許 昊，甘德強(qiáng)，黃 潤，張 杰，黃 偉

（1.浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江省杭州市 310027；2.云南電力調(diào)度控制中心，云南省昆明市 650011）

0 引言

隨著特高壓交直流輸電技術(shù)的廣泛應(yīng)用，電網(wǎng)大規(guī)模區(qū)域互聯(lián)得到了長足發(fā)展。與此同時，由于大規(guī)模電能跨區(qū)輸送，電力系統(tǒng)中以低頻振蕩和超低頻振蕩為代表的小干擾穩(wěn)定性問題日趨嚴(yán)重。低頻振蕩事故在國內(nèi)外頻頻出現(xiàn)［1-2］，而超低頻振蕩主要存在于水電占優(yōu)系統(tǒng)中，例如2016 年云南電網(wǎng)與南方電網(wǎng)主網(wǎng)異步聯(lián)網(wǎng)后出現(xiàn)了超低頻振蕩［3］。低頻及超低頻振蕩的存在嚴(yán)重制約了區(qū)域間電網(wǎng)的大容量功率交換，威脅到電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

為抑制電網(wǎng)中的振蕩，提高電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性，通常需要加裝控制器，如電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（power system stabilizer，PSS）、調(diào)速器等。而如何確定控制器的最優(yōu)參數(shù)涉及小干擾穩(wěn)定性分析方法的選用。目前針對小干擾穩(wěn)定性最常用的分析方法是線性化分析方法，包括基于狀態(tài)空間矩陣特征值的阻尼轉(zhuǎn)矩法［4］、留數(shù)法［5］、靈敏度分析法［6-7］等，以及基于傳遞函數(shù)矩陣分析的廣義Nyquist 判據(jù)［8］、μ分析［9］、相似矩陣法［10］等。

現(xiàn)有的這些小干擾穩(wěn)定性分析方法大都能為系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析提供理論支撐，在某些應(yīng)用場合仍有待完善。例如，阻尼轉(zhuǎn)矩法優(yōu)勢在于物理意義容易理解，但是分析結(jié)果較多依賴于數(shù)值計算，定性分析較少；狀態(tài)空間矩陣靈敏度分析法通常用于指導(dǎo)參數(shù)調(diào)整方向，對穩(wěn)定裕度的量化分析尚不完善；相似矩陣法多適用于轉(zhuǎn)子回路矩陣對角占優(yōu)的系統(tǒng)，給出的穩(wěn)定裕度精度仍待提升。一種工程實(shí)用的小干擾穩(wěn)定性分析方法應(yīng)當(dāng)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，并可給出解析且簡單的小干擾穩(wěn)定裕度表達(dá)式，從而實(shí)現(xiàn)任意控制器的任意參數(shù)對于穩(wěn)定性影響的分析。

針對上述問題，本文從頻域角度提出了一種基于最小特征軌跡的小干擾穩(wěn)定分析方法，并基于此提出了一種控制器參數(shù)整定方法。相比狀態(tài)空間或者多項(xiàng)式模型，電力系統(tǒng)頻域模型更加簡潔和緊湊，往往只包含幾個回路。因此，頻域分析可以實(shí)現(xiàn)研究對象的簡化。該分析方法給出了高精度的穩(wěn)定裕度，可以量化分析各回路控制器參數(shù)對于小干擾穩(wěn)定性的影響，具有比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，適用于電力系統(tǒng)低頻振蕩及超低頻振蕩分析。此外，本文基于最小特征軌跡從理論層面解釋了PSS 增益存在上界的原因，并給出了勵磁模式頻率及PSS 臨界增益求解方程。

1 小干擾穩(wěn)定分析的轉(zhuǎn)子回路反饋系統(tǒng)模型

本文所采用的轉(zhuǎn)子回路反饋系統(tǒng)模型是基于Heffron-Phillips 模型變形得到，本質(zhì)上是Heffron-Phillips 模型的緊湊形式。傳統(tǒng)的Heffron-Phillips模型的框圖和參數(shù)矩陣定義如附錄A 所示。

