可能會導(dǎo)致嚴重的生產(chǎn)事故，因此需及時有效地進行傳動部件的診斷檢測。齒輪作為風(fēng)電傳動系統(tǒng)中的主要部件，故障發(fā)生率較高，此外風(fēng)電機組運行環(huán)境嘈雜，其齒輪轉(zhuǎn)速普遍較低，導(dǎo)致齒輪箱內(nèi)部故障激勵的振動信號傳遞到箱體表明時衰減較大，周期性、沖擊性特點的故障信號難以從時、頻域中發(fā)現(xiàn)［2］，限制了診斷的準(zhǔn)確性。

奇異值分解（singular value decomposition，SVD）在信號處理、統(tǒng)計分析等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［3］。在信號處理方面，其主要是用來分離純凈信號分量與噪聲分量，從而達到降噪的目的。該算法簡便、穩(wěn)定，相較于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）［4］、小波分解（wave decomposition，WD）［5］等方法，其不受信號頻率的影響，并且具有較快的實現(xiàn)速度與較好的降噪效果。蔣麗英等［6］利用傳統(tǒng)的SVD降噪法，實現(xiàn)了在較強噪聲下的故障齒輪特征提取。趙凱凱等［7］利用頻域SVD實現(xiàn)了LPI雷達信號的降噪處理與特征識別。李宏等［8］利用頻域SVD方法，實現(xiàn)了油氣管道信號的降噪與泄露診斷。趙學(xué)智等［9］在對Hankel矩陣結(jié)構(gòu)不斷改變的情況下，利用SVD實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子振動信號不同頻率分量的有效分離。上述奇異值分解降噪方法都取得了一定的效果，但由于閾值選取皆有一定的主觀性，對信號種類適應(yīng)性較差，同時此類方法都是對閾值之后的奇異值置零從而達到降噪的效果，容易丟失信號的部分信息，導(dǎo)致降噪效果不理想。

針對上述問題，本文提出一種SHSVD-AS方法。首先，利用一種新的硬閾值選取算法獲得閾值，將閾值之前的奇異值序列進行保留，同時對閾值之后的奇異值序列進行一種最優(yōu)軟閾值收縮處理，利用該混合閾值法，確保信號矩陣低秩的同時，也保證信號所含特征信息的完整；然后，利用本文所提的一種幅值抑制（amplitude suppression， AS）的降噪算法突出齒輪信號的故障沖擊特征；最后，對信號進行包絡(luò)分析。仿真、實測信號表明，該方法具有較好的降噪效果，對風(fēng)電齒輪箱具有較好的故障診斷性能。

1 HSVD

1.1 基本原理

在振動信號的奇異值分解降噪過程中，需根據(jù)時域序列構(gòu)造一個Hankel矩陣[A]［10］：

[A=X+cN]""" （1）

式中：[X]——純凈信號矩陣；[N]——噪聲矩陣，通常為高斯白噪聲，[cN～N0，c2]。

由于噪聲的存在，矩陣[A]為滿秩矩陣，[X]則由周期性分量組成［11］，因此[X]的秩小于[A]的秩，矩陣降噪的實質(zhì)便是求得一個低秩矩陣[X]，同時兼顧[X]與[A]的相似度，問題描述如式（2）所示。

[X=argminA-X2Fs.tr（X）=K]""" （2）

式中：[?2F]——Frobenius范數(shù)。

由Eckart Young Mirsky定理［12］：對于任意的實矩陣[A]，如果存在一個矩陣[X]，且兩矩陣的秩滿足[rankX=Klt;rankA]，則有：

[A-X2F≥i=K+1rankAσ2i] （3）

式中：[σi]——[A]的奇異值。該不等式取等號的條件為：[X=XK=PΛKQT，][P、][QT]為奇異值分解后的正交矩陣；[ΛK=diagσ1，σ2，σ3…σK，0，0…0]。因此，式（2）存在一個最優(yōu)解：[X=PΛKQT，]尋找合適的[K]，便是HSVD降噪中的關(guān)鍵問題。

1.2 硬閾值選取算法

在一般信號中，奇異值序列的前[K]個較大值可視作與純凈信號分量對應(yīng)，之后較小值視作與噪聲分量對應(yīng)［13］。硬閾值[K]的選取往往以上述假設(shè)為準(zhǔn)則，以往的閾值選取方法主要是基于信號特征保留一定比例的奇異值，或是將奇異值均值、中值作為閾值，或是進行人為的閾值選取。這些方法的自適應(yīng)性較弱，不能達到滿意的降噪效果。

