收稿日期：2022-02-06

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51677057）

通信作者：朱顯輝（1975—），男，博士、講師，主要從事光伏發(fā)電方面的研究。zhu_xianhui@sina.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2022-0142 文章編號(hào)：0254-0096（2023）06-0204-09

摘 要：針對(duì)光伏參數(shù)求解繁瑣、準(zhǔn)確度不高、需要實(shí)驗(yàn)測試的弊端，提出一種利用兩條二階Bezier曲線和逆最小二乘法相結(jié)合的薄膜太陽電池參數(shù)辨識(shí)方法。首先，構(gòu)造過最大功率點(diǎn)且平行于開路電壓點(diǎn)和短路電流點(diǎn)連線的平行線，并在該平行線上尋找兩條二階Bezier函數(shù)的最佳控制點(diǎn)，進(jìn)而給出控制位置與薄膜太陽電池填充因子的線性規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對(duì)I-V曲線簡單、準(zhǔn)確地刻畫；然后，利用等效變換簡化薄膜太陽電池輸出特性超越方程，引入5個(gè)新的變量將超越方程改造為代數(shù)方程，隨機(jī)選取Bezier曲線上的5個(gè)點(diǎn)，通過代數(shù)計(jì)算和歐幾里得范數(shù)的（偽）解給出5個(gè)變量的值，并基于所得的變量結(jié)果，利用逆最小二乘法反向求解出超越方程的5個(gè)參數(shù)。最后，以5種不同型號(hào)薄膜太陽電池為例，對(duì)不同條件下的參數(shù)和求解時(shí)間進(jìn)行對(duì)比和分析，驗(yàn)證該方法具備快速性、準(zhǔn)確性和適用性。

關(guān)鍵詞：太陽電池；參數(shù)辨識(shí)；薄膜太陽電池；Bezier函數(shù)；逆最小二乘法

中圖分類號(hào)：TM615 """""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

銅銦鎵硒（CIGS）等化合物組成的薄膜太陽電池是目前效率較高、能耗較低的太陽電池之一，不僅具有一定的市場占有率，并且隨著制備材料等技術(shù)的發(fā)展，未來的應(yīng)用前景也較為廣闊［1］。因此，對(duì)薄膜太陽電池的使用壽命和安全運(yùn)行進(jìn)行評(píng)估具有較好的意義［2］。薄膜太陽電池內(nèi)部的串、并聯(lián)電阻等參數(shù)的變化是判斷其老化程度［3-4］和故障診斷［5-6］的重要依據(jù)。因而，如何快速、準(zhǔn)確地對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別是確保薄膜光伏發(fā)電可靠運(yùn)行的必要基礎(chǔ)。

光伏輸出特性為包含5個(gè)未知參數(shù)的超越方程，無法利用代數(shù)方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的求解。為給出上述5個(gè)參數(shù)的解，當(dāng)前主要采用基于超越方程的直接求解和基于輸出特性（I-V）曲線的參數(shù)求解兩類方法進(jìn)行計(jì)算。其中，基于超越方程的直接求解又可分為解析法和迭代法2種。

解析法主要利用I-V曲線上的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（最大功率點(diǎn)、短路電流點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)）構(gòu)造方程，并利用所構(gòu)造的方程給出參數(shù)的解。比如，文獻(xiàn)［7-10］通過將3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)據(jù)和最大功率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零等條件構(gòu)造4個(gè)方程，并結(jié)合串聯(lián)電阻為零或并聯(lián)電阻為無窮大等假定條件，對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行解析計(jì)算。但該方法所涉及的近似過程會(huì)導(dǎo)致其所得結(jié)果存在一定誤差。迭代法克服了解析法因近似假定所產(chǎn)生的誤差。但迭代法［11-12］是數(shù)值求解方法的一種，不僅計(jì)算耗時(shí)較長，其結(jié)果受初值的影響也較大。

此外，基于元啟發(fā)優(yōu)化算法的參數(shù)辨識(shí)模型也得到了廣泛應(yīng)用，如自適應(yīng)風(fēng)驅(qū)動(dòng)算法［13］、頭腦風(fēng)暴法［14］、海鷗優(yōu)化算法［15］和象群游牧算法［16］等。該類方法本質(zhì)上同樣屬于數(shù)值求解算法，不僅計(jì)算速度較慢，且搜索過程也較為繁瑣。

