《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)的運(yùn)算領(lǐng)域教學(xué)要經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，要理解算理，掌握算法，感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。所謂的運(yùn)算一致性就是經(jīng)歷再抽象的過(guò)程，使運(yùn)算擺脫現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際意義，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的一致性，也就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這樣的數(shù)學(xué)化實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾所說(shuō)的橫向數(shù)學(xué)化，即把學(xué)生從生活世界引向符號(hào)世界的過(guò)程。當(dāng)下教師已經(jīng)有了探尋運(yùn)算本質(zhì)一致性的意愿和意識(shí)，教師要幫助學(xué)生理解算理，更好地展現(xiàn)運(yùn)算一致性結(jié)構(gòu)關(guān)系，讓學(xué)生看得清晰、理解透徹。在教學(xué)“口算兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，經(jīng)歷運(yùn)算過(guò)程理解性建構(gòu)、聯(lián)結(jié)性建構(gòu)、遷移性建構(gòu)，不僅有利于學(xué)生感悟運(yùn)算一致性，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且能促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，獲得很好的效果。

一、理解性建構(gòu)

理解性學(xué)習(xí)是以“理解數(shù)學(xué)”為目標(biāo)，指向引領(lǐng)學(xué)生遷移和運(yùn)用先前知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在新的教學(xué)情境中對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效加工，并不斷獲得相關(guān)知識(shí)本質(zhì)的深刻理解和核心素養(yǎng)發(fā)展的過(guò)程。理解是知識(shí)建構(gòu)的基礎(chǔ)，只有理解了知識(shí)前后聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)特征，才能達(dá)成感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的目標(biāo)。知識(shí)內(nèi)部關(guān)系理解越深刻，建立知識(shí)的結(jié)構(gòu)越清晰，越易形成結(jié)構(gòu)化的思維。反之，則只能是一知半解、浮于表面，數(shù)學(xué)理解質(zhì)量、水平必然會(huì)大打折扣。認(rèn)知心理學(xué)研究表明，只有當(dāng)學(xué)習(xí)者接觸了大量的可理解性的材料時(shí)，在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，才能幫助學(xué)生建構(gòu)清晰的認(rèn)知表象，提升理解水平。

例如，教學(xué)“口算兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師先創(chuàng)設(shè)小熊購(gòu)物的情境，學(xué)生獲取信息后，根據(jù)每瓶蜂蜜20元，求購(gòu)買3瓶蜂蜜一共要付多少元可列式為：20×3，計(jì)算“20×3”時(shí)學(xué)生都能說(shuō)出結(jié)果是60元，教師追問：為什么是60元，誰(shuí)能清楚地講明白道理？可以用自己喜歡的方法或借助想要的學(xué)具解釋說(shuō)明。交流時(shí)，有的學(xué)生通過(guò)畫一畫說(shuō)理，一個(gè)長(zhǎng)方形表示每瓶蜂蜜20元，畫3個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，就是60元，邊畫邊數(shù)出結(jié)果；有的學(xué)生是擺小棒，每次擺2捆，擺了3次，得到20×3=20+20+20=60元，邊擺邊算出結(jié)果；有的學(xué)生是在計(jì)數(shù)器上撥珠子，在十位上每次同時(shí)撥2個(gè)珠子，撥了3次，邊撥邊想出結(jié)果；有的學(xué)生畫方塊圖，每組畫2條，畫了3組，得到60。教師追問：這些不同的方法有什么共同特點(diǎn)？你能從圖中找到表示“2×3”的過(guò)程嗎？學(xué)生通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)：它們操作的過(guò)程相同，每次擺2捆小棒，再擺3次得6捆；計(jì)數(shù)器每次撥2顆珠子，再撥3次得6顆；每列畫2條方塊圖，再畫3列得6條。這里的“捆”“顆”“條”都代表計(jì)數(shù)單位“十”，也就是2個(gè)十乘3得6個(gè)十是60。繼而，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“二三得六”口訣可以表示2個(gè)一乘3得6個(gè)一，2個(gè)百乘3得6個(gè)百，2個(gè)千乘3得6個(gè)千，最后歸納出幾個(gè)計(jì)數(shù)單位乘幾得到幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。

口算兩位數(shù)乘一位數(shù)，通常學(xué)生會(huì)算、會(huì)記憶，思維處于低層次，學(xué)生分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造的高階思維是欠缺的，要想促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，理解運(yùn)算的一致性本質(zhì)是必然所在。教學(xué)中，教師提供豐富的學(xué)習(xí)材料，喚醒學(xué)生已有認(rèn)數(shù)表征經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)獨(dú)立思考、個(gè)性化表達(dá)，將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言，抽象出“捆”“顆”“條”都表示計(jì)數(shù)單位“十”，小棒圖、計(jì)數(shù)器、方塊圖幫助學(xué)生以表內(nèi)乘法聯(lián)結(jié)更大“捆”“顆”“條”，對(duì)應(yīng)更大計(jì)數(shù)單位“百”“千”……學(xué)生再次把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，通過(guò)比較、聯(lián)想、想象、轉(zhuǎn)換、分析、歸納等方法進(jìn)行深度思考，有了理解性材料的支撐，他們順利通過(guò)兩次數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，形成清晰計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的表象，抽象出運(yùn)算本質(zhì)，深度理解整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的實(shí)質(zhì)是幾個(gè)十乘幾，也就是數(shù)一數(shù)有幾個(gè)十。

