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        鏈接高等數(shù)學(xué),合理巧妙設(shè)置

        2023-03-27 13:29:12甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)李運(yùn)財(cái)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年5期
        關(guān)鍵詞:凹凸不動(dòng)點(diǎn)高斯

        ?甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué) 李運(yùn)財(cái)

        高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與過(guò)渡,是新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn).特別如高等數(shù)學(xué)中的極限思想、高斯函數(shù)、函數(shù)的凹凸性、不動(dòng)點(diǎn)定理等,都是高考命題的熱點(diǎn).通過(guò)高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)列之間的接軌,創(chuàng)設(shè)情境,合理設(shè)置,有機(jī)過(guò)渡,無(wú)縫鏈接,是近年高考數(shù)學(xué)命題中的一個(gè)創(chuàng)新亮點(diǎn),倍受各方關(guān)注.

        1 極限思想

        極限思想是高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一,在高中數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到,主要應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是利用極限思想理解題意與解決問(wèn)題;二是利用洛必達(dá)法則將較難求解的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

        分析:根據(jù)題目條件中給出的方法加以類比思維,通過(guò)對(duì)應(yīng)的分式關(guān)系式加以合理設(shè)參,建立有關(guān)參數(shù)的二次方程,結(jié)合方程的求解與解的取值限制來(lái)確定對(duì)應(yīng)分式關(guān)系式的定值問(wèn)題.

        點(diǎn)評(píng):借助極限思想,巧妙將代數(shù)關(guān)系式的“無(wú)限”次重復(fù)與代數(shù)式定值的“有限”取值加以合理聯(lián)系,通過(guò)函數(shù)與方程思想的轉(zhuǎn)化加以分析與求解,合理接軌高等數(shù)學(xué)與高考命題中的相關(guān)知識(shí),巧妙設(shè)置.

        2 高斯函數(shù)

        以高等數(shù)學(xué)中的特殊函數(shù)為創(chuàng)新問(wèn)題背景,如高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、特征函數(shù)等,結(jié)合函數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)、創(chuàng)新定義以及創(chuàng)新應(yīng)用,理解并挖掘函數(shù)的實(shí)質(zhì),是高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)之間的一大橋梁.通過(guò)高等數(shù)學(xué)知識(shí)與高中熟悉的函數(shù)進(jìn)行合理類比,拓展提升.

        例2(2021屆遼寧省丹東一模)(多選題)函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù),也稱高斯函數(shù),其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),例如[1.2]=1,[-1.2]=-2等,該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域.關(guān)于函數(shù)y=[x],正確的結(jié)論是( ).

        A.[-x]=-[x]-1

        B.若x1

        C.若0≤x<1,則[x]+[x+0.5]=[2x]

        D.[x1+x2]≤[x1]+[x2]

        分析:根據(jù)題目條件中的高斯函數(shù),通過(guò)邏輯推理以及不等式的性質(zhì),結(jié)合取整函數(shù)的性質(zhì)依次加以分類討論,綜合分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用來(lái)判斷相應(yīng)的結(jié)論.

        解析:根據(jù)題意,依次分析以下選項(xiàng).

        對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x=0時(shí),有[-0]=[0]=0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

        對(duì)于選項(xiàng)B,若x1

        對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)[x]=x-a,[x]+[x+0.5]=[x]+[[x]+a+0.5]=2[x]+[a+0.5].

        當(dāng)a∈[0,0.5)時(shí),a+0.5∈[0.5,1),則[x]+[x+0.5]=2[x],[2x]=[2[x]+2a],由a∈[0,0.5),得2a∈[0,1),所以[2x]=[2[x]+2a]=2[x]=[x]+[x+0.5];

        當(dāng)a∈[0.5,1)時(shí),a+0.5∈[1,1.5),則[x]+[x+0.5]=2[x]+1,[2x]=[2[x]+2a],因?yàn)閍∈[0.5,1),所以2a∈[1,2),于是[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+1=[x]+[x+0.5].故選項(xiàng)C正確.