鑒于上述不足，基于I-V曲線的參數(shù)求解方法得到了越來越多的重視，該方法主要手段是通過I-V曲線的實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。如文獻(xiàn)［17］首先將任意條件下I-V曲線全數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)條件下的曲線，進(jìn)而利用雅克比矩陣給出標(biāo)準(zhǔn)條件下的參數(shù)計(jì)算結(jié)果；文獻(xiàn)［18］將信賴域反射算法與人工蜂群算法相結(jié)合，利用實(shí)驗(yàn)所得I-V特征曲線上的多組數(shù)據(jù)作為信賴域反射算法的反饋數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)辨識(shí)；文獻(xiàn)［19］將光伏參數(shù)辨識(shí)看作具有多局部最小值的非凸優(yōu)化問題，利用I-V曲線多點(diǎn)數(shù)據(jù)的標(biāo)幺化處理，結(jié)合Matlab軟件的lsqnonlin函數(shù)給出參數(shù)的解；文獻(xiàn)［20］將輸出特性的[V]和[I]視為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入和輸出量，利用傳遞函數(shù)的映射，將非線性擬合問題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)問題，從而計(jì)算5個(gè)參數(shù)的值。

上述方法所需的I-V曲線實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，為降低參數(shù)辨識(shí)中大量的實(shí)驗(yàn)測試次數(shù)，文獻(xiàn)［21］給出一種基于差分進(jìn)化模型的參數(shù)求解方法，該方法僅需采用曲線上任意3對(duì)數(shù)據(jù)，但其優(yōu)化時(shí)間較長；文獻(xiàn)［22］利用曲線上任意4點(diǎn)的斜率表征5個(gè)參數(shù)，得出參數(shù)的數(shù)值解，該方法雖無需任何簡化過程，但仍有一個(gè)參數(shù)未能顯式表達(dá)；文獻(xiàn)［23］基于Lambert-W函數(shù)得出5個(gè)參數(shù)的獨(dú)立表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了僅需一組數(shù)據(jù)即可求解參數(shù)的目的，但Lambert-W函數(shù)不具備初等函數(shù)的簡單形式，需權(quán)衡精度與計(jì)算時(shí)間的矛盾。

綜上，當(dāng)前薄膜太陽電池參數(shù)求解方法中的解析法無法避免因理想假定而帶來的誤差；迭代法和優(yōu)化算法雖能有效提高參數(shù)精度，但所需計(jì)算時(shí)間較長；而基于I-V曲線數(shù)據(jù)的參數(shù)求解方法均需實(shí)測數(shù)據(jù)支撐，必將耗費(fèi)一定的人力物力。

針對(duì)以上問題，本文給出一種利用薄膜太陽電池I-V特性的擬合曲線求解參數(shù)的簡單方法。首先，嘗試以Bezier曲線擬合薄膜太陽電池的I-V特性，并基于統(tǒng)計(jì)規(guī)律找出誤差最小時(shí)Bezier函數(shù)控制點(diǎn)位置與I-V曲線填充因子之間的線性規(guī)律。然后，利用所提線性規(guī)律給出描述I-V特性的Bezier曲線，進(jìn)而將所得Bezier曲線劃分為線性和指數(shù)兩部分，并通過引入新變量將超越方程顯式化，隨機(jī)選取Bezier曲線上的點(diǎn)，利用代數(shù)運(yùn)算和歐幾里得范數(shù)求解出參數(shù)結(jié)果。最后，與典型光伏參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行對(duì)比和驗(yàn)證，以期為薄膜太陽電池老化評(píng)估和故障診斷提供依據(jù)。

1 基于Bezier函數(shù)的薄膜太陽電池I-V建模

利用薄膜太陽電池的I-V曲線求解超越方程的相關(guān)參數(shù)，需首先給出薄膜太陽電池的輸出特性。本文采用Bezier函數(shù)生成的曲線實(shí)現(xiàn)薄膜太陽電池輸出I-V特性擬合。

在給定起點(diǎn)和終點(diǎn)后，Bezier函數(shù)可根據(jù)不同的控制點(diǎn)生成凸凹程度不同的Bezier曲線，其表達(dá)式［24-25］為：

[f（x，y）=k=0nPk（xk，yk）n！（n-k）！k！tk（1-t）n-k]" （1）

式中：[n]——Bezier函數(shù)的階數(shù)；[Pk（xk，yk）]——Bezier函數(shù)控制點(diǎn)坐標(biāo)；[f（x，y）]——所生成Bezier曲線軌跡的坐標(biāo)；[t]——參數(shù)，[t∈[0，1]]；[k]——項(xiàng)數(shù)，[k=0， 1， …， n]。

