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        平移、齊次化在圓錐曲線高考題中的應(yīng)用

        2023-03-27 13:26:40湖北省隨州市第一中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年5期

        ?湖北省隨州市第一中學(xué) 韓 川

        1 真題呈現(xiàn)

        (1)求C的方程;

        原創(chuàng)解法:平移坐標系法.

        圖1

        設(shè)直線TA的方程為y=k1x,直線TP的方程為y=k2x.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).

        線段平移之后長度不變,線段所在的直線斜率也不變,所以有

        因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以令

        因為平移不影響斜率,所以直線AB與直線PQ斜率之和為0.

        2 平移、齊次化在解圓錐曲線類高考試題中的應(yīng)用

        從以上2021年高考真題的解法中可以看出,平移坐標系的方法給斜率之積、斜率之和的表達帶來了便捷,下面我們進一步感受平移和齊次化在高考解題中的應(yīng)用.

        圖2

        由②式化簡得

        ④式中有一次項,二次項,次數(shù)不齊,把④式中各項化為次數(shù)相同的項,也就是齊次化.觀察③式,可以對1進行妙用.

        因為平移不影響直線斜率,所以

        所以,直線在新坐標中過定點(2,-2).

        故直線l過定點(2,-1).

        總結(jié):由引例和例1,我們總結(jié)出平移、齊次化解圓錐曲線相關(guān)問題的步驟.

        第一步:將坐標系平移到定點P(當然也可以平移二次曲線).

        第二步:設(shè)新坐標系直線方程為mx′+ny′=1.

        第三步:在新坐標系下,聯(lián)立直線與曲線,注意不是消去x′或y′,用mx′+ny′=1進行1的代換,對新圓錐曲線進行齊次化,一次項乘1,常數(shù)項用1的平方進行齊次化.

        第五步:運用韋達定理,找到m,n的關(guān)系,求出新坐標系下的直線過定點.

        第六步:注意不要忘記將新坐標系中的定點轉(zhuǎn)化成原坐標系中的定點.

        轉(zhuǎn)化規(guī)則:新坐標轉(zhuǎn)舊坐標時橫縱坐標是加,舊坐標轉(zhuǎn)新坐標時橫縱坐標是減,但是求圓錐曲線方程恰好相反.

        圖3

        (1)求E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點.

        (2)由A(-3,0),B(3,0)和x=6可得

        kBD=3kAC.

        由以上兩式可得,

        ⑧式明顯符合平移齊次化的特點,將坐標系原點平移到點A,為方便書寫,以下x,y代表新坐標系的x′,y′.

        9y2-6nxy+(1-6m)x2=0.

        將上式同除以x2,得

        點評:從例2可以看出,我們往往要利用圓錐曲線第三定義(讀者自行了解圓錐曲線第三定義)、題設(shè)條件將問題等價轉(zhuǎn)化成兩條直線斜率之和或斜率之積的問題,進而轉(zhuǎn)化成可以平移齊次化來解決的問題,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想.

        將新橢圓方程化為b2(x+x0)2+a2(y+y0)2=a2b2,展開得

        b2x2+a2y2+2x0b2x+2y0a2y=0.

        把直線B′C′:mx+ny=1代入中進行齊次化,得到b2x2+a2y2+2x0b2x(mx+ny)+2y0a2y·(mx+ny)=0.

        整理得(b2+2x0mb2)x2+(a2+2y0na2)y2+(2x0nb2+2y0ma2)xy=0,兩邊同除以x2,得

        (2y0a2x-2x0b2y)m-(a2+b2)y-2y0a2=0.

        (溫馨提示:千萬不要忘記要轉(zhuǎn)到原坐標系中!)

        評析:從例2的特殊性、例3的一般性可以深層挖掘出一個結(jié)論:P為平面內(nèi)任意一點,A,B為二次曲線上不同的兩點,P,A,B三點不共線,過點P且斜率之積或斜率之和為定值的兩條直線PA,PB與二次曲線交于點M,N,那么直線MN,AN,BM,AB必過定點,反之亦然(提示:常數(shù)項用直線方程1的平方進行齊次化,證明留給讀者).

        3 結(jié)束語

        利用平移、齊次化手段來解圓錐曲線中有關(guān)斜率之和或之積問題的理論基礎(chǔ)是平移坐標系只是改變了點、線、曲線的坐標位置,其幾何屬性如長度、直線斜率,直線間垂直、夾角都不會改變.但并不是所有的圓錐曲線都適合平移、齊次化,只有涉及或者可以轉(zhuǎn)化成兩直線斜率之和、斜率之積的問題才適合,方法雖好,高考可用,但要慎用!最后溫馨提示:切記要把定點轉(zhuǎn)化到原坐標系!

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