        對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x1=0.9,x2=0.3時(shí),[x1+x2]=[1.2]=1,[x1]+[x2]=0.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

        故選擇答案:BC.

        點(diǎn)評(píng):借助高斯函數(shù)的創(chuàng)新定義,結(jié)合取整性質(zhì)以及分段函數(shù)、不等式的性質(zhì)等,合理應(yīng)用邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算,通過(guò)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,合理接軌高等數(shù)學(xué)與高考命題中的函數(shù)知識(shí),創(chuàng)新應(yīng)用.

        3 函數(shù)的凹凸性

        函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)中的重要概念與性質(zhì),其主要表現(xiàn)函數(shù)值增減的快慢,體現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.經(jīng)??梢岳枚A導(dǎo)數(shù)來(lái)新定義凹凸函數(shù)問(wèn)題.若二階導(dǎo)數(shù)在所給定的區(qū)間上恒為負(fù)值,則說(shuō)明函數(shù)是凸函數(shù),否則函數(shù)不是凸函數(shù).

        A.f(x)=sinx-cosxB.f(x)=lnx-2x

        C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x

        分析:根據(jù)題目條件中給出的凸函數(shù)的創(chuàng)新定義,結(jié)合各選項(xiàng)中函數(shù)的二次求導(dǎo)以及二階導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的取值情況,判斷二階導(dǎo)函數(shù)值是否恒小于0.可以通過(guò)特例確定矛盾,也可以結(jié)合函數(shù)圖象與性質(zhì)來(lái)分析等.

        故選擇:BC.

        點(diǎn)評(píng):借助高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性的創(chuàng)新定義,綜合高中數(shù)學(xué)中一些基本初等函數(shù)模型,通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算,綜合函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,挖掘內(nèi)涵,巧妙處理,實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與高考命題中基本初等函數(shù)之間的鏈接與接軌.

        4 不動(dòng)點(diǎn)定理

        不動(dòng)點(diǎn)定理是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理,在高中數(shù)學(xué)中也經(jīng)常涉及.破解此類與不動(dòng)點(diǎn)定理有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)為:一是注意“定義域優(yōu)先原則”;二是會(huì)“分類討論”處理;三是會(huì)“化歸與轉(zhuǎn)化”.

        例4設(shè)I是函數(shù)y=f(x)的定義域,若存在x0∈I,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

        A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2)

        C.(-1,0)∪(0,1) D.[-1,1]

        分析:根據(jù)題目條件中“次不動(dòng)點(diǎn)”的創(chuàng)新定義,將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題,結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)分析與處理,進(jìn)而分類討論確定參數(shù)的取值范圍.

        解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,所以ax3-3x2-x+1=-x在R上有三個(gè)解,即ax3-3x2+1=0在R上有三個(gè)解.

        構(gòu)造函數(shù)g(x)=ax3-3x2+1,則求導(dǎo)可得g′(x)=3ax2-6x.

        綜上分析,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0)∪(0,2).

        故選擇答案:A.

        點(diǎn)評(píng):借助高等數(shù)學(xué)中不動(dòng)點(diǎn)定理的創(chuàng)新定義,在定義域優(yōu)先背景中研究函數(shù)的單調(diào)性,借助導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用,合理分類討論,并把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程或零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)分析與處理,巧妙轉(zhuǎn)化,建立高等數(shù)學(xué)與高考命題中函數(shù)之間的聯(lián)系.

        巧妙借助高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí),結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的知識(shí)加以合理設(shè)置與命題,是高考數(shù)學(xué)命題者非常青睞的一大方向.合理鏈接高等數(shù)學(xué),結(jié)合高中數(shù)學(xué),挖掘知識(shí)內(nèi)涵,提升知識(shí)的深度與廣度,有利于培養(yǎng)學(xué)生探究、創(chuàng)新能力,也為高校選拔人才的知識(shí)與能力儲(chǔ)備,以及學(xué)習(xí)方向提供引領(lǐng)與指導(dǎo),全面提升能力,培養(yǎng)核心素養(yǎng).

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