由式（1）可知，[n]越大Bezier函數(shù)就越復(fù)雜，為兼顧計(jì)算的簡單性和準(zhǔn)確性，結(jié)合薄膜太陽電池I-V曲線的特點(diǎn)，選用二階Bezier函數(shù)擬合薄膜太陽電池的輸出特性。即[n=2]時(shí)，Bezier曲線軌跡的橫、縱坐標(biāo)分別滿足：

[V（t）=（1-t）2P0+2t（1-t）P1+t2P2I（t）=（1-t）2P0+2t（1-t）P1+t2P2]" （2）

式中：[V]——薄膜太陽電池的輸出電壓；[I]——薄膜太陽電池的輸出電流；[P0]——二階Bezier函數(shù)的起點(diǎn)；[P1]——二階Bezier函數(shù)的控制點(diǎn)；[P2]——二階Bezier函數(shù)的終點(diǎn)。[P0]和[P2]需要預(yù)先給定，通過調(diào)整[P1]的位置即可給出起點(diǎn)和終點(diǎn)確定，但凸凹程度不同的Bezier曲線。

以某薄膜太陽電池的短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)分別作為二階Bezier函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，設(shè)置[t]在［0，1］按照一定的步長變化，利用式（2）選取不同的控制點(diǎn)，所得的Bezier曲線如圖1所示。圖1中，曲線1為薄膜太陽電池實(shí)際輸出I-V曲線中最大功率點(diǎn)左側(cè)的部分，曲線2～曲線5分別為控制點(diǎn)為[P11]、[P12、P13、P14]時(shí)利用式（2）所得的Bezier曲線軌跡。由圖1可知，不同的控制點(diǎn)可得到不同形狀的Bezier曲線，通過調(diào)整控制點(diǎn)的位置，可使所生成的Bezier曲線位于薄膜I-V曲線的上方和下方，且具有不同的凸凹度。則必然存在一個(gè)最優(yōu)控制點(diǎn)，使生成的Bezier曲線和薄膜太陽電池最大功率點(diǎn)左側(cè)實(shí)際輸出I-V曲線具有最小的誤差，對(duì)于最大功率右側(cè)的I-V曲線而言，上述結(jié)論同樣適用，不再贅述。

基于上述結(jié)論，本文選用兩條二階Bezier曲線分別描述薄膜太陽電池完整的I-V曲線。其中，第1條二階Bezier函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)；第2條二階Bezier函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為最大功率點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)。

為保證兩條二階Bezier曲線在最大功率點(diǎn)處具有連接光滑性的同時(shí)，兼顧后續(xù)求解最優(yōu)控制點(diǎn)位置與填充因子之間線性規(guī)律的簡單性，在過最大功率點(diǎn)構(gòu)造與短路電流點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)連線[l1]平行的直線[l2]，并在該直線上分析不同控制點(diǎn)下生成二階Bezier曲線的擬合效果。尋找最優(yōu)控制點(diǎn)的流程如圖2所示。

以最大功率點(diǎn)左側(cè)的第1條Bezier曲線為例，為確定Bezier曲線擬合I-V曲線的最佳控制點(diǎn)，以廠商數(shù)據(jù)曲線作為基準(zhǔn)，按照一定步長在直線[l2]上移動(dòng)控制點(diǎn)，計(jì)算不同控制點(diǎn)所得曲線與廠商數(shù)據(jù)曲線的平均相對(duì)誤差，找出誤差最小曲線所對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)，即為最優(yōu)控制點(diǎn)。

選取表1所示8種不同型號(hào)的薄膜太陽電池，依據(jù)圖2所示流程，分別找出8種薄膜太陽電池最大功率左側(cè)第1條Bezier曲線的最優(yōu)控制點(diǎn)，其中Isc、Voc、Im、Vm分別為短路電流、開路電壓、最大功率點(diǎn)電流、最大功率點(diǎn)電壓。

