陸慧潔

丹丹三角函數(shù)是一種簡單基本初等函數(shù).有時我們會遇到一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)問題，如含有指數(shù)式、 對數(shù)式、高次冪、多種類型函數(shù)的積式等，這時采用常 規(guī)方法求解，很難快速獲得問題的答案.此時不妨運用 導(dǎo)數(shù)法來解題，可達到化難為易的效果.下面，結(jié)合實例 探討一下如何巧妙運用導(dǎo)數(shù)法解答三類三角函數(shù)問 題.

一、三角函數(shù)單調(diào)性問題

三角函數(shù)的單調(diào)性問題十分常見，常見的命題形 式是根據(jù)已知三角函數(shù)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或判 斷函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性.在采用常規(guī)方法解題受 阻時，可考慮運用導(dǎo)數(shù)法.首先對三角函數(shù)式求導(dǎo)，并 令 f′（x0） = 0 ，求得其零點；然后用零點將函數(shù)的定義 域劃分為幾個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù) f′（x）與0 的大小關(guān)系；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之 間的關(guān)系進行判斷：若在某個子區(qū)間上 f′（x） < 0 ，則 函 數(shù) 在 該 區(qū) 間 上 單 調(diào) 遞 減 ；若 在 某 個 子 區(qū) 間 上 f′（x） > 0 ，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增.

一般地，若函數(shù) f （x） 在 x0 的左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè) 單調(diào)遞減，則 f （x0） 是函數(shù) f （x） 的極大值；若函數(shù) f （x） 在 x0 的左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增，則 f （x0） 是函數(shù) f （x） 的極小值.因此求函數(shù)的極值，關(guān)鍵是判 斷導(dǎo)函數(shù)在零點左右兩側(cè)的符號.

從上述例題中可以看出，運用導(dǎo)數(shù)法求解三角函 數(shù)問題的思路較為簡單，但解題過程中的運算量較大. 因此，一般可在解題受阻時，考慮運用導(dǎo)數(shù)法來解題.

（作者單位：江蘇省常州市北郊高級中學(xué)）