在常規(guī)的小干擾穩(wěn)定分析中，將Heffron-Phillips 模型中的轉(zhuǎn)子環(huán)節(jié)（sM+KD）-1視作前向通道，其余環(huán)節(jié)視作反饋環(huán)節(jié)，得到如圖1 所示的轉(zhuǎn)子回路緊湊形式Heffron-Phillips 模型，推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)［10］。其中，s為拉普拉斯算子；M為含發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動慣性常數(shù)的對角矩陣；KD為含轉(zhuǎn)子運(yùn)動阻尼系數(shù)的對角矩陣。轉(zhuǎn)子回路將系統(tǒng)分為調(diào)速器、轉(zhuǎn)子、有功和無功功率4 個部分，為后續(xù)的回路分析帶來便捷。

圖1 轉(zhuǎn)子回路的緊湊形式Heffron-Phillips 模型Fig.1 Compact form of Heffron-Phillips model of rotor loop

圖1 中：ΔPm為原動機(jī)輸出機(jī)械功率列向量；ΔPe1和ΔPe2為發(fā)電機(jī)電磁功率ΔPe列向量的分量；ΔPd為系統(tǒng)功率擾動列向量；ΔωG為各發(fā)電機(jī)的角頻率列向量；矩陣K1為線性化模型系數(shù)矩陣，反映了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)、運(yùn)行工況和負(fù)荷特征；GM（s）為調(diào)速器-原動機(jī)系統(tǒng)傳遞函數(shù)對角矩陣；GQ（s）為與勵磁系統(tǒng)和PSS 相關(guān)的傳遞函數(shù)矩陣，GQ1（s）和GQ2（s）為其子傳遞函數(shù)，其定義分別為式（1）和 式（2）；ω0為 系 統(tǒng) 同 步 角 速 度；I為 單 位矩陣［11］。

式中：GEX(s) 為勵磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)對角矩陣；ΗPSS(s)為PSS 傳遞函數(shù)對角矩陣；K2，K3，…，K6為線性化模型系數(shù)矩陣，反映了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)、運(yùn)行工況和負(fù)荷特征；為含各發(fā)電機(jī)d軸暫態(tài)時間常數(shù)對角矩陣。

傳遞函數(shù)矩陣HPVr(s)定義為：

圖1 所示系統(tǒng)對應(yīng)的回差矩陣［8］為：

式中：L(s)為轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。

在開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣L中令s=jω，ω為角頻率，則有

后文中如不作特殊說明，均默認(rèn)s=jω。為實(shí)現(xiàn)對各個回路進(jìn)行獨(dú)立分析，將上述開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣L進(jìn)行分解。

因?yàn)榫仃嘙和KD都是對角矩陣，所以

將式（6）代入L并整理得：

定義：

式中：LK1、LKD、LGQ1、LGQ2、LGM分別為和發(fā)電機(jī)有功功率、發(fā)電機(jī)阻尼、勵磁環(huán)節(jié)、PSS、調(diào)速器相關(guān)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。

可以看到，式（7）將L分解為了和發(fā)電機(jī)有功相關(guān)的LK1、和發(fā)電機(jī)阻尼相關(guān)的LKD、和勵磁環(huán)節(jié)相關(guān)的LGQ1、和PSS 相關(guān)的LGQ2以及和調(diào)速器相關(guān)的LGM這幾個回路的加和形式，可對各環(huán)節(jié)分別進(jìn)行小干擾穩(wěn)定性分析。下文將以PSS 為例，從回路的角度分析PSS 參數(shù)改變對于小干擾穩(wěn)定性的影響。

