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        從“平行線”走向“多邊形”

        2023-04-07 21:04:37許斌
        初中生世界·七年級 2023年3期
        關(guān)鍵詞:外角平行線多邊形

        許斌

        在“平面圖形的認識(一)”中,我們認識了線段、角,知道了平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行這兩種,還學(xué)習(xí)了相交情況下的特殊位置關(guān)系——垂直。通過“平面圖形的認識(二)”,我們將接觸平行線的判定及性質(zhì);認識平移,探索平移的性質(zhì);了解三角形的相關(guān)概念,探索三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和及多邊形的內(nèi)角和、外角和等。下面讓我們一起走進本章的內(nèi)容吧!

        一、平行線的判定、性質(zhì)及應(yīng)用

        上學(xué)期,我們通過兩直線相交形成夾角的特殊化,認識了垂直,知道了垂直的定義、判定及性質(zhì)等。如何判定兩直線平行呢?從定義的角度判定不現(xiàn)實。那么,能否類比垂直的研究,從相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系來認識呢?我們知道,兩條直線平行就意味著兩條直線的方向一致,而直線的方向可以通過夾角來刻畫。那么,角在哪兒呢?聰明的你一定想到了,畫一條直線分別與兩直線相交,此時會出現(xiàn)8個角,我們簡稱這樣的圖形為“三線八角”,如圖1所示。

        像∠1與∠5這樣的一對角,稱為同位角;∠3與∠5稱為內(nèi)錯角;∠4與∠5稱為同旁內(nèi)角。當(dāng)∠1=∠5或∠3=∠5或∠4+∠5=180°時,我們就可以判斷a∥b;反之,當(dāng)兩直線平行時,我們也添上一條截線,此時同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補,這就是平行線的性質(zhì)。從平行線的判定和性質(zhì)我們可以看出:幾何圖形中,數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系,位置關(guān)系也決定了數(shù)量關(guān)系。

        生活中廣泛存在“平移”的現(xiàn)象。在圖形平移的過程中,蘊含大量的平行線。通過觀察、實驗,我們可以發(fā)現(xiàn),平移前后對應(yīng)點連線、對應(yīng)線段平行且相等。利用平移的性質(zhì),我們可以解決一些實際問題。在此過程中,我們不僅能體會平移的應(yīng)用價值,還將提高分析問題、解決問題的能力。

        二、三角形與多邊形

        三角形是最簡單、最基礎(chǔ)的多邊形,生活中隨處可見。探索和掌握三角形的性質(zhì)可以幫助我們更好地認識現(xiàn)實世界,發(fā)展空間觀念。通過用小棒搭三角形的數(shù)學(xué)實驗,我們可以得到三角形的三邊關(guān)系:三角形任意兩邊之和大于第三邊。在小學(xué)我們就知道,三角形的三個內(nèi)角之和為180°,可如何確定這個事實呢?

        對數(shù)學(xué)的研究,我們不能停留在觀察的層面,還需要進行說理。解決這個問題,我們需要思考下面兩個問題:(1)180°會讓我們想到哪些學(xué)過的知識?(2)如何將三角形的三個內(nèi)角聚集?你有轉(zhuǎn)移等角的經(jīng)驗嗎?對,通過添加平行線可以實現(xiàn)將三角形的三個內(nèi)角聚集到一起,從而將其轉(zhuǎn)化為一個平角或平行線下的同旁內(nèi)角的圖形結(jié)構(gòu)。這樣,我們就可以說明任意一個三角形的三個內(nèi)角和為180°。怎么樣?有沒有感受到數(shù)學(xué)說理的強大力量?不論三角形的大小、形狀、位置如何,三個內(nèi)角和總是180°,這是一個不變的值。數(shù)學(xué)就是這樣好玩、奇妙!

        在認識三角形的基礎(chǔ)上,我們進一步推廣研究任意多邊形的內(nèi)角和問題。其實只要想辦法將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形就可以了,數(shù)學(xué)就是這樣一步一步向上生長的,這樣我們就得到了n(n≥3)邊形的內(nèi)角和公式:(n-2)·180°。根據(jù)多邊形的一個外角與其相鄰內(nèi)角的互補關(guān)系,我們又可以推出多邊形外角和的性質(zhì):任意多邊形的外角和為360°。這也是一個非常美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論,體現(xiàn)了幾何問題中“變中不變”的魅力。

        三、圖形學(xué)習(xí)的展望

        斜拉式大橋為什么采用三角形結(jié)構(gòu)?畫一個三角形的角平分線、中線、高時,我們發(fā)現(xiàn),三角形的三條角平分線所在的直線相交于一點,中線和高所在直線也有同樣的結(jié)論。如何用說理的方式說明其一定正確?特殊的三角形——等腰三角形和直角三角形又會有哪些特殊的性質(zhì)?兩個能完全重合的三角形稱為全等三角形,對于這個新的數(shù)學(xué)概念,我們又將從哪些方面研究?四邊形的學(xué)習(xí)我們又該如何展開?一個個問號縈繞在我們的腦海,一個個問題等待我們一起探究、發(fā)現(xiàn)!

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