奇異值前端相鄰值的大小差異有時會很小，但總體分布較為陡峭，后端值的大小差異普遍很小，總體分布較為平緩。研究表明［14］，在奇異值分布的陡峭與平緩交界處進行閾值選取降噪效果最佳。針對上述奇異值分布特點，本文提出一種新的自適應(yīng)硬閾值選取算法：以一個不斷衰減的篩選值[Yi]為標(biāo)準(zhǔn)：[Yi=Yi-1-iλ]，[i]為衰減次數(shù)，[λ]為衰減步長。對于每一次的參考值[Yi]，統(tǒng)計該次新增大于[Yi]的奇異值數(shù)量[Ci]，若在第[n]次[Ci]的值大于設(shè)定值[U]（通常取5），則將[n-1]次到第1次所有統(tǒng)計在內(nèi)的[Ci（i=1，2，…，n-1）]相加，相加后的值為硬閾值[K]。具體算法流程如圖1所示。

2 SSVD

軟閾值奇異值分解對矩陣所有奇異值進行收縮。對于觀測矩陣[A]，其所含純凈信號矩陣為[X]，[A]的低秩化問題如式（4）所示。式（5）為該問題的解，該算法通過對所有奇異值進行等量收縮，將矩陣低秩。然而，這種基于觀測矩陣[A]進行奇異值等量收縮的算法并不是最優(yōu)的。

[X∧=argmin12A-X2F+τX?]""" （4）

[X∧=PAgτ（∑）QTA]" （5）

式中：[12A-X2F]——保真函數(shù)；[X?]——核范數(shù)；[gτ（σi）]——軟閾值函數(shù)，[gτ（σi）=max（σi-τ，0）]。

Shabalin等［15］的研究表明，在矩陣的低秩化過程中，不同奇異值對應(yīng)的最優(yōu)收縮量是不同的，該研究基于式（6）漸進模型，通過分析噪聲對信號矩陣的奇異值分解的影響，利用隨機矩陣理論，提出一種最優(yōu)奇異值收縮器。

[A=X+（1m）N] （6）

式中：[A]——觀測矩陣；[X]——純凈信號矩陣；[N]——噪聲矩陣。

在該模型中，假設(shè)矩陣的行數(shù)[m]與列數(shù)[n]增大到無窮時，存在[mn→D]。[X]和其估計[X]的奇異值分解形式為：

[X=PXΛXQTX=i=1rankXσx，ipx，iqTx，i] （7）

[X∧=PAΛAQTA=i=1rankAh（σA，i）pA，iqTA，i]""" （8）

式中：[px，i]、[qTx，i]和[pA，i]、[qTA，i]——矩陣[PX]、[QX]和[PA]、[QA]中的列向量；[h]——最優(yōu)收縮函數(shù)。

最優(yōu)收縮函數(shù)h的解如式（9）所示，根據(jù)隨機矩陣理論［16］以及奇異值、低秩矩陣[X]、觀測矩陣[A]之間的漸近關(guān)系，式（9）中[σX，i]、[px，i，pA，i]、[qx，i，qA，i]的估計可由式（10）給出。

[h?σA，i=σX，ipX，i，pA，iqX，i，qA，i，" σA，igt;1+D0，" σA，i≤1+D] （9）

[σ2X，i=12σ2A，i-1-D2+σ2A，i-1-D-4DpX，i，pA，i2=1-Dσ4X，i1+Dσ2X，iqX，i，qA，i2=1-Dσ4X，i1+1σ2X，i]" （10）

結(jié)合式（9）、式（10），最優(yōu)奇異值收縮器如式（11）所示。

[h?σA，i=（σ2A，i-1-D）2-4DσA，i，σA，igt;1+D0，" σA，i≤1+D] （11）

該算法是基于模型[A=X+1mN]，對于一般情況：[A=X+cN]（[c]為常數(shù)且cgt;0），需先對矩陣[Amc]進行處理，得到低秩矩陣[X]后，再還原成[mcX]。噪聲強度[c]需要估計，對于高斯噪聲，由于[cN～N（0，c2）]，可直接將原信號的標(biāo)準(zhǔn)差近似估計為噪聲強度[c]。

3 SHSVD-AS

3.1 混合閾值奇異值分解降噪

本文將軟、硬閾值混合，對硬閾值[K]前端奇異值保留，對之后的奇異值進行上述軟閾值法收縮，在獲得較好低秩化性能的同時兼顧HSVD良好的主成分保真性，克服了以往奇異值分解降噪存在的信息丟失、失真的問題?；旌祥撝邓惴ǎ⊿HSVD）的奇異值收縮函數(shù)如式（12）所示，最終的低秩化矩陣如式（13）所示，再將該矩陣展開，得到降噪后的時域信號。