2 最小特征軌跡靈敏度法

2.1 頻域穩(wěn)定裕度

根據(jù)廣義Nyquist 法，可以由轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣行列式det（L）環(huán)繞-1 點(diǎn)的次數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而可將行列式det（L）距離-1 點(diǎn)的距離視作穩(wěn)定裕度［8］。但是，用行列式來表示穩(wěn)定裕度存在弊端：高階行列式計算極其復(fù)雜，并且給出的穩(wěn)定裕度表達(dá)式不是解析表達(dá)式。特征軌跡穩(wěn)定判據(jù)可視作廣義Nyquist 判據(jù)的特征軌跡形式［12-13］。該判據(jù)無須求解矩陣的行列式，從而達(dá)到簡化計算、易于分析的目的。

定理1（特征軌跡穩(wěn)定判據(jù)）［13］：若開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣L有P個不穩(wěn)定極點(diǎn)，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為L的所有特征軌跡逆時針環(huán)繞復(fù)平面內(nèi)-1 點(diǎn) 的 次 數(shù) 為P次。

其中，L的所有特征值隨角頻率ω變化的曲線稱為特征軌跡。當(dāng)電力系統(tǒng)采用轉(zhuǎn)子回路模型時，特征軌跡數(shù)目與發(fā)電機(jī)數(shù)目m相同。

一般情況下，只需要關(guān)心轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣距離復(fù)平面內(nèi)-1 點(diǎn)最近的特征軌跡λmin（L），將其稱作最小特征軌跡。這是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)中一個振蕩角頻率為ωo的模式接近臨界穩(wěn)定時，其對應(yīng)在回差矩陣特征值上的表現(xiàn)是：當(dāng)ω=ωo時，L（jωo）的一個特征值接近0，該特征值所對應(yīng)的特征軌跡即將穿越-1 點(diǎn)，而其余特征值均遠(yuǎn)離-1 點(diǎn)，每條特征軌跡的-1 點(diǎn)環(huán)繞次數(shù)均為0。當(dāng)控制器參數(shù)發(fā)生改變時，不同特征軌跡到（-1，0）點(diǎn)的距離會發(fā)生改變，此時，依然將參數(shù)改變后距離（-1，0）點(diǎn)最近的曲線稱為最小特征軌跡，不影響分析?；谏鲜鲈?，可以得到最小特征軌跡穩(wěn)定裕度［13］。

推論1（最小特征軌跡穩(wěn)定裕度）：若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為L，可將最小特征軌跡λmin（L）到-1點(diǎn)的距離視作該系統(tǒng)穩(wěn)定裕度Sm。

式中：λi(L(jω))為L（jω）的第i個特征值。

顯然，當(dāng)最小特征軌跡λmin（L）穿越-1 點(diǎn)時，對應(yīng)于閉環(huán)系統(tǒng)矩陣存在一個在虛軸上的特征值，此時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

式（9）中給出的穩(wěn)定裕度是矢量裕度，需要以-1 為圓心作最小特征軌跡的相切圓得到。在穩(wěn)定分析時選取轉(zhuǎn)子回路反饋系統(tǒng)作為分析對象的另一個優(yōu)勢在于，計算經(jīng)驗(yàn)表明當(dāng)系統(tǒng)處于弱穩(wěn)定時，轉(zhuǎn)子回路的最小特征軌跡接近實(shí)軸部分斜率趨近于0。因此，可以通過取最小特征軌跡上實(shí)部為-1 的點(diǎn)近似確定系統(tǒng)的振蕩頻率，該點(diǎn)的虛部為穩(wěn)定裕度的近似值。

2.2 小干擾穩(wěn)定量化分析方法

盡管將系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度由行列式簡化為單個特征值，但是系統(tǒng)轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)的最小特征軌跡λmin（L）需要經(jīng)過復(fù)雜的計算才能夠獲得，并且根據(jù)代數(shù)學(xué)Abel-Galois 理論，高階矩陣特征值不存在解析解［14-15］，難以解析給出穩(wěn)定裕度與電網(wǎng)參數(shù)的關(guān)系，不便開展穩(wěn)定分析。而文獻(xiàn)［10］中所提到的相似矩陣法，盡管解析關(guān)系簡單，但是適用范圍存在局限性。在分析對角占優(yōu)特性不明顯的系統(tǒng)時，特征值的估計精度不夠。為此，提出一種基于轉(zhuǎn)子回路特征軌跡靈敏度的小干擾穩(wěn)定分析方法。該方法可以實(shí)現(xiàn)定量分析回路參數(shù)變化對穩(wěn)定裕度的影響。