二、聯(lián)結(jié)性建構(gòu)

聯(lián)結(jié)是一種事物喚醒另一種事情的傾向。靜態(tài)的陳述性知識(shí)（已有事實(shí)或概念）和動(dòng)態(tài)的程序性知識(shí)（操作步驟和方法）兩者之間相互聯(lián)結(jié)，就是新知識(shí)學(xué)習(xí)建構(gòu)的過(guò)程，也是記憶儲(chǔ)存形態(tài)。數(shù)學(xué)知識(shí)背景的抽象性、數(shù)學(xué)問題表征的多元性、兒童內(nèi)心世界的豐富性，要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的“眼光”來(lái)看現(xiàn)實(shí)生活中的問題，學(xué)生要將數(shù)學(xué)的非正規(guī)知識(shí)和數(shù)學(xué)符號(hào)的使用建立意義聯(lián)結(jié)。因此，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，教師要有聯(lián)結(jié)性的思維意識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行關(guān)聯(lián)性建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)結(jié)性思維方式。聯(lián)結(jié)性建構(gòu)就是真實(shí)世界中的數(shù)學(xué)問題與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、思維方式相聯(lián)結(jié)，最大可能地讓學(xué)生貼近生活，根據(jù)生活實(shí)際處理數(shù)學(xué)問題（包括選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具與方法）。建構(gòu)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間、一個(gè)單元與另一個(gè)單元之間的聯(lián)結(jié)。教學(xué)中，教師一方面根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)活動(dòng)。另一方面建立知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)、一個(gè)單元與另一個(gè)單元的聯(lián)系，讓學(xué)生在最貼近的關(guān)聯(lián)中建構(gòu)知識(shí)體系。

探究“23×3”時(shí)，教師從知識(shí)內(nèi)部關(guān)聯(lián)和生活問題關(guān)聯(lián)兩個(gè)路徑設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)聯(lián)結(jié)性建構(gòu)。教師提問：想一想23×3結(jié)果會(huì)是多少？怎樣解釋運(yùn)算的道理？借助剛才的操作圖，你有什么新的聯(lián)想？思路清晰的學(xué)生四人小組內(nèi)交流想法，暫時(shí)還不能確認(rèn)的學(xué)生，可以借助學(xué)具畫一畫、擺一擺、撥一撥。學(xué)生借助原有的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)新的想法，借助先前小棒圖，2捆乘3得6捆，再添上3根乘3得9根，合起來(lái)是69。畫方塊圖的學(xué)生（如圖1），得出2個(gè)十乘3得6個(gè)十，3個(gè)一乘3得9個(gè)一，還概括出幾個(gè)十乘幾得幾個(gè)十，幾個(gè)一乘幾得幾個(gè)一。教師繼續(xù)追問：23×3還可以解決生活中哪些數(shù)學(xué)問題？根據(jù)場(chǎng)景圖四人小組說(shuō)一說(shuō)、畫一畫、寫一寫。交流時(shí)有的小組畫圖（如圖2）編出問題：星期天去敬老院為3位老人購(gòu)買生活用品，每人用了23元，3人一共用去多少元？有的小組畫圖（如圖3）編出問題：書法小組在幕布上寫大字（以O(shè)表示字），每行寫23個(gè)，3行一共有多少個(gè)字？有的小組畫圖（如圖4）編出問題：工人師傅鋪地磚，每排鋪23塊，3排一共鋪了多少塊？

史寧中教授指出，簡(jiǎn)單的計(jì)算方法往往需要付出邏輯的代價(jià)，從理解算理到形成算法，是從具體到抽象的過(guò)程，也是邏輯思維表達(dá)的過(guò)程。教師通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)兩道結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)例子——20×3、23×3作為研究材料，學(xué)生根據(jù)先前十位上的數(shù)相乘操作原理，直觀想象個(gè)位上的數(shù)相乘操作程序，減少動(dòng)手操作次數(shù)，提升操作頻率，2個(gè)十乘3是6個(gè)十，遷移到3個(gè)一乘3就是9個(gè)一的運(yùn)算方法?；貧w生活舉例23×3還可以解決哪些生活問題，教師有意識(shí)地提供場(chǎng)景圖，連接運(yùn)算與生活的關(guān)系，通過(guò)人民幣示意圖、點(diǎn)子圖、方塊圖以及乘法運(yùn)算的多元表征方式，完成生活化到數(shù)學(xué)化的進(jìn)程。實(shí)物模型、點(diǎn)子圖直觀模型、面積模型，可以幫助學(xué)生從直觀到抽象理解算理，三幅圖分別清楚表示計(jì)算20×3和3×3部分，符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言，共同指向先分后合的運(yùn)算基本程序，凸顯運(yùn)算本質(zhì)就是數(shù)一數(shù)、算一算有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。