[H?（σA，i）=σA，i，σA，i≥σK（σ2A，i-1-D）2-4DσA，i，1+D≤σA，i≤σK0，σA，i≤1+D]"" （12）

[mcX=i=1rankAmcH?（σAmc，i）pAmc，iqTAmc，i]""" （13）

現(xiàn)利用一個合成信號[y=sin（20πt）+cos（60πt）]在不同噪聲強度[c]下，測試SHSVD與HSVD、SSVD各自的降噪效果，利用提升信噪比（improved signal-to-noise ratio，ISNR）指標(biāo)評價各自方法的降噪性能。ISNR值越高，降噪效果越好。圖2對比了3種方法在不同噪聲強度下的ISNR指標(biāo)，可發(fā)現(xiàn)SHSVD的降噪性能明顯優(yōu)于HSVD、SSVD。

[I=20lgy-xFx′-xF]" （14）

式中：[I]——ISNR；[x]——純凈信號；[x′]——降噪后的信號。

HSVD and SSVD

3.2 幅值抑制降噪

本文提出一種幅值抑制算法，用以抑制經(jīng)SHSVD降噪后沖擊信號段周圍的噪聲、雜波的干擾，更好地突出信號周期性的故障沖擊特征。對于一個序列長度為[L]的信號[x（n）]，以式（15）所示的峭度指標(biāo)[Kν]作為評價依據(jù)，利用一種長為[l]（[l=L8]）的滑動窗口，每次滑動1個步長，每滑動一次，將該窗內(nèi)信號序列點[xl（n）]通過式（16）所示的抑制函數(shù)進行濾波操作，更新[σ、x（n）]，直至[Kν]收斂或達到最大次數(shù)停止，具體流程如圖3所示。

[Kν=1ln=1lxl（n）-x_41ln=1lxl（n）-x_22]"" （15）

[gxi（n）=11+maxxl（n）xi（n）2（σmaxxl（n）-xi（n），0）+xi（n）]""""""""""" （16）

式中：[（x，0）+=max（x，0）]；[maxxl（n）]——窗口中的信號序列[xl（n）]中幅值的最大值；[σ]——衰減系數(shù)，[σ=1-1（1+e-0.5k+2.5）]，其中的[k]為迭代次數(shù)。

4 仿真信號分析

為驗證SHSVD-AS的有效性，現(xiàn)用仿真故障齒輪信號進行初步測試：

[y（t）=x1（t）+0.1x2（t）+0.1x3（t）+N]""" （17）

[x1（t）=iAih（t-iT-τi）h（t）=e-Ctsin（2πf1t）Ai=1+A0sin（2πf2t）]""" （18）

式中：[x1（t）]——仿真周期性沖擊信號；[x2（t）]和[x3（t）]——頻率為10、30 Hz的正弦信號；[N]——高斯白噪聲；C——衰減系數(shù)，[C=700]；[f1]——共振頻率，[f1=4000]Hz；[A0=0.3]為幅值。

在信噪比為[-10] dB的條件下，圖4a中無法發(fā)現(xiàn)明顯沖擊性特征，圖4b的包絡(luò)譜中的故障頻率也無法觀察到，噪聲完全將特征信息淹沒。使用SHSVD-AS對其進行處理，基于該仿真信號構(gòu)造1000[×]1000的Hankel矩陣，采用本文所提硬閾值選取算法，選取閾值[K=]12，得到低秩矩陣，還原成原信號，再進行幅值抑制濾波，設(shè)置最大迭代次數(shù)30。圖5展示了仿真信號的峭度指標(biāo)的迭代過程，當(dāng)?shù)螖?shù)[k=10]時峭度指標(biāo)[Kν]開始收斂，最終取[k=30]時[Kν=19.014]的信號。圖6為處理后的仿真信號的時域波形、包絡(luò)譜，處理后的信號故障特征明顯，且在包絡(luò)譜上可觀察到100 Hz的故障特征頻率及其倍頻，初步驗證了該方法的有效性。

5 實測信號分析

為了驗證SHSVD-AS在強噪聲、較低齒輪轉(zhuǎn)速條件下的故障信號特征提取的有效性，本文對風(fēng)電傳動試驗臺中的圓柱齒輪箱故障信號進行分析。圓柱齒輪的從動輪為斷齒故障，其結(jié)構(gòu)如圖7所示。其中，從動輪齒數(shù)為58，主動輪齒數(shù)為18，主動輪轉(zhuǎn)速約為800 r/min，計算得故障齒輪的轉(zhuǎn)頻為4.13 Hz，信號采樣頻率為10 kHz。

