?廣州市海珠區(qū)教育發(fā)展研究院 王桂芹

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1].

可以說(shuō)，抓住核心素養(yǎng)就等于抓住了新課程的“鼻子”.下面筆者就如何在課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)談幾點(diǎn)自己的學(xué)習(xí)和思考.

1 教學(xué)目標(biāo)的制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)目標(biāo)的制定時(shí)，要充分關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.首先，要充分思考本節(jié)課、本主題中蘊(yùn)含了哪些核心素養(yǎng)，將其“孕育點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)”挖掘出來(lái)；其次，要思考將核心素養(yǎng)的“孕育點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)”融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程的載體及教學(xué)策略，思考如何通過(guò)教學(xué)活動(dòng)潛移默化地讓核心素養(yǎng)在學(xué)生的思考和行為方式中生根、發(fā)芽、成長(zhǎng).

案例1人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))第五章“5.2.1三角函數(shù)的概念”教學(xué)目標(biāo)及目標(biāo)解析.

教學(xué)目標(biāo)：

(1)通過(guò)實(shí)例，了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系；

(2)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程，理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

(3)能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：

(1)學(xué)生在經(jīng)歷“周期現(xiàn)象—?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)—單位圓上影響點(diǎn)的坐標(biāo)因素分析”的探索中理解點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系定義為三角函數(shù)，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到發(fā)展.

(2)能體會(huì)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)是“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象的幾何模型，三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的代數(shù)模型.

(3)能根據(jù)定義求給定角的三角函數(shù)值,數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到發(fā)展.

評(píng)析：本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確了核心素養(yǎng)的“孕育點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)”在三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程中,所以要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在求特殊角的三角函數(shù)值的過(guò)程中經(jīng)歷三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程,而不是教師直接講給學(xué)生聽(tīng)；要讓學(xué)生根據(jù)定義自己計(jì)算,而不能教師算,學(xué)生看.

2 恰當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展不是在單一的情境下就能實(shí)現(xiàn)的,通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中，通過(guò)個(gè)體與情境的有效互動(dòng)生成的，可見(jiàn)核心素養(yǎng)的形成與情境有著密不可分的關(guān)系.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫撑c問(wèn)題,教師要做到以下幾點(diǎn)：

(1)突出數(shù)學(xué)本質(zhì).創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，圍繞要建構(gòu)的核心概念、原理和要解決的問(wèn)題及其思維方式創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題.

(2)創(chuàng)設(shè)的情境要合適.結(jié)合教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知范圍、認(rèn)知能力、年齡特點(diǎn)的情境和問(wèn)題，包括現(xiàn)實(shí)的、數(shù)學(xué)的、科學(xué)的情境和問(wèn)題.

(3)創(chuàng)設(shè)情境和提出問(wèn)題需要較高的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，比較寬闊的知識(shí)視野，教師需要不斷提升自身的專(zhuān)業(yè)水平和綜合素養(yǎng)，了解數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.

案例2人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第二冊(cè))第五章“5.1.1變化率問(wèn)題”.

問(wèn)題1在一次跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？

(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究1瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系?你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1 s,2 s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎?

思考:如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過(guò)程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度?

問(wèn)題2我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與該圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？下面我們以拋物線y=x2為例進(jìn)行研究.

探究2你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線y=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線？

探究3我們知道,斜率是確定直線的一個(gè)要素,如何求拋物線y=x2在點(diǎn)P0(1,1)處切線的斜率呢?

評(píng)析：本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)讓學(xué)生充分經(jīng)歷用平均速度“逼近”瞬時(shí)速度的過(guò)程，理解瞬時(shí)速度就是平均速度的極限;充分經(jīng)歷曲線上經(jīng)過(guò)某點(diǎn)處的割線斜率“無(wú)限趨近于”該點(diǎn)處切線斜率的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的理解，體會(huì)極限思想.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的同時(shí),導(dǎo)數(shù)概念的建構(gòu)便也水到渠成.

3 指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)不同的內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)，在教學(xué)的重點(diǎn)和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，設(shè)計(jì)切實(shí)可行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷、參與和體會(huì)用數(shù)學(xué)的思維、語(yǔ)言、眼光解決問(wèn)題的方法途徑，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

3.1 讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建概念、發(fā)現(xiàn)原理的過(guò)程

數(shù)學(xué)概念是反映一類(lèi)事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的思維形式，是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的簡(jiǎn)明、概括的反映，是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，是過(guò)程與對(duì)象的統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)原理包括數(shù)學(xué)法則、公式、定理等,一般由若干概念組成.學(xué)生理解和掌握概念的過(guò)程就是掌握同類(lèi)事物的共同、本質(zhì)屬性,正確形成數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延的過(guò)程,數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)實(shí)際上是數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的學(xué)習(xí).