不失一般性，假設(shè)λ1是L（α）的最小特征值，其中α代表了系統(tǒng)中一個變化的參數(shù)，v1、u1是其對應(yīng)的左、右特征向量，有

兩邊同時對α求導(dǎo)，得到：

將上式寫成微分量的形式，有

式中：Δλ1為最小特征值變化量；ΔL（α）為參數(shù)微小變化情況下轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)的變化量。

前文中提到可將轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)按回路進(jìn)行如式（7）所示的分解，得到簡單相加的關(guān)系式，從而實(shí)現(xiàn)對各個回路分別進(jìn)行分析。結(jié)合式（7）和式（13）可以實(shí)現(xiàn)不同回路參數(shù)改變對于不同模式小干擾穩(wěn)定性影響的定量分析。

上述方法與傳統(tǒng)靈敏度法的不同之處在于，傳統(tǒng)靈敏度法只能定性且籠統(tǒng)地提供單個參數(shù)微小變化時特征值的變化方向等信息，而轉(zhuǎn)子回路經(jīng)過求偏導(dǎo)后可將各環(huán)節(jié)對穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)寫成簡單相加的形式，可以求解不同回路、不同控制器對于穩(wěn)定性的定量影響。由于轉(zhuǎn)子回路的左、右特征向量比較穩(wěn)定，向量元素值變化很小，可以直接使用式（13）結(jié)合原先的穩(wěn)定裕度，定量給出各個回路控制器參數(shù)變化后的穩(wěn)定裕度變化量，并且具有很高的精度。

以PSS 相位補(bǔ)償為例。設(shè)PSS 的相位為φ，則最小特征值（穩(wěn)定裕度）關(guān)于相位的靈敏度為：

從式（2）與式（7）中可知，L（jω）中僅LGQ2項(xiàng)含PSS 相關(guān)項(xiàng)，因此，

當(dāng)PSS 的增益固定時，ΗPSS是φ的隱函數(shù)，盡管求不出?ΗPSS/?φ解析的表達(dá)式，卻可以根據(jù)數(shù)值計算的方法求其值。

式（14）取偏差量可得：

式中：ΔΗPSS(φ)為相位變化Δφ后PSS 傳遞函數(shù)的變化量。

因此，基于式（17）不難得到PSS 參數(shù)變化對于穩(wěn)定裕度的影響ΔSm即為最小特征值變化量Δλ1。

118 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，以第1 臺發(fā)電機(jī)所安裝的PSS補(bǔ)償相位為例，確定PSS 的最佳補(bǔ)償相位。同時，比較當(dāng)PSS 在振蕩頻率下取不同相位時，特征軌跡實(shí)際穩(wěn)定裕度、相似矩陣法穩(wěn)定裕度以及特征軌跡靈敏度法的變化情況。系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置見附錄B。

從圖2 不難發(fā)現(xiàn)，特征軌跡靈敏度法所給出的穩(wěn)定裕度近似值與實(shí)際穩(wěn)定裕度相差很小，所得PSS 最佳補(bǔ)償角度均為50°左右；而相似矩陣法給出的近似值誤差較大，所得到的最佳補(bǔ)償角度25°～30°與真實(shí)值存在較大偏差。圖2 中PSS 相角表示0.68 Hz 下的相角。

圖2 不同方法下PSS 最佳補(bǔ)償相位Fig.2 Optimum compensation phases of PSS with different methods

上述算例說明，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)子回路矩陣對角占優(yōu)特性不明顯時，文獻(xiàn)［10］中相似矩陣法得到的穩(wěn)定裕度精度降低，適用范圍存在局限性；而特征軌跡靈敏度法則保證了精度，具有較廣泛的適用性。此外，還對文獻(xiàn)［16］中給出的其余算例進(jìn)行了相同的測試，得到的結(jié)果均佐證了本方法的有效性。

