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        “一邊一角”的構(gòu)造

        2023-03-31 21:59:53欒長(zhǎng)偉
        關(guān)鍵詞:補(bǔ)角延長(zhǎng)線易錯(cuò)

        欒長(zhǎng)偉

        “圖形與幾何”作為初中數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域之一,在整個(gè)初中學(xué)習(xí)過(guò)程中占較大比例,對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的合情推理與演繹推理至關(guān)重要. 其中,添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等在2022年全國(guó)各地中考試卷頻繁出現(xiàn),下面介紹使用“一邊一角”構(gòu)造全等的基本方法.

        [考點(diǎn)提煉]

        考點(diǎn)1:存在一組邊相等,這組邊上有一組相等的角,我們稱之為“一邊一等角”. 解題時(shí)常把這一組等邊和等角放在一個(gè)三角形中,去構(gòu)造另外一個(gè)三角形與之全等,常見(jiàn)的構(gòu)造方法有“SAS”和“AAS”

        解題思路:如圖1,若“BC = EF,∠B = ∠E”,則滿足“一邊一等角”條件,此時(shí)我們先把BC和∠B放到△ABC中,作DE = BA或者∠F = ∠C,則可以得到△DEF≌△ABC.

        易錯(cuò)點(diǎn):不是所有的三角形都適用,要根據(jù)具體問(wèn)題具體分析.另外,從尺規(guī)作圖角度考慮,在構(gòu)造全等時(shí),我們不去作∠D = ∠A,只作相等邊另一端的兩個(gè)角相等.

        解題要點(diǎn):首先確定是否滿足“一邊一等角”的條件,若滿足,則將這“一邊一等角”放入一個(gè)三角形中,再去構(gòu)造另外一個(gè)三角形與之全等,從而再利用全等得到的結(jié)論解決問(wèn)題.

        考點(diǎn)2:存在一組邊相等,這組邊上有一組互補(bǔ)的角,我們稱之為“一邊一補(bǔ)角”.解題時(shí)先將其中一個(gè)角的補(bǔ)角構(gòu)造出來(lái),轉(zhuǎn)化為“一邊一等角”解決問(wèn)題

        解題思路:如圖2,若“BC = EF,∠B + ∠DEF = 180°”,則滿足“一邊一補(bǔ)角”條件,此時(shí)我們先延長(zhǎng)DE,再把BC和∠B放到△ABC中,作EG = BA或者∠EFG = ∠C,則可以得到△EFG≌△BCA.

        易錯(cuò)點(diǎn):構(gòu)造一角的補(bǔ)角就是反向延長(zhǎng)這個(gè)角的兩條邊,共有兩種延長(zhǎng)方法,但是只有一種是可行的,即延長(zhǎng)后得到的相等的角的一邊是已知等邊.

        解題要點(diǎn):關(guān)鍵在于將“一邊一補(bǔ)角”轉(zhuǎn)化為“一邊一等角”,即選擇合適的作補(bǔ)角的方式.

        [真題精講]

        例1 (2022·遼寧·大連)綜合與實(shí)踐.

        問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,王老師出示了一個(gè)問(wèn)題:

        如圖3,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),∠ADC = ∠ACB. 求證∠ACD = ∠ABC.

        獨(dú)立思考:(1)請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題.

        實(shí)踐探究:(2)在原有問(wèn)題條件不變的情況下,王老師增加下面的條件,并提出新問(wèn)題,請(qǐng)你解答.

        如圖2,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E,使CE = BD,BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,點(diǎn)G,H分別在BF,BC上,BG = CD,∠BGH = ∠BCF. 在圖中找出與BH相等的線段,并證明.

        第二問(wèn)思路分析:

        1.本題中有三組等邊:CE = BD,BG = CD,BH = EF(待證);

        2.直接可用的兩組等角,如圖5,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,與已知兩組等邊分別構(gòu)成“一邊一角”形;

        3.由∠3 = ∠4,可以進(jìn)一步得到一個(gè)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形FGHC,進(jìn)而可以得到兩組等角,與待證BH = EF構(gòu)成“一邊一角”形.

        4.由∠ADC = ∠ACB,還可以得到∠BDC = ∠ECP,與CE = BD構(gòu)成“一邊一角”形.

        5.綜合以上條件不難發(fā)現(xiàn),此題滿足全等證明方法“一邊一角”的條件.

        解題方法呈現(xiàn)(如表1、表2):

        [總結(jié)提升]

        中考幾何試題的核心是通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等,基本上分為兩類,一類是變換,另一類就是“一邊一角”構(gòu)造,其中后者更為常見(jiàn). 在“一邊一角”的應(yīng)用過(guò)程中,解題關(guān)鍵是選擇適合的三角形. 我們要本著可以“轉(zhuǎn)化”所求為目的,即通過(guò)全等構(gòu)造能使已知條件或者所求結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這就是“一邊一角”構(gòu)造的核心所在.

        [專題精練]

        例2 如圖7,在△ABC中,D是BC上一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,BE = AC,∠CED = ∠DBE - ∠ACE, 寫出圖中與DE相等的線段并說(shuō)明理由.

        解法1:已知一邊(BE = AC) + 一角(∠3 = ∠4) + 目標(biāo)△AEC. 如圖8,在CB延長(zhǎng)線上截取BH = AE,

        ∵∠1 = ∠ACE + ∠2,∠1 + ∠3 = 180°,

        ∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°,

        ∴∠3 = ∠4,∴△BEH ≌ △ACE,∴EH = CE,∠H = ∠2,

        ∴∠H = ∠BCE,∴∠2 = ∠BCE,∴DE = CD.

        解法2:已知一邊(BE = AC) + 一角(∠1 = ∠3) + 目標(biāo)△BCE.

        如圖9,在EA延長(zhǎng)線上截取AH = BC,

        ∵∠1 = ∠ACE + ∠2,∠4 + ∠3 = 180°,

        ∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°,

        ∴∠1 = ∠3,∴△BEC≌△ACH,∴CE = CH,∠H = ∠BCE,

        ∴∠H = ∠2,∴∠2 = ∠BCE,∴ED = CD.

        解法3:已知一邊(BE = AC) + 一角(∠1 = ∠3) + 目標(biāo)△BED.

        如圖10,在EA延長(zhǎng)線上截取AH = BD,

        ∵∠1 = ∠ACE + ∠2,∠4 + ∠3 = 180°,

        ∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°,

        ∴∠1 = ∠3,∴△BED≌△ACH,

        ∴ED = CH,∠H = ∠BDE,

        ∴∠H = ∠HDC,∴CD = CH,∴DE = CD.

        解法4:已知一邊(BE = AC) + 一角(∠3 = ∠4) + 目標(biāo)△ACD.

        如圖11,在CB延長(zhǎng)線上截取BH = AD,

        ∵∠1 = ∠ACE + ∠2,∠1 + ∠3 = 180°,

        ∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°.

        ∴∠4 = ∠3,∴△ACD ≌ △BEH,∴HE = CD,∠H = ∠ADC,

        ∴∠H = ∠HDE,∴HE = ED,∴DE = CD.

        解法5:已知一邊(BD = CD) + 一角(∠EDH = ∠CDA) + 目標(biāo)△ACD.

        如圖12,以E為圓心,EB為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)H,連接EH,

        ∴∠1 = ∠BHE,BE = HE = AC,

        ∵∠1 = ∠ACE + ∠2,∠1 + ∠3 = 180°,∠ACE + ∠2 + ∠4 = 180°,

        ∴∠4 = ∠3,∴△ADC≌△HDE,∴DE = CD.

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