案例3人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))第四章“4.3.1對(duì)數(shù)的概念”.

(1)創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

師生活動(dòng)：(1)抽象出三個(gè)方程的共同結(jié)構(gòu)，形如ax=N(a>0且a≠1)的式子稱(chēng)之為指數(shù)式，明確每個(gè)字母的名稱(chēng)；(2這三個(gè)方程都是已知了什么？求什么？你會(huì)解嗎？

(2)引導(dǎo)探索，形成概念

問(wèn)題2對(duì)于方程2x=3，x存在嗎？為什么？

師生活動(dòng)：①通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)方程中的x存在且唯一；②既然x存在且唯一，如何表示這個(gè)數(shù)呢？③引入對(duì)數(shù)符號(hào)，2x=3?x=log23.

問(wèn)題3對(duì)于等式ax=N(a>0，且a≠1)，如何表示這里的x？

師生活動(dòng)：①學(xué)生模仿2x=3?x=log23，寫(xiě)出ax=N?x=logaN(a>0，且a≠1)；②教師給出對(duì)數(shù)的定義，書(shū)寫(xiě)格式，讀法，與指數(shù)式對(duì)比字母名稱(chēng)的變化，理解指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的等價(jià)關(guān)系等.

評(píng)析：本案例由學(xué)生熟知的指數(shù)方程提出問(wèn)題，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，進(jìn)而通過(guò)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)引入對(duì)數(shù)概念，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)概念的自然產(chǎn)生過(guò)程.活動(dòng)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔、流暢，由特殊到一般，由具體到抽象，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.2 設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)奶骄炕顒?dòng)

所謂的問(wèn)題就是人們?cè)谧瞿臣虑闀r(shí)所面臨的困境、需要解決的疑難.數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅包括教科書(shū)上的問(wèn)題，也包括那些來(lái)自實(shí)際的問(wèn)題；不僅包括能夠確定解決這些問(wèn)題的程序以及實(shí)施這個(gè)程序的一般步驟的問(wèn)題，也包括非常規(guī)問(wèn)題；不僅包括條件充分、結(jié)論確定的問(wèn)題，也包括條件不充分、結(jié)論不確定的問(wèn)題.在教學(xué)過(guò)程中，我們常常碰到一個(gè)個(gè)需要解決的問(wèn)題，這時(shí)，是教師直接講給學(xué)生聽(tīng)，還是讓學(xué)生在活動(dòng)中自己發(fā)現(xiàn)、自己提出、自己分析、自己解決，這是兩種截然不同的教學(xué)理念.顯然，前一種是應(yīng)該摒棄的，后一種是應(yīng)該提倡的.怎樣把活動(dòng)設(shè)計(jì)得合理、恰當(dāng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中理解問(wèn)題，在活動(dòng)中發(fā)展核心素養(yǎng)是我們值得思考的問(wèn)題.

案例4人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))第五章“5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”(片段).

探究1畫(huà)函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法，而正弦函數(shù)的圖象是根據(jù)正弦函數(shù)定義的幾何意義，利用單位圓用幾何描點(diǎn)法得到的.那么正切函數(shù)定義的幾何意義又是什么呢？

圖1

①

師生活動(dòng):學(xué)生發(fā)現(xiàn)①式是個(gè)比值，并不能直接利用MB的長(zhǎng)畫(huà)出正切函數(shù)的圖象.回想利用正弦函數(shù)定義的幾何意義是如何畫(huà)圖的，正弦函數(shù)為什么可以利用單位圓描點(diǎn)？

預(yù)設(shè)答案：正弦函數(shù)定義的幾何意義就是角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是一條有向線段，可以直接利用這條線段畫(huà)出某個(gè)角所對(duì)應(yīng)的正弦值.

師生活動(dòng):優(yōu)化①式，以方便描出正切函數(shù)圖象上的點(diǎn).

預(yù)設(shè)答案：保持①式中的比值不變,讓分母中的線段數(shù)值變?yōu)?即可.

如圖2，過(guò)點(diǎn)A(1,0)作x軸的垂線，與角x的終邊交于點(diǎn)T，則

圖2

②

評(píng)析：新課程提倡教師在解決問(wèn)題、突破難點(diǎn)時(shí),要重視學(xué)生探究活動(dòng)的設(shè)計(jì).確實(shí)教師是重視起來(lái)了，但是在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一些探究活動(dòng)缺乏恰當(dāng)?shù)摹h(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題引領(lǐng)，一個(gè)大問(wèn)題甩給學(xué)生，探究吧!教師的想法就是真正地放開(kāi)讓學(xué)生探究,但理想很豐滿,現(xiàn)實(shí)很骨感,大多數(shù)情況下探究成效甚微.這種探究是空泛的、低效的!沒(méi)有恰當(dāng)問(wèn)題引領(lǐng)的探究是不得要領(lǐng)的、無(wú)序的、低效的.本案例中，由于正切函數(shù)的定義是一個(gè)比值，無(wú)法利用單位圓畫(huà)出，那么怎么解決這一問(wèn)題呢？為了解決這一問(wèn)題，教師在關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)處設(shè)計(jì)了有深度的微探究.由于探究引領(lǐng)到位，難點(diǎn)一經(jīng)突破,問(wèn)題也就解決了，正切函數(shù)的圖象也就呼之欲出了,整堂課教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)也就水到渠成了，同時(shí)發(fā)展了學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).