3 基于最小特征軌跡的勵磁模式分析

實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)表明，PSS 的增益存在上界，當(dāng)PSS 輸出達(dá)到一定值時，會造成勵磁系統(tǒng)的失穩(wěn)，這就是所謂的勵磁模式（exciter mode）［17］。通常PSS增益設(shè)置為臨界增益的1/3 時性能最佳［18］。目前求解臨界增益普遍采用的是工程方法：持續(xù)增大PSS增益，當(dāng)勵磁調(diào)節(jié)器的輸出電壓或者轉(zhuǎn)子電壓開始出現(xiàn)持續(xù)振蕩時，PSS 的增益即為臨界增益［18-19］。針對上述情況，基于最小特征軌跡給出了勵磁模式頻率及PSS 臨界增益的數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式，從理論層面解釋了PSS 增益不能無限增大的原因。

3.1 臨界穩(wěn)定方程及其簡化

根據(jù)2.1 節(jié)可知，系統(tǒng)中某PSS 的增益發(fā)生變化時，對應(yīng)到復(fù)平面上轉(zhuǎn)子回路的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣L的最小特征軌跡為一簇曲線；當(dāng)且僅當(dāng)PSS 增益達(dá)到臨界值時，最小特征軌跡恰好首次穿過-1點(diǎn)，最小模特征值為0。因此，臨界穩(wěn)定時，系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定方程為：

根據(jù)式（18），即可求解勵磁模式臨界失穩(wěn)時的臨界增益。各類文獻(xiàn)對于勵磁模式振蕩頻率范圍的闡述稍有出入，大致集中在2～8 Hz 之間［17，20］。在該頻段下，轉(zhuǎn)子回路中的相關(guān)矩陣存在一些特殊性質(zhì)，可根據(jù)這些性質(zhì)將臨界穩(wěn)定方程逐步化簡。

測試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頻率較大時，轉(zhuǎn)子回路開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣L的對角占優(yōu)特性十分明顯。根據(jù)蓋爾圓定理（Ger?gorin circle theorem）可知，對于任意一個矩陣，其任意特征值都在行蓋爾圓之中［21-22］。

當(dāng)L滿足非對角元的值很小時，每行對應(yīng)的行蓋爾圓的半徑很小，并且任意一行對角元的值遠(yuǎn)大于非對角元，基于蓋爾圓定理，可以考慮用L的對角元來近似其特征值，這樣的近似具有足夠高的精度。

不失一般性，假設(shè)對全網(wǎng)m臺發(fā)電機(jī)中第i臺發(fā)電機(jī)所安裝的PSS 求解其臨界增益。結(jié)合式（2）至式（4），可知第i臺發(fā)電機(jī)PSS 的增益變化只會影響L的第i列元素，從而只會影響到第i個對角元Lii，使之最先穿越-1 點(diǎn)。因此，臨界穩(wěn)定方程（18）可以近似等價為：

式（19）將臨界穩(wěn)定方程從矩陣方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，極大地簡化了分析。計算經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)頻率高于2 Hz 時，GM（jω）值 很 小，且GQ2（jω）?GQ1（jω）。因此，可以忽略GM（jω）和GQ1（jω），得到：

由于M和KD都是對角矩陣，（jωM+KD）-1也是對角矩陣。文獻(xiàn)［6］中提到K1對角元為正，非對角元為負(fù)且行和為0，因此，不難看出K1非嚴(yán)格對角占優(yōu)［23］；而K2對 角 占 優(yōu)，K3、K6元 素 很 小，GEX（jω）和HPSS（jω）均是對角矩陣，故結(jié)合式（2）很容易發(fā)現(xiàn)GQ2（jω）在勵磁模式頻段也是對角占優(yōu)的。綜上所述，L具有很強(qiáng)的對角占優(yōu)特性。

