劉立業(yè)，伍小保

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088)

1 CORDIC算法簡介

CORDIC是用于計算廣義矢量旋轉(zhuǎn)的一種迭代方法,為這類基礎(chǔ)運(yùn)算提供了一種有效、簡單的硬件實(shí)現(xiàn)方法。該算法是由J.D.Volder于 1959 年提出的[1],可以將多種難以用硬件電路直接實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜運(yùn)算分解為統(tǒng)一的簡單移位、加迭代運(yùn)算[2]。

設(shè)變量(Xi-1,Yi-1)旋轉(zhuǎn)角度kiαi，ki=±1,之后得到新的變量(Xi,Yi)為:

(1)

選擇αi=arctan(2-(i-1)),即tanαi=2-(i-1)，則：

(2)

(3)

基帶數(shù)字處理中，常用CORDIC算法產(chǎn)生基帶I/Q信號，由式(3)可知，在二進(jìn)制表示下，可以用移位操作得到目標(biāo)角度Z0的余弦值XN和正弦值YN。

2 誤差來源分析

如果最后一級發(fā)生了溢出，計算結(jié)果從7f fff變成了80 000(假設(shè)處理位數(shù)20位)，會導(dǎo)致輸出1～-1的極大錯誤；如果該溢出發(fā)生在中間第i級運(yùn)算，在CORDIC算法的特色操作——右移i-1位過程中，本應(yīng)該左補(bǔ)i-1個0，現(xiàn)在變成了左補(bǔ)i-1個1，帶來了1/2i-2的誤差，該誤差將會往后傳遞影響輸出精度。

3 解決方法

分析產(chǎn)生溢出的2種情況可以發(fā)現(xiàn)，發(fā)生溢出后，錯誤值的絕對值和準(zhǔn)確值差別很小，因此可以根據(jù)理論余弦(正弦)值的正負(fù)符號對輸出結(jié)果進(jìn)行修正——如果輸出和理論值不同符號，強(qiáng)制改變輸出的符號(不改變絕對值)。本文中，非最后一級的結(jié)果由構(gòu)建的當(dāng)前角度來修正，最后一級由初始相位來修正(賦值)。糾正誤差過程如圖1所示。

圖1 誤差糾正框圖

3.1 象限映射

本文采用的方案里，4個象限的映射依據(jù)分別為：

(4)

由正余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，本方案象限映射過程只改變了正余弦值的符號，不改變絕對值。

3.2 非最后一級的修正

為了得到每級算法的理論值，本文構(gòu)建當(dāng)前角度θi，對每一級的輸出相位理論值做跟蹤：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

3.3 最后一級的修正

(10)

(11)

4 效果和結(jié)論

本文方法消除溢出的仿真效果如圖2～4所示。

圖2為修正前的仿真效果圖。從中可以看到，在零相位(左下圈圈)處發(fā)生溢出，輸出cos值本應(yīng)該是+1，現(xiàn)在變成了-1。

圖3為只做賦值模塊的修正(上述第4步)時的仿真效果圖。可以看到，零相位(左下圈圈)處的溢出已經(jīng)被糾正，但是π/2相位(右上圈圈)處中間某級CORDIC迭代過程發(fā)生溢出，導(dǎo)致最終輸出誤差較大。

圖3 只做賦值模塊修正時仿真效果示意圖

圖4為做完完整修正步驟后的仿真效果圖?？梢钥吹?處的溢出均已被消除。同時還可以看到，輸出覆蓋2000(14位補(bǔ)碼表示的-1)至1fff(14位補(bǔ)碼表示的1)，因此輸出是滿刻度的。

圖4 完整修正后仿真效果示意圖

綜上所述，本發(fā)明解決了圓周旋轉(zhuǎn)CORDIC算法溢出問題，嚴(yán)格控制了算法的輸出誤差，精確、滿刻度地產(chǎn)生了任意相位的正余弦值，同時該算法簡單，占用資源少，在實(shí)際的DA電路中具有較大的應(yīng)用意義。