?甘肅省民樂縣第一中學 李運財
高考數(shù)學與高等數(shù)學知識之間的聯(lián)系與過渡,是新課標高考數(shù)學命題的一個常見考點.特別如高等數(shù)學中的極限思想、高斯函數(shù)、函數(shù)的凹凸性、不動點定理等,都是高考命題的熱點.通過高中數(shù)學與高等數(shù)列之間的接軌,創(chuàng)設情境,合理設置,有機過渡,無縫鏈接,是近年高考數(shù)學命題中的一個創(chuàng)新亮點,倍受各方關注.
極限思想是高等數(shù)學中最基本的思想方法之一,在高中數(shù)學中也經(jīng)常用到,主要應用體現(xiàn)在兩個方面:一是利用極限思想理解題意與解決問題;二是利用洛必達法則將較難求解的問題簡單化.
分析:根據(jù)題目條件中給出的方法加以類比思維,通過對應的分式關系式加以合理設參,建立有關參數(shù)的二次方程,結合方程的求解與解的取值限制來確定對應分式關系式的定值問題.
點評:借助極限思想,巧妙將代數(shù)關系式的“無限”次重復與代數(shù)式定值的“有限”取值加以合理聯(lián)系,通過函數(shù)與方程思想的轉化加以分析與求解,合理接軌高等數(shù)學與高考命題中的相關知識,巧妙設置.
以高等數(shù)學中的特殊函數(shù)為創(chuàng)新問題背景,如高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號函數(shù)、特征函數(shù)等,結合函數(shù)的基本概念、基本性質、創(chuàng)新定義以及創(chuàng)新應用,理解并挖掘函數(shù)的實質,是高等數(shù)學與高中數(shù)學之間的一大橋梁.通過高等數(shù)學知識與高中熟悉的函數(shù)進行合理類比,拓展提升.
例2(2021屆遼寧省丹東一模)(多選題)函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù),也稱高斯函數(shù),其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),例如[1.2]=1,[-1.2]=-2等,該函數(shù)被廣泛應用于數(shù)學和計算機等領域.關于函數(shù)y=[x],正確的結論是( ).
A.[-x]=-[x]-1
B.若x1 C.若0≤x<1,則[x]+[x+0.5]=[2x] D.[x1+x2]≤[x1]+[x2] 分析:根據(jù)題目條件中的高斯函數(shù),通過邏輯推理以及不等式的性質,結合取整函數(shù)的性質依次加以分類討論,綜合分段函數(shù)的性質與應用來判斷相應的結論. 解析:根據(jù)題意,依次分析以下選項. 對于選項A,當x=0時,有[-0]=[0]=0,故選項A錯誤. 對于選項B,若x1 對于選項C,設[x]=x-a,[x]+[x+0.5]=[x]+[[x]+a+0.5]=2[x]+[a+0.5]. 當a∈[0,0.5)時,a+0.5∈[0.5,1),則[x]+[x+0.5]=2[x],[2x]=[2[x]+2a],由a∈[0,0.5),得2a∈[0,1),所以[2x]=[2[x]+2a]=2[x]=[x]+[x+0.5]; 當a∈[0.5,1)時,a+0.5∈[1,1.5),則[x]+[x+0.5]=2[x]+1,[2x]=[2[x]+2a],因為a∈[0.5,1),所以2a∈[1,2),于是[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+1=[x]+[x+0.5].故選項C正確. 對于選項D,當x1=0.9,x2=0.3時,[x1+x2]=[1.2]=1,[x1]+[x2]=0.故選項D錯誤. 故選擇答案:BC. 點評:借助高斯函數(shù)的創(chuàng)新定義,結合取整性質以及分段函數(shù)、不等式的性質等,合理應用邏輯推理與代數(shù)運算,通過關系式的變形與轉化,合理接軌高等數(shù)學與高考命題中的函數(shù)知識,創(chuàng)新應用. 函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學中的重要概念與性質,其主要表現(xiàn)函數(shù)值增減的快慢,體現(xiàn)導函數(shù)的幾何意義.經(jīng)??梢岳枚A導數(shù)來新定義凹凸函數(shù)問題.若二階導數(shù)在所給定的區(qū)間上恒為負值,則說明函數(shù)是凸函數(shù),否則函數(shù)不是凸函數(shù). A.f(x)=sinx-cosxB.f(x)=lnx-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x 分析:根據(jù)題目條件中給出的凸函數(shù)的創(chuàng)新定義,結合各選項中函數(shù)的二次求導以及二階導函數(shù)在給定區(qū)間上的取值情況,判斷二階導函數(shù)值是否恒小于0.可以通過特例確定矛盾,也可以結合函數(shù)圖象與性質來分析等. 故選擇:BC. 點評:借助高等數(shù)學中函數(shù)凹凸性的創(chuàng)新定義,綜合高中數(shù)學中一些基本初等函數(shù)模型,通過求導運算,綜合函數(shù)圖象與性質的應用,挖掘內(nèi)涵,巧妙處理,實現(xiàn)高等數(shù)學與高考命題中基本初等函數(shù)之間的鏈接與接軌. 不動點定理是高等數(shù)學中的一個重要定理,在高中數(shù)學中也經(jīng)常涉及.破解此類與不動點定理有關問題的關鍵點為:一是注意“定義域優(yōu)先原則”;二是會“分類討論”處理;三是會“化歸與轉化”. 例4設I是函數(shù)y=f(x)的定義域,若存在x0∈I,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”,則實數(shù)a的取值范圍是( ). A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.[-1,1] 分析:根據(jù)題目條件中“次不動點”的創(chuàng)新定義,將函數(shù)問題轉化為方程有解問題,結合函數(shù)的構造、導數(shù)的應用,利用函數(shù)的單調性來分析與處理,進而分類討論確定參數(shù)的取值范圍. 解析:因為函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”,所以ax3-3x2-x+1=-x在R上有三個解,即ax3-3x2+1=0在R上有三個解. 構造函數(shù)g(x)=ax3-3x2+1,則求導可得g′(x)=3ax2-6x. 綜上分析,實數(shù)a的取值范圍是(-2,0)∪(0,2). 故選擇答案:A. 點評:借助高等數(shù)學中不動點定理的創(chuàng)新定義,在定義域優(yōu)先背景中研究函數(shù)的單調性,借助導數(shù)法的應用,合理分類討論,并把函數(shù)問題轉化為對應的方程或零點問題來分析與處理,巧妙轉化,建立高等數(shù)學與高考命題中函數(shù)之間的聯(lián)系. 巧妙借助高等數(shù)學中的相關知識,結合高中數(shù)學中的知識加以合理設置與命題,是高考數(shù)學命題者非常青睞的一大方向.合理鏈接高等數(shù)學,結合高中數(shù)學,挖掘知識內(nèi)涵,提升知識的深度與廣度,有利于培養(yǎng)學生探究、創(chuàng)新能力,也為高校選拔人才的知識與能力儲備,以及學習方向提供引領與指導,全面提升能力,培養(yǎng)核心素養(yǎng).3 函數(shù)的凹凸性
4 不動點定理