若第1條Bezier曲線擬合誤差最小時(shí)對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)為[K]，則可通過平行線[l1]和[l2]構(gòu)造相似三角形，如圖3所示。圖3中，[A]點(diǎn)、[B]點(diǎn)和[C]點(diǎn)分別為某型號(hào)薄膜太陽電池I-V曲線的短路電流點(diǎn)、最大功率點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)；[K]點(diǎn)和[K1]點(diǎn)分別為左側(cè)Bezier曲線和左側(cè)條Bezier曲線對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制點(diǎn)；B曲線1和B曲線2分別為[K]點(diǎn)和[K1]點(diǎn)為控制點(diǎn)時(shí)得到的Bezier曲線。

以最大功率點(diǎn)左側(cè)為例，由圖3可知，三角形AOC和三角形KO1B為相似三角形。則兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的長度具有如下比例關(guān)系：

[IK-ImIsc=VK-Vm2+IK-Im2Voc2+Isc2]"" （3）

第2條Bezier曲線的最優(yōu)控制點(diǎn)的尋找過程與圖2所示流程相似，區(qū)別在于第2條Bezier曲線需以最大功率點(diǎn)作為起點(diǎn)，以開路電壓點(diǎn)作為終點(diǎn)，在[l2]上最大功率點(diǎn)的右側(cè)

尋找最佳控制點(diǎn)[K1]，同樣滿足以下關(guān)系：

[IK1-ImIsc=VK1-Vm2+IK1-Im2Voc2+Isc2]""" （4）

基于圖2所示流程，能夠得到最小誤差所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)[VK（VK1）]和[IK（IK1）]的值，結(jié)合廠商給定的[Isc]、[Voc]、[Im]和[Vm]值，即可求出式（3）和式（4）的比值，并將2個(gè)比值分別定義為[kl]和[kr]。

為進(jìn)一步探索兩條Bezier曲線最優(yōu)控制點(diǎn)的分布規(guī)律，將[kl]和[kr]作為函數(shù)，薄膜太陽電池的填充因子[f]作為變量，繪制于二維直角坐標(biāo)系下，如圖4所示。

圖4中兩條Bezier曲線最優(yōu)控制點(diǎn)的分布與填充因子的擬合關(guān)系［24］為：

[kl=-0.8057f+0.6716kr=-0.5386f+0.5282]" （5）

式中：[f]——填充因子，[f=（ImVm）/（IscVoc）]。

為驗(yàn)證Bezier曲線擬合的準(zhǔn)確性和快速性，選擇一種新薄膜太陽電池ATF 50對(duì)式（5）的線性關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，過程如下：

1）查找電池?cái)?shù)據(jù)手冊(cè)，獲取填充因子f的值；

2）將[f]的值代入式（5），計(jì)算兩條Bezier控制點(diǎn)位置的比值；

3）查找電池?cái)?shù)據(jù)手冊(cè)，短路電流點(diǎn)，最大功率點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)的值；

4）以短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)分別作為第1條Bezier函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，結(jié)合前述所得控制點(diǎn)的比值（即為控制點(diǎn)位置），利用式（2）分別計(jì)算第1條Bezier曲線的橫、縱坐標(biāo)值；

5）以最大功率點(diǎn)和開路電壓點(diǎn)分別作為第2條Bezier函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，結(jié)合前述所得控制點(diǎn)的比值（即為控制點(diǎn)位置），利用式（2）分別計(jì)算第2條Bezier曲線的橫、縱坐標(biāo)值，所得擬合結(jié)果如圖5所示。

對(duì)圖5中誤差進(jìn)行分析可知，Bezier曲線與廠商數(shù)據(jù)最大相對(duì)誤差為0.94%，平均相對(duì)誤差為0.38%，傳統(tǒng)迭代法繪制曲線時(shí)間為10.4 s，二階Bezier曲線擬合時(shí)間為0.44 μs。

可見，本文所提二階Bezier曲線擬合光伏輸出特性曲線具有準(zhǔn)確性和快速性，可為后續(xù)求解超越方程參數(shù)提供可靠基礎(chǔ)。

2 逆最小二乘法的參數(shù)識(shí)別

單二極管等效電路模型能較好地表征太陽電池的工作原理，其電路拓?fù)淇蓞⒖嘉墨I(xiàn)［25］，輸出I-V特性可表述為：

[I=Iph-IoexpV+IRsaVT-1-V+IRsRsh]""" （6）

式中：[VT]——結(jié)熱電壓，V；[VT=kT/q，]其中[k]為玻爾茲曼常數(shù)，k=1.38×10-23 J/K；[T]——太陽電池的溫度（K）；[q]為電子電荷，q=1.6×10-19 C；[a]——二極管理想因子；[Iph]——光生電流，A；[Io]——反向飽和電流，A；[Rs]——串聯(lián)電阻，Ω；[Rsh]——并聯(lián)電阻，Ω。

