呂繼君

我們知道，曲線與方程的關系為：曲線上任意一 點的坐標都滿足曲線的方程，以方程的解為坐標的點 都在曲線上.用坐標法求曲線的軌跡方程，只需將數(shù)形 結(jié)合起來，將曲線問題轉(zhuǎn)化為點的坐標的問題，求滿 足曲線上任意一點坐標的方程.下面結(jié)合實例來進行 探討.

一、用坐標法求曲線的普通方程

用坐標法求曲線的普通方程的一般步驟為：（1）建立合適的平面直角坐標系；（2）設出動點的坐標，并建立等量關系；（3）將點的坐標代入等量關系式中，并將其化為最簡方程；（4）檢驗所得的方程，并將不符合條件的點去除.解題的關鍵是找到滿足動點的等量關系.

例1.

解：

由于無法判斷出圓心 P 的軌跡，不能用待定系數(shù)法求方程，只能用坐標法，根據(jù)關于點 P 的等量關系PA =PD =r ，建立關于動點坐標（x，y）的方程，即可求得曲線的普通方程.

例2.

解：

由于曲線 C1 的方程是參數(shù)方程，所以可以嘗試用 坐標法求曲線 C2 的軌跡方程.先設出P、M點的坐標； 然后根據(jù)點 P 和點 M 的關系：OP = 2 ?OM ，列出關于 動點P的坐標的方程，化簡該方程即可解題.

二、用坐標法求曲線的極坐標方程

用坐標法求曲線的極坐標方程，可以先求出其軌 跡的普通方程，然后再將其轉(zhuǎn)化為極坐標方程，但這 樣做的計算量較大.我們還可以嘗試，先建立極坐標系， 即以某一點為極點，其中一條直線為極軸；然后將各個 點用極坐標表示出來，并求得動點的極坐標或方程.

例3

解：

P 的極坐標為 （ρ，θ） ，其中涉及了長度和角度，通 常都要構造三角形，通過解三角形來求得問題的答案. 對于本題，需構造Rt△OAP，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出P 點軌跡的極坐標方程.

可見，不論是用坐標法求曲線的普通方程，還是 用坐標法求曲線的極坐標方程，其思路與過程基本一 致，而解題的關鍵都是要找到關于動點的等量關系， 建立關于動點的坐標的關系式.

本文為甘肅省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題 （課題立項號：GS[2022]GHBZ144）“新課程背景下通 過單元（主題）教學優(yōu)化高中數(shù)學課程結(jié)構的有效策 略研究”階段性成果.

（作者單位：甘肅省武威市天祝藏族自治縣第二中學）