黃明月

［摘? 要］ 將數(shù)學(xué)史有機(jī)滲透在教學(xué)中，不僅能讓知識(shí)的建構(gòu)更和諧，還能給學(xué)生帶來(lái)探究樂(lè)趣，拓寬學(xué)生的視野，實(shí)現(xiàn)德育教育，為提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ). 文章以“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)為例，分別談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)史融入章節(jié)起始課教學(xué)、概念教學(xué)與解題教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)史；概率與統(tǒng)計(jì)；融入方法

數(shù)學(xué)史是一個(gè)巨大的寶藏，蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)演進(jìn)過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法以及科學(xué)精神等，它對(duì)揭示數(shù)學(xué)文化，促進(jìn)人類文明進(jìn)步具有重要意義. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出：教師應(yīng)在教學(xué)活動(dòng)中有意識(shí)地將數(shù)學(xué)文化滲透在教學(xué)內(nèi)容中，讓學(xué)生了解知識(shí)的形成歷程，充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)在科技、社會(huì)發(fā)展中的作用，以發(fā)展學(xué)生的人文素養(yǎng)、應(yīng)用意識(shí)與科學(xué)精神等［1］.

融入方法

將數(shù)學(xué)史有機(jī)滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能讓知識(shí)的建構(gòu)更和諧，還能給學(xué)生帶來(lái)探究樂(lè)趣，拓寬學(xué)生的視野，實(shí)現(xiàn)德育教育，為提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ). 那么，怎樣可將數(shù)學(xué)史融入課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)呢？

國(guó)外不少學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中Fauvel提出了如下融入方法：①介紹數(shù)學(xué)家小故事；②借助數(shù)學(xué)史引入概念；③引導(dǎo)學(xué)生分析以概念為答案的數(shù)學(xué)史問(wèn)題；④進(jìn)行數(shù)學(xué)史課程的講授；⑤舉辦以數(shù)學(xué)史為主題的活動(dòng). Arcavi與Tzanakis共同總結(jié)出數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三種應(yīng)用方式：①直接提供史料信息；②借助數(shù)學(xué)史實(shí)施教學(xué)；③開(kāi)發(fā)社會(huì)文化背景［2］. Jankvist提出了模塊法、啟發(fā)法與歷史法三種.

基于以上幾種理念，我國(guó)學(xué)者對(duì)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的方法進(jìn)行了改進(jìn)與整合，提出復(fù)制式、附加式、重構(gòu)式、順應(yīng)式等方法（見(jiàn)表1）. 這為一線教師提供了滲透數(shù)學(xué)史的方法指導(dǎo).

融入措施

1. 將數(shù)學(xué)史融入章節(jié)起始課

章節(jié)起始課具有統(tǒng)領(lǐng)一個(gè)章節(jié)的重要作用. 章節(jié)起始課的教學(xué)，需要讓學(xué)生明確如下幾個(gè)問(wèn)題：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這部分知識(shí)？這部分知識(shí)具有怎樣的價(jià)值？這部分內(nèi)容的研究思想與方法、歷史變遷及發(fā)展過(guò)程是什么？我們?nèi)绾螌W(xué)好這部分知識(shí)？等等. 教師從這幾個(gè)問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)與計(jì)劃，能讓章節(jié)起始課發(fā)揮相應(yīng)的作用.

案例1 章節(jié)起始課的教學(xué).

17世紀(jì)，梅累向法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出這樣一個(gè)問(wèn)題：我與兩個(gè)朋友在玩牌時(shí)，制定了這樣一個(gè)規(guī)則，即開(kāi)五局，誰(shuí)先贏得三局，誰(shuí)就勝了，贏的人能夠獲得100法郎. 賽完三局，我贏了兩局，一個(gè)朋友贏了一局，這時(shí)因?yàn)椴豢煽挂蛩貙?dǎo)致比賽必須中止，請(qǐng)問(wèn)我們?cè)撛鯓臃峙溥@100法郎比較公平呢？

這個(gè)問(wèn)題難住了帕斯卡. 在后來(lái)的三年中，他與數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬一起探討這個(gè)問(wèn)題，最終獲得了問(wèn)題的解決方法. 自此，概率論這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支形成了.

該史料風(fēng)趣、幽默，學(xué)生不僅知道了概率論的形成史，還對(duì)這部分知識(shí)產(chǎn)生了濃厚的探索欲. 如果說(shuō)概率的起源讓學(xué)生感到有趣，那么帕斯卡的鉆研讓學(xué)生真真切切地體驗(yàn)到了科學(xué)精神. 如今的概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用十分廣泛，普及在生活的方方面面，誰(shuí)也沒(méi)想到它的由來(lái)竟然跟一場(chǎng)賭博有關(guān).

由上可知，將數(shù)學(xué)史融入章節(jié)起始課，可激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索欲，讓學(xué)生明確這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)價(jià)值與意義是什么，也為學(xué)生形成正向的數(shù)學(xué)觀與人生觀奠定基礎(chǔ).

2. 將數(shù)學(xué)史融入概念教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)的基石. 每個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，然而有些教師在教學(xué)中“重解題，輕概念”，這種行為嚴(yán)重阻礙著學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與技能的發(fā)展. 想要讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，首先就要讓學(xué)生明確各個(gè)概念的內(nèi)涵與外延.

