?湖北省隨州市第一中學(xué) 韓 川

1 真題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

原創(chuàng)解法：平移坐標系法.

圖1

設(shè)直線TA的方程為y=k1x,直線TP的方程為y=k2x.

設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2),P(x3，y3),Q(x4，y4).

線段平移之后長度不變，線段所在的直線斜率也不變，所以有

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以令

因為平移不影響斜率，所以直線AB與直線PQ斜率之和為0.

2 平移、齊次化在解圓錐曲線類高考試題中的應(yīng)用

從以上2021年高考真題的解法中可以看出，平移坐標系的方法給斜率之積、斜率之和的表達帶來了便捷，下面我們進一步感受平移和齊次化在高考解題中的應(yīng)用.

圖2

由②式化簡得

④式中有一次項，二次項，次數(shù)不齊，把④式中各項化為次數(shù)相同的項，也就是齊次化.觀察③式，可以對1進行妙用.

因為平移不影響直線斜率，所以

所以，直線在新坐標中過定點(2，-2).

故直線l過定點(2，-1).

總結(jié)：由引例和例1，我們總結(jié)出平移、齊次化解圓錐曲線相關(guān)問題的步驟.

第一步：將坐標系平移到定點P(當然也可以平移二次曲線).

第二步：設(shè)新坐標系直線方程為mx′+ny′=1.

第三步：在新坐標系下，聯(lián)立直線與曲線，注意不是消去x′或y′，用mx′+ny′=1進行1的代換，對新圓錐曲線進行齊次化,一次項乘1，常數(shù)項用1的平方進行齊次化.

第五步：運用韋達定理，找到m,n的關(guān)系，求出新坐標系下的直線過定點.

第六步：注意不要忘記將新坐標系中的定點轉(zhuǎn)化成原坐標系中的定點.

轉(zhuǎn)化規(guī)則：新坐標轉(zhuǎn)舊坐標時橫縱坐標是加，舊坐標轉(zhuǎn)新坐標時橫縱坐標是減，但是求圓錐曲線方程恰好相反.

圖3

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

(2)由A(-3,0)，B(3,0)和x=6可得

kBD=3kAC.

由以上兩式可得,

⑧式明顯符合平移齊次化的特點,將坐標系原點平移到點A，為方便書寫，以下x,y代表新坐標系的x′,y′.

9y2-6nxy+(1-6m)x2=0.

將上式同除以x2，得

點評：從例2可以看出，我們往往要利用圓錐曲線第三定義(讀者自行了解圓錐曲線第三定義)、題設(shè)條件將問題等價轉(zhuǎn)化成兩條直線斜率之和或斜率之積的問題，進而轉(zhuǎn)化成可以平移齊次化來解決的問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想.

將新橢圓方程化為b2(x+x0)2+a2(y+y0)2=a2b2,展開得

b2x2+a2y2+2x0b2x+2y0a2y=0.

把直線B′C′：mx+ny=1代入中進行齊次化，得到b2x2+a2y2+2x0b2x(mx+ny)+2y0a2y·(mx+ny)=0.

整理得(b2+2x0mb2)x2+(a2+2y0na2)y2+(2x0nb2+2y0ma2)xy=0，兩邊同除以x2，得

(2y0a2x-2x0b2y)m-(a2+b2)y-2y0a2=0.

(溫馨提示：千萬不要忘記要轉(zhuǎn)到原坐標系中！)

評析：從例2的特殊性、例3的一般性可以深層挖掘出一個結(jié)論：P為平面內(nèi)任意一點，A，B為二次曲線上不同的兩點，P，A，B三點不共線，過點P且斜率之積或斜率之和為定值的兩條直線PA，PB與二次曲線交于點M，N，那么直線MN，AN，BM，AB必過定點，反之亦然(提示：常數(shù)項用直線方程1的平方進行齊次化，證明留給讀者).

3 結(jié)束語

利用平移、齊次化手段來解圓錐曲線中有關(guān)斜率之和或之積問題的理論基礎(chǔ)是平移坐標系只是改變了點、線、曲線的坐標位置，其幾何屬性如長度、直線斜率，直線間垂直、夾角都不會改變.但并不是所有的圓錐曲線都適合平移、齊次化，只有涉及或者可以轉(zhuǎn)化成兩直線斜率之和、斜率之積的問題才適合，方法雖好，高考可用，但要慎用！最后溫馨提示：切記要把定點轉(zhuǎn)化到原坐標系！