三、遷移性建構(gòu)

所謂遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，具體是指在一種情境中獲得的知識(shí)、技能或態(tài)度對(duì)另一種情境中知識(shí)、技能的獲得或態(tài)度的形成產(chǎn)生影響。巧妙回避負(fù)遷移，合理利用正遷移，學(xué)習(xí)效果就會(huì)事半功倍。教學(xué)中，教師要遵循兒童認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)正遷移。教師可以按照漸進(jìn)分化的原則有順序地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，先是具體、個(gè)別分化的概念，再是一般的、范圍廣的概念，從個(gè)別到一般，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思想的遷移。還可以把學(xué)習(xí)內(nèi)容分成若干個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)完成序列化學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓后一步學(xué)習(xí)建立在前一步的基礎(chǔ)上，前一步學(xué)習(xí)為后一步學(xué)習(xí)提供固著點(diǎn)，既符合數(shù)學(xué)知識(shí)本身邏輯，又適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)習(xí)路徑遷移。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、概括等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括水平，促進(jìn)學(xué)生思維方式的遷移。

在練習(xí)環(huán)節(jié)教師可以設(shè)計(jì)如下題目：1時(shí)=（ ）分，2時(shí)=（ ）分，3時(shí)=（ ）分。要求學(xué)生邊操作鐘面邊思考運(yùn)算中有什么聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注運(yùn)算的過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：1時(shí)（分針轉(zhuǎn)一圈），2時(shí)（分針轉(zhuǎn)2圈）。學(xué)生在交流中相互補(bǔ)充，1時(shí)=60分，求2時(shí)=（ ）分，這樣思考：2時(shí)是2個(gè)1時(shí)，即求2個(gè)60分是多少，以此類推，3時(shí)是3個(gè)1時(shí)，就是求3個(gè)60分是多少……最后歸納求幾時(shí)=（ ）分轉(zhuǎn)化為幾個(gè)1時(shí)，都是求幾個(gè)60分是多少。由此遷移，學(xué)生聯(lián)想到學(xué)習(xí)過(guò)的其他單位。比如，長(zhǎng)度單位、貨幣單位之間運(yùn)算方法存在相通性。大單位轉(zhuǎn)換成小單位是計(jì)量單位的細(xì)分，小單位轉(zhuǎn)換成大單位是計(jì)量單位的累加。度量單位的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算具有一致性，都是相同計(jì)數(shù)（量）單位個(gè)數(shù)累加或細(xì)分。

在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解度量意義、認(rèn)識(shí)度量單位、學(xué)會(huì)單位運(yùn)算是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要任務(wù)，量的運(yùn)算一致性理解往往是教師易忽視的內(nèi)容，對(duì)度量意義、度量單位、單位之間運(yùn)算，只會(huì)停留在“是什么”層面，缺乏“為什么”的深度追問和思考，學(xué)生解決單位之間的運(yùn)算時(shí)，常是死記硬背，測(cè)量工具作為深度理解度量單位之間關(guān)系的最有效工具，過(guò)早被學(xué)生丟棄，單位之間轉(zhuǎn)換方法學(xué)生理解不透徹，轉(zhuǎn)換過(guò)程不順暢，學(xué)習(xí)效果可想而知。教學(xué)時(shí)，教師首先要充分挖掘知識(shí)背后共通的思想方法，幫助學(xué)生理解知識(shí)原理，通過(guò)觀察鐘表時(shí)針和分針運(yùn)行軌跡，建立“幾時(shí)是幾個(gè)1時(shí)累加”的觀念，根據(jù)1時(shí)=60分，推理幾時(shí)就是幾個(gè)60分的累加，學(xué)生有了時(shí)間單位累加經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想1米就是10個(gè)1分米累加，1元就是10個(gè)1角累加，從具體到一般，學(xué)生主動(dòng)將數(shù)運(yùn)算的一致性遷移到量運(yùn)算的一致性，整體建構(gòu)，學(xué)習(xí)過(guò)程指向精細(xì)化、結(jié)構(gòu)化，順利完成了運(yùn)算一致性的學(xué)習(xí)遷移。

綜上所述，運(yùn)算一致性的數(shù)學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)，學(xué)生要在真實(shí)情境中接觸大量的可理解的學(xué)習(xí)材料后，逐步積累個(gè)體思維經(jīng)驗(yàn)。教師要設(shè)計(jì)多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生提供多元表征機(jī)會(huì)，要搭建思維理解性、聯(lián)結(jié)性、遷移性學(xué)習(xí)平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教師要培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理意識(shí)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”的全面提升。

（作者單位：南京師范大學(xué)相城實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

盧清榮，江蘇省特級(jí)教師，正高級(jí)教師，江蘇省基礎(chǔ)教育改革科研先進(jìn)個(gè)人，姑蘇特聘人才，領(lǐng)軍名師，“國(guó)培計(jì)劃”首席專家，主持江蘇省重點(diǎn)課題和省課程改革實(shí)踐項(xiàng)目，曾獲江蘇省基礎(chǔ)教育科研成果獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)、哲學(xué)社會(huì)科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)，出版?zhèn)€人專著《數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》。