在“概率與統(tǒng)計(jì)”章節(jié)中，有不少概念都源于生活實(shí)際中的實(shí)物模型或問(wèn)題，有些概念的形成與發(fā)展經(jīng)歷過(guò)不少挫折，教師若將這些史料展示給學(xué)生，會(huì)讓學(xué)生充分感到每一個(gè)概念的來(lái)之不易，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，啟動(dòng)數(shù)學(xué)思維. 事實(shí)證明，結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行概念教學(xué)，可讓學(xué)生領(lǐng)略到知識(shí)的發(fā)展歷程，在概念的來(lái)龍去脈的探索中理解知識(shí)本質(zhì)，為新知的建構(gòu)服務(wù).

案例2 “正態(tài)分布”的教學(xué).

在生活中，我們常會(huì)做一些測(cè)量活動(dòng)，如果測(cè)量工具的精準(zhǔn)度不夠，那么誤差就會(huì)偏大. 為了減小誤差，一般會(huì)選擇多次測(cè)量來(lái)獲取更多的數(shù)據(jù)，便于提高數(shù)據(jù)的預(yù)估值. 鑒于測(cè)量誤差存在較大的隨機(jī)性特征，數(shù)學(xué)家高斯在1809年提出用“正態(tài)分布”來(lái)刻畫(huà)測(cè)量的誤差. 因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布，由于它的形狀類似于鐘，又被稱為“鐘形曲線”.

正態(tài)分布反映了一種極其普遍的現(xiàn)象，多數(shù)情況下以“兩頭低、中間高”的形態(tài)呈現(xiàn). 其實(shí)，生活中有很多看似毫無(wú)規(guī)律可言的數(shù)據(jù)，比如人的身高、體重，大批量產(chǎn)品的質(zhì)量，等等，都具有正態(tài)分布的特點(diǎn)，這也體現(xiàn)了紛亂中的秩序性特征.

為了紀(jì)念高斯在這方面所作出的貢獻(xiàn)，德國(guó)10馬克的錢(qián)幣上不僅印有高斯的頭像，還將正態(tài)曲線印制在上面.

高斯與正態(tài)分布的故事成功吸引了學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的起源、發(fā)展等有了明確的認(rèn)識(shí)，從而對(duì)這個(gè)概念產(chǎn)生了莫名的親近感. 一部分學(xué)生課后還特地搜索德國(guó)10馬克的紙幣來(lái)觀察，拓展知識(shí)面的同時(shí)促進(jìn)了思維的發(fā)展.

3. 將數(shù)學(xué)史融入習(xí)題教學(xué)

從數(shù)學(xué)史本身來(lái)說(shuō)，它就是一個(gè)巨大的問(wèn)題庫(kù)，我們所熟悉的勾股定理在各個(gè)文明古國(guó)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都載有與之相關(guān)的問(wèn)題，教師授課時(shí)可結(jié)合學(xué)情從中擇取應(yīng)用. 如《九章算術(shù)》中就有這樣一句話：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，適與岸齊. 問(wèn)水深葭長(zhǎng)各幾何？”

教師將此類問(wèn)題應(yīng)用在教學(xué)中，一方面能培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，另一方面能激發(fā)學(xué)生的想象力，讓學(xué)生感知“數(shù)學(xué)源于生活且服務(wù)于生活”的理念. 同時(shí)充分感到我們當(dāng)前所接觸到的定理、規(guī)律、法則等都是數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)思考、創(chuàng)新、總結(jié)而來(lái)的.

案例3 “圓周率π”的求解.

與圓周率π相關(guān)的數(shù)學(xué)史料比較豐富，其中不乏一些很有創(chuàng)意的求解方法，比如“布豐投針實(shí)驗(yàn)”：“在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家布豐提出一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)一塊地板上的木紋平行且等距，在這塊地板上隨意拋一根長(zhǎng)度小于木紋距離的針，這根針與其中一條木紋相交的概率是多少？”

布豐提出的這個(gè)“隨機(jī)投針實(shí)驗(yàn)”，是估算圓周率π的重要方法之一——?dú)v史上不少人用這個(gè)方法估算出圓周率在3.14左右. 該實(shí)驗(yàn)的價(jià)值并不在于獲得了π的近似值，而是強(qiáng)化用幾何法求概率. “布豐投針實(shí)驗(yàn)”開(kāi)創(chuàng)了用隨機(jī)數(shù)據(jù)處理確定性問(wèn)題的先河，屬于用偶然性方法解決確定性問(wèn)題的鼻祖.

受上述數(shù)學(xué)史的啟發(fā)，教師可要求每一個(gè)學(xué)生隨機(jī)寫(xiě)一個(gè)正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）（x，y都是小于1的正實(shí)數(shù)），統(tǒng)計(jì)x，y兩數(shù)能夠和1構(gòu)成鈍角三角形的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)m，而后根據(jù)m估算π的近似值.

總之，借助數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課改的必然趨勢(shì)，也是值得每一個(gè)教師都關(guān)注的主題. 將數(shù)學(xué)史有機(jī)融入“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)，可讓學(xué)生充分領(lǐng)略“概率與統(tǒng)計(jì)”相關(guān)知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系，提升學(xué)生的人格品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 吳文俊，沈康身. 中國(guó)數(shù)學(xué)史大系·第二卷［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，1998.