?上海市七寶中學(xué) 李佳偉 李 霞 管恩臣

1 前言

圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)之一.根據(jù)考綱的要求，理科對(duì)橢圓、拋物線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的要求屬于掌握的內(nèi)容，對(duì)雙曲線是了解的內(nèi)容；文科只對(duì)橢圓是掌握的內(nèi)容，對(duì)雙曲線、拋物線是了解的內(nèi)容.縱觀福建近幾年的高考也可以看出這一點(diǎn)，橢圓是高考必考的內(nèi)容，其次是拋物線，考得最少的是雙曲線.其中，最值問(wèn)題可以涉及中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)內(nèi)容的方方面面，它在高考中的地位十分突出.最值問(wèn)題可以以各種知識(shí)作為背景進(jìn)行考查,涉及高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)與方法,要求考生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功及良好的數(shù)學(xué)思維能力.由此可以理解有關(guān)橢圓的最值問(wèn)題在高考中的重要地位.而橢圓的參數(shù)方程因?yàn)槠涮攸c(diǎn)，可以把圓錐曲線的最值問(wèn)題中復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問(wèn)題，從而可以大大減少計(jì)算過(guò)程和強(qiáng)度，是解決橢圓最值問(wèn)題一個(gè)很重要且很巧妙的手段.下面筆者結(jié)合2022年上海高考數(shù)學(xué)第20題，分析參數(shù)方程在最值問(wèn)題中的巧妙應(yīng)用.

2 試題呈現(xiàn)與分析解答

圖1

(1)若a=2，AM的中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若Γ上存在點(diǎn)P到直線l的距離為d，且滿足d+|PF1|+|PF2|=6，當(dāng)a變化時(shí)，求d的最小值.

分析：本題第(2)問(wèn)利用直角三角形中三角比的定義能夠得到a與b的關(guān)系，從而求出b的值；第(3)問(wèn)的難點(diǎn)在于如何選參數(shù)，主要有以下幾種途徑.①構(gòu)建點(diǎn)P含參數(shù)的軌跡方程；②設(shè)點(diǎn)P含參數(shù)的坐標(biāo)；③設(shè)直線l′含參數(shù)的方程.

第(3)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

試題解答：

(1)由題意,得c2=2，b2=2.

另外，本題第(3)問(wèn)還有如下兩種解法.

設(shè)P(acosθ,bsinθ)，則

解法二：(設(shè)直線l′含參數(shù)的方程)當(dāng)橢圓Γ在點(diǎn)P處的切線l′與直線l平行時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離d最大或最小，設(shè)此時(shí)切線l′方程為x+y+m=0.

2(a2-1)x2+2a2mx+a2(m2-a2+2)=0.

由Δ=0，得m2=2(a2-1).

從以上的解答過(guò)程可以看到，利用參數(shù)法求解，其計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于常規(guī)方法的計(jì)算量，從而提高答題的正確率.因此，在解決相關(guān)橢圓的最值問(wèn)題時(shí)，可以優(yōu)先考慮參數(shù)法.

3 試題延伸與推廣

解：如圖3，設(shè)橢圓Γ的右焦點(diǎn)為P(2,0)，點(diǎn)M在橢圓Γ的內(nèi)部，直線MP與橢圓Γ交于A,B兩點(diǎn)，則由橢圓定義可得|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|.

圖3

由三角形的性質(zhì),得

-|MP|≤|NM|-|NP|≤|MP|.

點(diǎn)評(píng)：變式2直接運(yùn)用代數(shù)法難度較大，考慮到F是橢圓的左焦點(diǎn)，聯(lián)想橢圓的定義，設(shè)右焦點(diǎn)為P，得到|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|，然后再利用三角形的性質(zhì)解決，體現(xiàn)了借助橢圓定義與平面幾何知識(shí)解題的特點(diǎn).

圖4

解：由題意，得直線AM的方程為x-2y+4=0.

設(shè)直線PQ的方程為x-2y+t=0，與橢圓Γ的方程聯(lián)立，可得4x2+2tx+t2-48=0.

由Δ=4t2-16(t2-48)>0，得-8

點(diǎn)評(píng)：先借助弦長(zhǎng)公式、兩條平行線間的距離公式、勾股定理等求出|QN|2，然后再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，體現(xiàn)了函數(shù)思想.

圖5

又A(-4,0)，所以直線AP的方程為

設(shè)B為直線x=-6與x軸的交點(diǎn)，則

點(diǎn)評(píng)：變式4屬于多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，由于P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起了點(diǎn)M，N的運(yùn)動(dòng)，因此將P設(shè)為主動(dòng)點(diǎn)，以其坐標(biāo)為參變量表示出S△APQ+S△AMN，最后借助基本不等式求得最值，體現(xiàn)了基本不等式的工具作用.

通過(guò)以上問(wèn)題的解決，可以得到求解這類最值的兩種常用思路：①?gòu)膱D形入手，借助橢圓的定義、三角形的性質(zhì)等平面幾何知識(shí)來(lái)分析；②選定參變量，表示出所求的幾何(或代數(shù))量，然后根據(jù)解析式的特點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)、基本不等式、函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)處理.