為模擬風(fēng)電傳動系統(tǒng)實際工作中的嘈雜環(huán)境，在傳動試驗臺所采集到的故障齒輪信號加入一定強度的高斯白噪聲，加噪后的故障齒輪時域波形和包絡(luò)譜如圖8所示。由于噪聲的影響，故障齒輪周期性的沖擊特征無法從圖中觀察到，包絡(luò)譜中故障齒輪的轉(zhuǎn)頻（4.13 Hz）及其倍頻也無法觀察到，故障特征被淹沒在噪聲中。

現(xiàn)利用SHSVD-AS對該故障齒輪信號進行處理。估計信號的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差[c]約為1，構(gòu)造1500[×]1500的Hankel矩陣，利用硬閾值選取算法得到閾值[K=121]，進行SHSVD降噪；再進行幅值抑制濾波處理，設(shè)置最大迭代次數(shù)30，圖9展示了齒輪信號的峭度指標(biāo)迭代過程。[k=12]時峭度指標(biāo)[Kν]開始收斂，最終取[k=30]時[Kν=29.313]對應(yīng)的信號，經(jīng)SHSVD-AS處理后的信號如圖10所示，圖10a中的沖擊性信號間隔約為0.25 s，與故障特征頻率基本吻合，在圖10b中可清楚地看到故障特征頻率4.13 Hz及其二倍頻、三倍頻。

圖11a、圖12a為HSVD、VMD-HSVD處理后的故障齒輪信號的時域波形。傳統(tǒng)的硬閾值奇異值分解降噪法雖然起到一定的降噪效果，但將閾值之后的奇異值置零導(dǎo)致信號部分特征信息的丟失，因此圖11b中只有4.13 Hz的故障特征頻率突出，圖12b中也只能觀察到4.13 Hz的故障特征頻率及其二倍頻。

6 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)的奇異值分解降噪方法對風(fēng)電傳動系統(tǒng)中的齒輪箱故障診斷性能不佳的問題，本文提出一種新的奇異值分解降噪閾值選取算法，并將其應(yīng)用于軟、硬閾值混合的奇異值分解降噪法；最后利用所提幅值抑制的降噪算法突出齒輪信號周期性的故障沖擊特征。仿真信號與實測信號分析結(jié)果均表明，SHSVD-AS與傳統(tǒng)的HSVD、SSVD、VMD-HSVD相比，能夠更加有效地突出齒輪信號的故障特征，具有較好的故障診斷性能。

［參考文獻］

［1］" ZHANG L， HU N Q. Fault diagnosis of sun gear based on continuous vibration separation and minimum entropy deconvolution［J］. Measurement， 2019， 141： 332-344.

［2］" LI X Y， LI J L， QU Y Z. Semi-supervised gear fault diagnosis using raw vibration signal based on deep learning［J］. Chinese journal of aeronautics， 2020， 33（2）： 418-426.

［3］" KLEMA V， LAUB A. Singular value decomposition： its computation and some applications［J］. IEEE transactions on automatic control， 1980， 25（2）： 164-176.

［4］" 湯寶平， 蔣永華， 張詳春. 基于形態(tài)奇異值分解和經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的滾動軸承故障特征提取方法［J］. 機械工程學(xué)報， 2010， 46（3）： 37-48.

TANG B P， JIANG Y H， ZHANG X C. Feature extraction method of rolling bearing fault based on singular value decomposition-morphology filter and empirical mode decomposition［J］." Journal"" of" mechanical"" engineering， 2010， 46（3）： 37-48.

［5］" 許午珍， 崔立， 任德余， 等. 基于小波-VMD-Teager能量算子的滾動軸承微弱故障診斷［J］. 上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2020， 37（3）： 200-206.

XU W Z， CUI L， REN D Y， et al. A bearing weak fault diagnosis method based on wavelet-VMD-Teager energy［J］. Journal of Shanghai Second University of Technology， 2020， 37（3）： 200-206.

［6］" 蔣麗英， 潘宗博， 劉佳鑫. 基于改進VMD-SVD降噪的齒輪箱故障特征提?。跩］. 組合機床與自動化加工技術(shù)，2021， 33（3）： 4-8.

JIANG L Y， PAN Z B， LIU J X. Fault feature extraction of gearbox based on improved VMD-SVD noise reduction［J］. Modular machine tool amp; automatic manufacturing technique， 2021， 33（3）： 4-8.

［7］" 趙凱凱， 張柏林， 劉璘， 等. 基于頻域奇異值分解的LPI雷達信號降噪［J］. 電訊技術(shù)，2015， 55（12）： 1407-1412.