將式（20）進(jìn)行展開，式（19）可以改寫成：

式中：Mi為對角矩陣M的第i個對角元；KD，i為對角矩陣KD的第i個對角元；K1，ii為K1矩陣的第i個對角元；gQ2，ii為GQ2矩陣的第i個對角元。

Mi、KD，i、K1，ii三 者 皆 為 常 數(shù)，可 以 直 接 確 定；gQ2，ii隨頻率變化而改變。下面著重關(guān)注GQ2的對角元gQ2，ii的表達(dá)式。在式（2）中，由于T′d0和GEX（jω）都是對角矩陣，且當(dāng)頻率高于2 Hz 時，jωT′d0和GEX（jω）元素的值很大，遠(yuǎn)大于K3，可將式（2）中K3相關(guān)項(xiàng)忽略，得到：

式（22）中，由于(jωT′d0+GEX(jω)K6)-1是對角占優(yōu)矩陣，且只關(guān)注GQ2（jω）矩陣的對角元，在分析時可以忽略非對角元，將其看作一個對角矩陣?？紤] 用jωT′d0+GEX(jω)K6對 角 元 的 倒 數(shù) 來 近 似(jωT′d0+GEX(jω)K6)-1的對角元。

將GQ2進(jìn)行展開，可得到：

則gQ2，ii的表達(dá)式為：

記hPSS0，i表示增益為1 時第i臺發(fā)電機(jī)PSS 的傳遞函數(shù)。假設(shè)當(dāng)?shù)趇臺發(fā)電機(jī)的PSS 增益為K時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。則將式（24）代入式（21）整理可得臨界失穩(wěn)方程為：

忽略KD之后，有

式（26）即為最終的勵磁模式臨界穩(wěn)定方程。定義式（26）等號左邊為勵磁模式臨界穩(wěn)定函數(shù)Γ（ω，K）；根據(jù)ω=2πf也可以將臨界穩(wěn)定函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率形式Γ（f，K），其中，f為頻率。對于一個給定系統(tǒng)，將參數(shù)代入（26）后令實(shí)部、虛部分別為0 可以得到一個方程組，從而求解系統(tǒng)中各臺發(fā)電機(jī)的勵磁模式角頻率ωe及PSS 臨界增益Kc。

3.2 勵磁模式頻率與PSS 臨界增益

式（26）包含了2 個未知數(shù)：勵磁模式角頻率ωe與PSS 臨界增益Kc。將該方程改寫為極坐標(biāo)形式，等號左側(cè)共3 項(xiàng)，注意到第1 項(xiàng)和第3 項(xiàng)都只包含實(shí)部，且兩項(xiàng)之和為負(fù)值，因此要求第2 項(xiàng)為正實(shí)數(shù)。對第2 項(xiàng)進(jìn)行極坐標(biāo)分解，可得：

式中：arg（·）為求相位的函數(shù)。

結(jié)合式（26）和式（27），可得在勵磁模式臨界失穩(wěn)時幅值和增益分別需要滿足以下2 個方程：

特別地，PSS 的補(bǔ)償角度只對式（30）產(chǎn)生影響 。 由 于 |ωT′d0，i|?|gEX，i K6，ii|， arg(jωT′d0，i+gEX，i K6，ii)≈π/2，當(dāng)臨界穩(wěn)定時，需要滿足：

在對精度要求不高時，可以用式（30）得到勵磁模式的近似振蕩角頻率。式（29）中只包含一個未知數(shù)ω，求解之后可以得到勵磁模式角頻率ωe，將ωe回代入式（28）中求解K可以得到PSS 臨界增益Kc。特別地，當(dāng)ω=ωe時，式（28）等號右側(cè)為常數(shù)，等號左側(cè)為關(guān)于K的正比例函數(shù)，不難看出，PSS 的增益并不能無限增大，從而解釋了臨界增益的存在性問題。

