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        對(duì)2022年上海高考數(shù)學(xué)第20題的思考

        2023-03-27 13:25:50上海市七寶中學(xué)李佳偉管恩臣
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年5期
        關(guān)鍵詞:雙曲線最值橢圓

        ?上海市七寶中學(xué) 李佳偉 李 霞 管恩臣

        1 前言

        圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),也是高考命題的熱點(diǎn)之一.根據(jù)考綱的要求,理科對(duì)橢圓、拋物線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的要求屬于掌握的內(nèi)容,對(duì)雙曲線是了解的內(nèi)容;文科只對(duì)橢圓是掌握的內(nèi)容,對(duì)雙曲線、拋物線是了解的內(nèi)容.縱觀福建近幾年的高考也可以看出這一點(diǎn),橢圓是高考必考的內(nèi)容,其次是拋物線,考得最少的是雙曲線.其中,最值問(wèn)題可以涉及中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)內(nèi)容的方方面面,它在高考中的地位十分突出.最值問(wèn)題可以以各種知識(shí)作為背景進(jìn)行考查,涉及高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)與方法,要求考生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功及良好的數(shù)學(xué)思維能力.由此可以理解有關(guān)橢圓的最值問(wèn)題在高考中的重要地位.而橢圓的參數(shù)方程因?yàn)槠涮攸c(diǎn),可以把圓錐曲線的最值問(wèn)題中復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問(wèn)題,從而可以大大減少計(jì)算過(guò)程和強(qiáng)度,是解決橢圓最值問(wèn)題一個(gè)很重要且很巧妙的手段.下面筆者結(jié)合2022年上海高考數(shù)學(xué)第20題,分析參數(shù)方程在最值問(wèn)題中的巧妙應(yīng)用.

        2 試題呈現(xiàn)與分析解答

        圖1

        (1)若a=2,AM的中點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

        (3)若Γ上存在點(diǎn)P到直線l的距離為d,且滿足d+|PF1|+|PF2|=6,當(dāng)a變化時(shí),求d的最小值.

        分析:本題第(2)問(wèn)利用直角三角形中三角比的定義能夠得到a與b的關(guān)系,從而求出b的值;第(3)問(wèn)的難點(diǎn)在于如何選參數(shù),主要有以下幾種途徑.①構(gòu)建點(diǎn)P含參數(shù)的軌跡方程;②設(shè)點(diǎn)P含參數(shù)的坐標(biāo);③設(shè)直線l′含參數(shù)的方程.

        第(3)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

        圖2

        試題解答:

        (1)由題意,得c2=2,b2=2.

        另外,本題第(3)問(wèn)還有如下兩種解法.

        設(shè)P(acosθ,bsinθ),則

        解法二:(設(shè)直線l′含參數(shù)的方程)當(dāng)橢圓Γ在點(diǎn)P處的切線l′與直線l平行時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離d最大或最小,設(shè)此時(shí)切線l′方程為x+y+m=0.

        2(a2-1)x2+2a2mx+a2(m2-a2+2)=0.

        由Δ=0,得m2=2(a2-1).

        從以上的解答過(guò)程可以看到,利用參數(shù)法求解,其計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于常規(guī)方法的計(jì)算量,從而提高答題的正確率.因此,在解決相關(guān)橢圓的最值問(wèn)題時(shí),可以優(yōu)先考慮參數(shù)法.

        3 試題延伸與推廣

        解:如圖3,設(shè)橢圓Γ的右焦點(diǎn)為P(2,0),點(diǎn)M在橢圓Γ的內(nèi)部,直線MP與橢圓Γ交于A,B兩點(diǎn),則由橢圓定義可得|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|.

        圖3

        由三角形的性質(zhì),得

        -|MP|≤|NM|-|NP|≤|MP|.

        點(diǎn)評(píng):變式2直接運(yùn)用代數(shù)法難度較大,考慮到F是橢圓的左焦點(diǎn),聯(lián)想橢圓的定義,設(shè)右焦點(diǎn)為P,得到|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|,然后再利用三角形的性質(zhì)解決,體現(xiàn)了借助橢圓定義與平面幾何知識(shí)解題的特點(diǎn).

        圖4

        解:由題意,得直線AM的方程為x-2y+4=0.

        設(shè)直線PQ的方程為x-2y+t=0,與橢圓Γ的方程聯(lián)立,可得4x2+2tx+t2-48=0.

        由Δ=4t2-16(t2-48)>0,得-8

        點(diǎn)評(píng):先借助弦長(zhǎng)公式、兩條平行線間的距離公式、勾股定理等求出|QN|2,然后再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解,體現(xiàn)了函數(shù)思想.

        圖5

        又A(-4,0),所以直線AP的方程為

        設(shè)B為直線x=-6與x軸的交點(diǎn),則

        點(diǎn)評(píng):變式4屬于多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,由于P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起了點(diǎn)M,N的運(yùn)動(dòng),因此將P設(shè)為主動(dòng)點(diǎn),以其坐標(biāo)為參變量表示出S△APQ+S△AMN,最后借助基本不等式求得最值,體現(xiàn)了基本不等式的工具作用.

        通過(guò)以上問(wèn)題的解決,可以得到求解這類最值的兩種常用思路:①?gòu)膱D形入手,借助橢圓的定義、三角形的性質(zhì)等平面幾何知識(shí)來(lái)分析;②選定參變量,表示出所求的幾何(或代數(shù))量,然后根據(jù)解析式的特點(diǎn),借助導(dǎo)數(shù)、基本不等式、函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)處理.

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