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        因式分解法在解題中的運(yùn)用技巧

        2023-03-23 00:00:21江蘇省如東縣賓山初級(jí)中學(xué)徐維東
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
        關(guān)鍵詞:因式解方程一元二次方程

        江蘇省如東縣賓山初級(jí)中學(xué) 徐維東

        “因式分解”是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,學(xué)生在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)過(guò)“提公因式法、公式法”等因式分解方法.將一個(gè)多項(xiàng)式變?yōu)閹讉€(gè)整式的乘積,各個(gè)因式的次數(shù)不會(huì)超過(guò)原有多項(xiàng)式的次數(shù),這樣可以達(dá)到“降次”的目的;經(jīng)過(guò)分解因式,一些多項(xiàng)式的特點(diǎn)顯露得更加明顯,彼此間的關(guān)系就容易找到,多項(xiàng)式所隱含的性質(zhì)也就明確化了;因式分解有利于降次、消元,以及把握多項(xiàng)式的特性,能夠達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)、化難為易”的目的.由于因式分解具有這些特點(diǎn)與優(yōu)點(diǎn),因此,“因式分解”作為一種數(shù)學(xué)方法,與其他一些常規(guī)的解題方法相比,顯得更加簡(jiǎn)捷、靈活,獨(dú)樹一幟,在解題中具有極大的優(yōu)越性[1].下面通過(guò)典型實(shí)例的解析,來(lái)學(xué)習(xí)和掌握因式分解法在代數(shù)、幾何解題中的一些運(yùn)用技巧.

        1 在多項(xiàng)式整除中的應(yīng)用

        因式分解可以把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式,根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),我們可以運(yùn)用因式分解法,巧妙快捷地解決多項(xiàng)式的整除類問(wèn)題.

        例1已知多項(xiàng)式6x2+7x+k能被2x+1整除,求k的值.

        解:由題意知,多項(xiàng)式6x2+7x+k分解后含有因式2x+1,則可設(shè)

        6x2+7x+k=(2x+1)(3x+m).

        由(2x+1)(3x+m)=6x2+(2m+3)x+m,得2m+3=7,m=k.故k=m=2.

        方法與技巧:本題根據(jù)“多項(xiàng)式能被2x+1整除,就肯定含有因式2x+1”這個(gè)性質(zhì),運(yùn)用待定系數(shù)法,根據(jù)恒等式的定義來(lái)求k的值,其中最關(guān)鍵的還是運(yùn)用了因式分解的思想與方法.

        例2證明:當(dāng)n取任意自然數(shù)時(shí),數(shù)2n3+3n2+n是6的倍數(shù).

        證明:2n3+3n2+n=n(2n2+3n+1)=n(n+1)·(2n+1)

        因?yàn)閚(n+1)是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積,所以能被2整除,故原數(shù)能被2整除;

        綜上,對(duì)于任意自然數(shù)n,2n3+3n2+n是6的倍數(shù).

        方法與技巧:要證明數(shù)2n3+3n2+n是6的倍數(shù),只需證明該數(shù)既能被2整除,又能被3整除即可,因此可采用分解因式法證明.

        2 在代數(shù)式恒等變形中的應(yīng)用

        對(duì)于代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明等問(wèn)題,通常要進(jìn)行代數(shù)式的變形,在變形過(guò)程中,因式分解法發(fā)揮著重要的作用.

        例3計(jì)算

        方法與技巧:本題如果直接計(jì)算,顯然非常麻煩,如果運(yùn)用因式分解法就會(huì)簡(jiǎn)捷多了.觀察原式,首先將其變形,這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)括號(hào)都有x2+4的形式,于是先對(duì)x2+4進(jìn)行因式分解,按照x2+4=(x2+2)2-4x2=(x2-2x+2)(x2+2x+2)=[(x-1)2+1][(x+1)2+1]的形式一直分解下去,最后即可得出結(jié)果.本題的技巧實(shí)際上就是運(yùn)用因式分解法逐步化簡(jiǎn).

        解:因?yàn)閍是方程x2-3x+1=0的根,所以a2-3a+1=0,即a2+1=3a.

        方法與技巧:按照常規(guī)的解題思路,首先想到的是解方程求出a的值,再代入分式中計(jì)算,但這樣的運(yùn)算十分繁瑣.如果采用因式分解法,先將所求分式的分子因式分解,并注意到a2-3a+1=0這個(gè)條件,這樣計(jì)算就簡(jiǎn)捷得多了.

        3 在解方程中的應(yīng)用

        因式分解法在解方程中,尤其是在一些能夠化為一元二次方程的求解中,具有極大的便捷性.

        例5解方程:

        解法1:將原方程進(jìn)行因式分解,可化為

        方法與技巧:看到這個(gè)方程,我們首先想到的就是可否對(duì)左式進(jìn)行因式分解.解法1最簡(jiǎn)捷,對(duì)于因式分解法運(yùn)用熟練的學(xué)生來(lái)說(shuō)能夠想到;解法2的思路有點(diǎn)新奇,愛動(dòng)腦筋的同學(xué)可能會(huì)這樣思考.

        例6解方程:(x2+2x)2-14(x2+2x)-15=0.

        解:設(shè)y=x2+2x,則原方程可變形為

        y2-14y-15=0.

        將其分解因式為(y-15)(y+1)=0 ,解之,得y1=15,y2=-1.

        由y1=15,得x2+2x=15,即x2+2x-15=0

        分解因式為(x+5)(x-3)=0,解得x1=-5,x2=3.

        同理,由y2=-1 ,得x2+2x+1=0.分解因式為(x+1)2=0,解之,得x3=x4=-1.

        故原方程的解為x1=-5,x2=3,x3=x4=-1.

        方法與技巧:本題通過(guò)另設(shè)未知數(shù)進(jìn)行代換的方法,把原來(lái)的四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程,然后通過(guò)兩次因式分解使得一元二次方程輕松獲解.

        圖1

        4 在幾何中的應(yīng)用

        有些幾何問(wèn)題,在證明及計(jì)算中經(jīng)常要用到因式分解法,還有些幾何問(wèn)題本身就可以轉(zhuǎn)化為分解因式的問(wèn)題.

        例7在四邊形ABCD中,BN⊥AD,CQ⊥AD,BN=5,CQ=6,AQ=8,ND=10,求四邊形ABCD的面積S.

        方法與技巧:本題靈活地運(yùn)用了因式分解法,從第二步開始先分組,再提取公因式,一步步將未知線段轉(zhuǎn)化為已知線段,最后利用三角形面積公式順利求解.

        例8已知三角形的三邊a,b,c滿足如下關(guān)系:a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0.試求最大角的度數(shù).

        因?yàn)閎>0,所以a>3.

        所以最大邊為c,于是

        所以,∠C=120°為所求最大角.

        方法與技巧:本題看似一個(gè)求角度的幾何題,實(shí)際上是一道綜合題,求解時(shí)需要運(yùn)用包括因式分解法在內(nèi)的幾種運(yùn)算技巧.要求最大角的度數(shù),必須首先確定哪個(gè)角最大,而題設(shè)的兩個(gè)條件提供了邊與邊之間的關(guān)系,是確定最大角的突破口.由于恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了因式分解法,因此運(yùn)算過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明快.

        綜上所述,運(yùn)用因式分解法解題,方法靈活,實(shí)用性強(qiáng),也有很強(qiáng)的技巧性[2].學(xué)習(xí)和熟練掌握這些方法與技巧,有助于激活學(xué)生的思維能力,拓寬解題思路,不斷提高綜合解題能力.

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