ZHAO K K， ZHANG B L， LIU L， et al. The LPI Radar signal denoising based on the frequency-domain singular value decomposition［J］. Telecommunication engineering， 2015， 55（12）： 1407-1412.

［8］" 李宏， 褚麗鑫， 劉慶強， 等. SG-VMD-SVD的信號去噪方法研究［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報（信息科學(xué)版）， 2021， 39（2）： 158-165.

LI H， CHU L X， LIU Q Q， et al. Study on signal de-noising method of SG-VMD-SVD［J］. Journal of Jilin University（information science edition）， 2021， 39（2）： 158-165.

［9］" 趙學(xué)智， 葉邦彥， 陳統(tǒng)堅. 基于變矩陣結(jié)構(gòu)奇異值分解的信號分解算法［J］. 振動·測試與診斷，2018， 38（6）： 1097-1102.

ZHAO X Z， YE B Y， CHEN T J. Signal decomposition algorithm based on varying matrix structure singular value decomposition［J］. Journal of vibration， measurement amp; diagnosis， 2018， 38（6）： 1097-1102.

［10］" 唐貴基， 李楠楠， 王曉龍. 綜合改進奇異譜分解和奇異值分解的齒輪故障特征提取方法［J］. 中國機械工程，2020， 31（24）： 2988-2996.

TANG G J， LI N N， WANG X L. Fault feature extraction method" for" gears" based" on" ISSD" and" SVD［J］." China mechanical engineering， 2020， 31（24）： 2988-2996.

［11］" 趙洪山， 郭雙偉， 高奪. 基于奇異值分解和變分模態(tài)分解的軸承故障特征提?。跩］. 振動與沖擊， 2016， 35（22）： 183-188.

ZHAO H S， GUO S W， GAO D. Fault feature extraction of bearing faults based on singular value decomposition and variational modal decomposition［J］. Journal of vibration and shock， 2016， 35（22）： 183-188.

［12］" ECKART C， YOUNG G. The approximation of one matrix by another of lower rank［J］. Psychometrika， 1936， 1（3）： 211-218.

［13］" 趙學(xué)智， 葉邦彥， 陳統(tǒng)堅. 頻率添加奇異值分解算法及其在故障特征提取中的應(yīng)用［J］. 機械工程學(xué)報，2021，57（10）： 10-20.

ZHAO X Z， YE B Y， CHEN T J. Frequency adding singular value decomposition algorithm and its application in fault feature extraction［J］. Journal of mechanical engineering， 2021， 57（10）： 10-20.

［14］" SCHARF L. The SVD and reduced rank signal processing［J］. Signal processing， 1991， 25（2）： 113-133.

［15］" SHABALIN A A， NOBEL A B. Reconstruction of a low-rank matrix in the presence of Gaussian noise［J］. Journal of multivariate analysis， 2013， 118（5）： 67-76.

［16］" BENAYCH-GEORGES F， NADAKUDITI R R. The singular values and vectors of low rank perturbations of large rectangular random matrices［J］. Journal of multivariate analysis， 2021， 111： 120-135.

FAULT DIAGNOSIS OF WIND POWER GEARBOX BASED ON SHSVD-AS

Ling Feng1，Yang Hongqiang2，Deng Aidong1，Wang Pengcheng1，Dong Lunan1，Bian Wenbin1

（1. National Engineering Research Center of Power Generation Control and Safety， School of Energy and Environment， Southeast University， Nanjing 210096， China； 2. China Energy Jiangsu Power Co.， Ltd.， Nanjing 215433， China）

Abstract：Aiming at the problems of traditional hard threshold singular value decomposition（HSVD） noise reduction have strong subjectivity， weak adaptability and easy to lose signal characteristics， this paper firstly proposes an adaptive hard threshold selection algorithm. Then， a soft-hard threshold singular value decomposition（SHSVD） denoising method is formed by combining an unequal optimal weight shrinkage of soft threshold singular value decomposition （SSVD） denoising method with HSVD. Finally， this paper creates an amplitude suppression（AS） algorithm to highlight the impact characteristics of fault signal denoised by SHSVD， which is SHSVD-AS. This method is used to analyze the gearbox fault signal of wind power transmission system. The test results of simulation and measured signals both indicate that SHSVD-AS has better performance in wind power gear fault diagnosis than traditional HSVD and VMD-HSVD methods under a strong noise enviroment.

Keywords：wind turbines； fault diagnosis； singular value decomposition； gearbox； hard threshold； soft threshold； amplitude suppression