一般而言，薄膜太陽電池的使用壽命為20～25 a，在使用壽命之內(nèi)，電池能夠保持80%以上的功率輸出［26］。但由于實(shí)際工作條件的多樣性和復(fù)雜性，薄膜太陽電池具有過早老化和故障的可能［27］。此時(shí)，式（6）中的5個(gè)參數(shù)[a、Iph、Io、Rs]和[Rsh]也會(huì)因老化和故障而產(chǎn)生某種變化。因此，對(duì)實(shí)際工作條件下5個(gè)參數(shù)的真實(shí)值進(jìn)行識(shí)別，不僅能作為薄膜太陽電池老化分析的充要條件，也是對(duì)其進(jìn)行故障診斷的關(guān)鍵判據(jù)。

光伏輸出特性表達(dá)式含有指數(shù)形式，是參數(shù)求解的難點(diǎn)之一。首先引入新系數(shù)對(duì)式（6）進(jìn)行簡化：

[I=α+β-ηV-βγVδI]" （7）

其中：

[α=IphRshRs+Rsh]"" （8）

[β=IoRshRs+Rsh]""" （9）

[γ=exp1aVT]""" （10）

[δ=expRsaVT]"" （11）

[η=1Rsh+Rs]""" （12）

對(duì)式（8）～式（12）進(jìn)行反向變換，可得：

[Iph=αlnγlnγ-ηlnδ] （13）

[Io=βlnγlnγ-ηlnδ]" （14）

[a=1ln（γ）VT]"" （15）

[Rs=lnδlnγVT] （16）

[Rsh=1η-lnδln（γ）VT]" （17）

利用式（13）～式（17）可得5個(gè)參數(shù)的值，但求解參數(shù)的前提是已知[α]、[β]、[γ]、[δ]和[η]的值。為此，采用最小二乘法的逆過程求解系數(shù)。

結(jié)合圖3可知，光伏輸出特性曲線以最大功率點(diǎn)為界，前半部分較平直，可近似于直線，而后半部分類似于指數(shù)變化部分。因此，首先將式（7）等效為線性部分和指數(shù)部分，如下：

[I=α+β-ηV線性部分-βγVδI指數(shù)部分] （18）

首先忽略指數(shù)部分對(duì)曲線前半部分的影響，并且為減少求解未知系數(shù)的數(shù)量，令[ψ=α+β]。

在第1條Bezier曲線上任取兩點(diǎn)代入式（18）線性部分，對(duì)線性部分求解，可得：

[I1=ψ-ηV1I2=ψ-ηV2]" （19）

由式（19）可知，在已知（[V1]，[I1]）和（[V2]，[I2]）的情況下可給出[ψ]和[η]的封閉解，實(shí)現(xiàn)線性部分的求解。

下一步擬計(jì)算指數(shù)部分系數(shù)，由于指數(shù)形式較為復(fù)雜，為簡化計(jì)算成本，對(duì)式（7）兩邊同取對(duì)數(shù)，可得：

[lnβ+Vlnγ+Ilnδ=ln（ψ-I-ηV）] （20）

式（20）所代表的指數(shù)部分中存在3個(gè)未知參量，因而在第2條Bezier曲線部分，任取3個(gè)點(diǎn)代入式（20），可得：

[lnβlnγlnδ=ΩMln（ψ-I3-ηV3）ln（ψ-I4-ηV4）ln（ψ-I5-ηV5）]""" （21）

式中：[ΩM]為系數(shù)矩陣，[ΩM=1V3I31V4I41V5I5]。

當(dāng)Rank（[ΩM]）=3時(shí)，方程組有唯一解，根據(jù)歐幾里得范數(shù)的（偽）解得出[lnβ]、[lnγ]和[lnδ]，所得參量為：

[lnβlnγlnδ=（ΩTMΩM）-1ΩTM ln（ψ-I3-ηV3）ln（ψ-I4-ηV4）ln（ψ-I5-ηV5）]"" （22）

根據(jù)式（22）可知，已知點(diǎn)（[V3]，[I3]）、（[V4]，[I4]）和（[V5]，[I5]）可得出[lnβ]、[lnγ]和[lnδ]的值，進(jìn)而得出[β]、[γ]和[δ]，完成指數(shù)部分的系數(shù)求解。