4 注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)正廣泛應(yīng)用于我國(guó)的各行各業(yè),從宇宙探索、深海探索到工廠生產(chǎn)線等,信息技術(shù)的應(yīng)用無(wú)處不在,也深刻影響著數(shù)學(xué)教育.首先,課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念明確指出:注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實(shí)效性[1].在這一理念指導(dǎo)下,教材編寫(xiě)也非常突出信息技術(shù)的應(yīng)用.這就決定了數(shù)學(xué)教師在教育教學(xué)中必須重視信息技術(shù)的應(yīng)用，且必須不斷提高信息技術(shù)應(yīng)用的本領(lǐng),優(yōu)化教學(xué)策略,提高教學(xué)效率，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變.例如，為學(xué)生抽象概念屬性、理解概念本質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境；為學(xué)生探索變化中的不變性和變化中的規(guī)律性啟發(fā)思路；為學(xué)生解決問(wèn)題、突破難點(diǎn)提供直觀、可視的幾何圖形以及函數(shù)圖象的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程；引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源、數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計(jì)圖表；等等.教師要有意識(shí)地積累與信息技術(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)案例，改善自身的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,提高課堂效益.基于此，本文主要談以下兩點(diǎn).

(1)助力繪制函數(shù)圖象,凸顯變化規(guī)律，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

新課標(biāo)、新教材對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的深度融合是非常重視的，與以往相比有很多的不同與變化，在新教材中處處可見(jiàn)，教師一定要關(guān)注并落實(shí)到位.

例如，在“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”一節(jié)，2019年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材(簡(jiǎn)稱(chēng)新教材)第197頁(yè)有下面一段話:

事實(shí)上，利用信息技術(shù)，可使x0在區(qū)間[0,2π]上取到足夠多的點(diǎn)T(x0,sinx0)，將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，可得到比較精確的函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的圖象.

“事實(shí)上”后面這段話以及畫(huà)圖方式與2007年人教A版實(shí)驗(yàn)教材高中數(shù)學(xué)必修4(簡(jiǎn)稱(chēng)舊教材)第31頁(yè)是有區(qū)別的.舊教材把單位圓([0,2π])分成長(zhǎng)度相等的12等份，得到相應(yīng)的正弦線，再把正弦線的終點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，就得到y(tǒng)=sinx(x∈[0,2π])的圖象.

新教材中畫(huà)出了12個(gè)點(diǎn)，但并沒(méi)有用光滑的曲線連接起來(lái)，而是在[0,2π]上取足夠多的值而畫(huà)出足夠多的點(diǎn)，然后再將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái).事實(shí)上，只畫(huà)12個(gè)點(diǎn)太少了，很稀疏，你怎么知道由它們連起的圖象是光滑的，是凸還是凹？所以借助信息技術(shù)去讓學(xué)生較為深刻地感受到其圖象的特征就顯得很有必要.新教材中類(lèi)似的例子還有很多.

(2)展示運(yùn)動(dòng)變化,突破教學(xué)難點(diǎn),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

圖3

圖4

圖5

圖6

在獲取資源、數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù),繪制統(tǒng)計(jì)圖表等時(shí)也要大量運(yùn)用信息技術(shù),在此不再贅述.

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，還有許多方面需要深入的研究.例如，如何在課堂教學(xué)中深度融入數(shù)學(xué)文化？所謂深度融入，就是數(shù)學(xué)文化的融入不僅有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還要有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)概念、原理的理解.例如,在講對(duì)數(shù)這節(jié)課時(shí)，融入對(duì)數(shù)的發(fā)明過(guò)程應(yīng)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)對(duì)數(shù)可以將很大的數(shù)轉(zhuǎn)化為較小的數(shù)，可以把乘方和乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，這有助于學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在基本理念中明確提出:高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1].實(shí)現(xiàn)這一理念任重而道遠(yuǎn),需要高中數(shù)學(xué)教師上下求索、左右追問(wèn)，在理論與實(shí)踐中不斷錘煉和提高，唯有此才能不負(fù)人民教師的光榮使命.