4 基于最小特征軌跡的PSS 參數(shù)整定

4.1 基于最小特征軌跡的PSS 參數(shù)設(shè)計

安裝PSS 之前要求選擇合適的參數(shù)以保證其具有最優(yōu)的頻率特性，包括相頻特性和幅頻特性：一方面，要求PSS 在低頻振蕩頻段下提供最佳超前角度，從而補(bǔ)償勵磁系統(tǒng)產(chǎn)生的滯后相位［20］；另一方面，要求PSS 在低頻振蕩頻率下達(dá)到盡量大的幅值的同時又不至于因?yàn)樵鲆孢^大引起勵磁模式的失穩(wěn)。傳統(tǒng)PSS 由于結(jié)構(gòu)相對簡單，在抑制頻率較低的振蕩模式時的效果并不理想；而新型多頻段穩(wěn)定器PSS4B 盡管可以實(shí)現(xiàn)多模態(tài)多頻段的抑制，由于其高控制自由度增加了控制設(shè)計的復(fù)雜度［24］?；诖?，本文基于最小特征軌跡提出了一種PSS4B 參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計方法。該方法選取系統(tǒng)各振蕩模式的穩(wěn)定裕度加權(quán)值作為性能指標(biāo)，可以兼顧各個運(yùn)行方式下各種振蕩模式的穩(wěn)定性，并利用理想相頻法的思路確定約束條件，優(yōu)化設(shè)計得到的PSS4B 參數(shù)能很好地提高系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性。

4.1.1 性能指標(biāo)

對于一個穩(wěn)定運(yùn)行的系統(tǒng)，某一時刻系統(tǒng)中某元件參數(shù)發(fā)生了變化，導(dǎo)致系統(tǒng)在低頻振蕩模式下的穩(wěn)定裕度減小，原先的PSS 參數(shù)已經(jīng)不再是最優(yōu)參數(shù)，需要重新整定一組PSS 參數(shù)，保證在新系統(tǒng)下PSS 依舊可以為低頻振蕩提供足夠的阻尼，提高系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。

不失一般性，假設(shè)λn為L與-1 點(diǎn)距離第n小的特征軌跡，對應(yīng)第n個模式。設(shè)系統(tǒng)共m臺發(fā)電機(jī)安裝PSS，令整定參數(shù)后的PSS 傳遞函數(shù)對角矩陣為HPSS（s）。根據(jù)式（3）和式（16），可得該模式的穩(wěn)定裕度為：

式中：λsys為系統(tǒng)除PSS 部分的穩(wěn)定裕度分量，是常數(shù)，作為優(yōu)化目標(biāo)時可以忽略λsys；vn和un分別為模值第n小的特征值對應(yīng)的左、右特征向量。

實(shí)際系統(tǒng)通常需要同時抑制多個弱阻尼振蕩模式。此時，可將系統(tǒng)在這些模式對應(yīng)頻率處的穩(wěn)定裕度加權(quán)和作為性能指標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)為：

式中：N為考慮模式數(shù)量；ωn為模式n的振蕩角頻率；Wn為模式n的權(quán)重。

4.1.2 約束條件

1）相位約束

理想相頻特性法已在實(shí)際應(yīng)用中證明了其有效性，能夠有效抑制本地模式的振蕩［17］。參照文獻(xiàn)［10］可將式（3）中HPVr的對角元相位隨頻率變化情況作為理想相頻特性曲線整定PSS。為此，可以在低頻振蕩頻段內(nèi)確定一條理想相頻特性曲線，并且所設(shè)計的PSS 相頻特性不應(yīng)偏離其太遠(yuǎn)。假設(shè)掃頻的角頻率為ω1，ω2，…，ωΩ，HPSS的對角元需滿足相位約束：

式中：ep為相位誤差上界；hPVr，i為HPVr（s）的對角元。

相位約束的引入進(jìn)一步確保了PSS 在低頻段，尤其是本地模式頻段提供正阻尼，不會惡化本地模式的穩(wěn)定性。

2）參數(shù)界限約束

對于不同的PSS，設(shè)計時還需要根據(jù)實(shí)際情況、典型參數(shù)等給出所設(shè)計參數(shù)的上下界約束。以采用中心頻率形式整定的PSS4B［25］為例，要求PSS4B 的參數(shù)滿足上下界：