由上述分析可知，采用兩條二階Bezier曲線描述薄膜太陽電池I-V曲線后，將第1條Bezier曲線作為線性部分，第2條Bezier曲線作為指數(shù)部分，以式（19）為基礎(chǔ)，在線性部分任取兩點(diǎn)即可得到[ψ]和[η]的值，以式（20）為基礎(chǔ)，在指數(shù)部分任取3點(diǎn)解出[α]、[β]、[γ]和[δ]。根據(jù)式（19）和式（22）得出系數(shù)的數(shù)值解，代入式（13）～式（17）即可識(shí)別出參數(shù)。

3 算例分析

3.1 標(biāo)準(zhǔn)條件下的參數(shù)識(shí)別

為驗(yàn)證本文所提參數(shù)辨識(shí)方法的快速性，以BP Apollo 980薄膜太陽電池為對(duì)象進(jìn)行分析，在模擬輻照度為1000 W/m2、溫度為25 ℃的標(biāo)準(zhǔn)條件下，分別采用解析法［8］、迭代法［11］、優(yōu)化算法［16］和逆最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明，解析法計(jì)算時(shí)間為0.62 ms，逆最小二乘法計(jì)算時(shí)間為5.03 ms，迭代法和優(yōu)化算法的計(jì)算時(shí)間分別為55.49和315.65 ms?？梢姡疚乃岱椒ㄓ?jì)算參數(shù)的時(shí)間最快。

為驗(yàn)證所得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，以ASP-S2-75型號(hào)的薄膜太陽電池為例，首先利用上述4種方法計(jì)算超越方程參數(shù)，并利用所得參數(shù)迭代求解I-V曲線，結(jié)果如圖6所示。

以廠商數(shù)據(jù)曲線為基準(zhǔn)，計(jì)算逆最小二乘法所得曲線的平均相對(duì)誤差為1.17%，迭代法和優(yōu)化算法的平均相對(duì)誤差分別為0.93%和1.36%，解析法平均相對(duì)誤差為4.73%。

重新選擇5種新型薄膜太陽電池對(duì)參數(shù)辨識(shí)的誤差進(jìn)行分析和驗(yàn)證，為行文簡潔，此處只給出誤差計(jì)算結(jié)果，不再給出具體的擬合曲線。計(jì)算曲線兩部分的平均相對(duì)誤差結(jié)果如表2所示。

由表2可知，基于Bezier曲線的逆最小二乘參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)于5種新型薄膜太陽電池參數(shù)識(shí)別效果較好。線性部分平均相對(duì)誤差在1.02%～3.45%之間，指數(shù)部分平均相對(duì)誤差在1.07%～2.88%之間，總體誤差均小于3.5%。

上述分析表明，所提Bezier曲線和逆最小二乘法相結(jié)合的薄膜太陽電池參數(shù)計(jì)算方法具有較好的準(zhǔn)確性、快速性和普適性，滿足計(jì)算工程需求。

3.2 非標(biāo)準(zhǔn)條件下的參數(shù)識(shí)別

實(shí)際使用時(shí)，太陽電池經(jīng)常工作在非標(biāo)準(zhǔn)條件下，該條件下的參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)條件下的參數(shù)不同，因此對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)條件下的光伏參數(shù)進(jìn)行識(shí)別更具實(shí)用性。非標(biāo)準(zhǔn)條件下的開路電壓點(diǎn)、短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)的計(jì)算過程可參考文獻(xiàn)［28-29］得到。基于文獻(xiàn)［28-29］所得的非標(biāo)準(zhǔn)條件下I-V曲線關(guān)鍵點(diǎn)計(jì)算結(jié)果，結(jié)合第1、2節(jié)中給出的二階Bezier函數(shù)和逆最小二乘法相結(jié)合的方法，同樣可給出非標(biāo)準(zhǔn)條件下薄膜太陽電池參數(shù)辨識(shí)值。

以太陽電池ATF 50為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，在溫度為15～55 ℃，太陽輻照度為200～1000 W/m2的條件下辨識(shí)參數(shù)，為行文簡潔，僅給出4組非標(biāo)準(zhǔn)條件下參數(shù)識(shí)別的結(jié)果，其余條件下所得結(jié)果不再一一給出。所選4組條件分別為：A組：輻照度[G=400 W/m2]，溫度[T=25 ℃]；B組：輻照度[G=400 W/m2]，溫度[T=45 ℃]；C組：輻照度[G=1000 W/m2]，溫度[T=25 ℃]；D組：輻照度[G=1000 W/m2]，溫度[T=45 ℃]。4組識(shí)別參數(shù)結(jié)果如表3所示。

