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        例談極值點偏移問題的處理方略

        2023-03-27 13:29:04安徽省安慶市宿松縣花涼中學(xué)張瓊琴
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年5期
        關(guān)鍵詞:鄰里考題極值

        ?安徽省安慶市宿松縣花涼中學(xué) 張瓊琴

        1 考題呈現(xiàn)

        問題(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        2 極值點偏移的判定

        定理對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)唯一一個極大值點(或極小值點)x0,且存在x1,x2是函數(shù)y=f(x)的兩個零點,其中a

        以推進(jìn)志愿服務(wù)制度化工作為抓手,以打造和諧文明社區(qū)為目標(biāo),積極開展“鄰里守望”系列活動,進(jìn)一步提高居民文明素質(zhì),促進(jìn)家庭和睦、鄰里和諧,營造近鄰勝遠(yuǎn)親的良好人際關(guān)系和團(tuán)結(jié)友愛、文明祥和的良好氛圍。

        3 方法總結(jié)

        通過對判定定理的證明,我們可得出處理極值點偏移問題的基本步驟及方法:

        (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)情況并求出其極值點x0.

        (2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x).

        以x1+x2>2x0的情況為例,即x2>2x0-x1,其中a

        (3)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x)的單調(diào)性.

        4 考題解答

        解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x)=1-lnx-1=-lnx.

        所以,當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.

        故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+∞).

        因為x∈(0,1)時,f(x)=x·(1-lnx)>0,x∈(e,+∞)時,f(x)<0,所以1

        圖1

        先證x1+x2>2.

        若x2≥2,則x1+x2>2必成立.

        若x2<2,要證x1+x2>2,即證x1>2-x2,而0<2-x2<1,故即證f(x1)>f(2-x2),即證f(x2)>f(2-x2),其中1

        設(shè)g(x)=f(x)-f(2-x),1

        因為10,即g′(x)>0,故g(x)在(1,2)上為增函數(shù).所以g(x)>g(1)=0,故f(x)>f(2-x),即f(x2)>f(2-x2)成立,因此x1+x2>2成立.

        綜上,x1+x2>2成立.

        再證x1+x2

        因為x2>1,所以1f(e-x1),而f(x1)=f(x2),從而只需要證明f(x1)>f(e-x1)即可.

        設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-f(e-x)(0

        5 解題反思

        總之,高考命題雖然??汲P?,但只要我們明確常考類型、透析命題原理、精通相應(yīng)的處理方法,即可“以不變應(yīng)萬變”.

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