由表3可知，二級(jí)管理想因子a存在大于2的情況。一般而言，晶體硅二級(jí)管理想因子a的取值范圍為1～2，由于薄膜太陽電池的發(fā)電機(jī)理與晶體硅有所不同，導(dǎo)致其輸出特性有較大差異，因此太陽電池二極管理想因子a的取值可能大于2，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)［30］中的結(jié)論一致。

牛頓迭代法所得參數(shù)的準(zhǔn)確性已在文獻(xiàn)［11］得到了充分論證，同樣以牛頓迭代法的結(jié)果作為誤差分析基準(zhǔn)，分析所提逆最小二乘法參數(shù)辨識(shí)效果，為明確起見，當(dāng)太陽輻照度為1000 W/m2，溫度分別為15、25、35、45、55 ℃時(shí)ATF 50薄膜太陽電池的光伏I-V曲線如圖7所示。

當(dāng)溫度為25 ℃，太陽輻照度分別為200、400、600、800、1000 W/m2時(shí)ATF 50的I-V曲線如圖8所示。

對(duì)圖7和圖8中各曲線的線性部分和指數(shù)部分分別取200組電壓、電流數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算平均相對(duì)誤差，結(jié)果如表4所示。

由表4知，輻照度為1000 W/m2、溫度分別為15、25、35、45、55 ℃時(shí)，線性部分平均相對(duì)誤差在1.25%～2.79%之間，指數(shù)部分平均相對(duì)誤差在1.17%～2.95%之間；溫度為25 ℃、輻照度分別為200、400、600、800、1000 W/m2時(shí)，線性部分平均相對(duì)誤差在1.46%～3.17%之間，指數(shù)部分平均相對(duì)誤差在1.31%～2.57%之間。總體來看，平均相對(duì)誤差均在3.5%以下，證明了本文所提參數(shù)求解方法可滿足工程實(shí)踐需求。

綜上所述，基于Bezier曲線和逆最小二乘法相結(jié)合的光伏參數(shù)辨識(shí)方法，無需迭代等數(shù)值計(jì)算，具有較好的快速性。辨識(shí)結(jié)果的精度較高，具有較高的準(zhǔn)確性，且能適用于不同型號(hào)薄膜太陽電池不同條件下的參數(shù)辨識(shí)，也具有較強(qiáng)的普適性，可為薄膜太陽電池的老化評(píng)估和故障診斷提供參考。

4 結(jié) 論

本文圍繞著薄膜太陽電池參數(shù)識(shí)別進(jìn)行研究，得到以下主要結(jié)論：

1）嘗試了以兩條二階Bezier曲線分別擬合薄膜太陽電池I-V特性最大功率點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)部分曲線的方法，發(fā)掘出二階Bezier函數(shù)控制點(diǎn)位置與填充因子之間擬合的線性規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了薄膜太陽電池I-V曲線的準(zhǔn)確刻畫。

2）基于薄膜太陽電池I-V曲線的特點(diǎn)，將最大功率點(diǎn)左側(cè)的二階Bezier曲線近似為直線部分，最大功率點(diǎn)右側(cè)的二階Bezier曲線近似為指數(shù)部分，引入5個(gè)新變量實(shí)現(xiàn)了特性超越方程的顯式化，分別利用代數(shù)法和歐幾里得法給出5個(gè)新變量的解，并基于所得新變量的解，以逆最小二乘法給出超越方程參數(shù)的值。最后，對(duì)不同條件和不同型號(hào)電池進(jìn)行求解，論證了本文所提方法的準(zhǔn)確性、快速性和實(shí)用性。

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INVERSE LEST SQUARES IDENTIFICATION OF THIN FILM

SOLAR CELL PARAMETERS BASED ON BEZIER CURVES

Zhu Xianhui1，Gao Bin1，Shi Nan2，3，Zhu Xiaoqiang1，Zhong Jingwen1

（1. School of Electric and Control Engineering， Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China；

2. Engineering Training and Basic Experiment Center， Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China；

3. School of Electrical and Electronic Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Keywords：solar cell； parameter identification； thin film solar cell； Bezier function； inverse least squares method