式 中：FL，i、FI，i、FH，i分 別 為 第i臺 發(fā) 電 機(jī)PSS4B 低、中、高 各 支 路 的 中 心 頻 率；KL，i、KI，i、KH，i分 別 為 第i臺發(fā)電機(jī)PSS4B 低、中、高各支路的增益；TL，i、TI，i、TH，i分別為第i臺發(fā)電機(jī)PSS4B 低、中、高各支路各環(huán) 節(jié) 的 時 間 常 數(shù)；FL，imax、FL，imin、FI，imax、FI，imin、FH，imax、FH，imin、KL，imax、KL，imin、KI，imax、KI，imin、KH，imax、KH，imin、TL，imax、TL，imin、TI，imax、TI，imin、TH，imax、TH，imin分 別 為 相 應(yīng)變量的上、下界，根據(jù)實(shí)際工程要求給出。PSS4B的詳細(xì)結(jié)構(gòu)及中心頻率形式整定思路見附錄C。

3）確定臨界增益

式（32）至式（35）構(gòu)成了PSS 參數(shù)設(shè)計的優(yōu)化模型，求解該模型可以得到一組提供合適補(bǔ)償相位且具有最優(yōu)幅頻特性的PSS，可以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)中弱阻尼振蕩模式的抑制。若進(jìn)一步增大PSS 增益，則系統(tǒng)低頻振蕩模式阻尼可得到進(jìn)一步增強(qiáng)。但為避免勵磁模式失穩(wěn)，PSS 的增益不能無限增大，存在臨界增益。根據(jù)式（28）可以求解PSS 的臨界增益Kc以及勵磁模式的振蕩頻率fe。在得到各臺發(fā)電機(jī)PSS 臨界增益后，將最終的PSS 增益取為臨界增益的1/3［18］。

4.1.3 設(shè)計流程

所提出的基于最小特征軌跡的PSS 參數(shù)優(yōu)化方法的具體設(shè)計流程如下。

步驟1：在每個弱阻尼模式頻率下計算式（31）得到相應(yīng)穩(wěn)定裕度，并設(shè)置各弱阻尼模式的權(quán)重，得到式（32）作為優(yōu)化目標(biāo)。

步驟2：計算式（3），將HPVr的對角元作為理想相頻特性曲線相位，根據(jù)式（3）得到相位約束式（34）。

步驟3：設(shè)置PSS4B 各參數(shù)的上下界，得到參數(shù)界限約束式（35）。

步驟4：用計算機(jī)軟件求解式（32）至式（34）構(gòu)成的優(yōu)化模型。

步驟5：求解式（27），解得各發(fā)電機(jī)的臨界增益。將PSS 增益設(shè)為臨界增益的1/3，得到最終設(shè)計的PSS4B 參數(shù)。

4.2 仿真算例

通過四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)以及云南電網(wǎng)仿真算例驗(yàn)證所提方法的有效性。算例時域仿真與模式分析均在DIgSILENT PowerFactory 環(huán) 境 中 進(jìn) 行，PSS 優(yōu)化模型的求解使用了MATLAB Optimization Toolbox。

4.2.1 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)算例

四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖在附錄D 中給出。原先系統(tǒng)中存在頻率為0.54 Hz 及1.08 Hz 的2 個振蕩模式。利用4.1.3 節(jié)中的設(shè)計流程整定發(fā)電機(jī)G1、G2 上安裝的PSS4B 參數(shù)，優(yōu)化設(shè)計模型及所得參數(shù)詳見附錄D。

1 s 時在線路a 上發(fā)生三相短路故障，0.1 s 后故障清除，線路a 上有功功率波形變化如圖3 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，所設(shè)計的PSS4B 增強(qiáng)了振蕩阻尼，提高了系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。

圖3 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)安裝PSS4B 前后系統(tǒng)功率振蕩波形Fig.3 Oscillation curves of system power before and after installing PSS4B in four-unit two-area system

安裝PSS4B 前后系統(tǒng)振蕩模式特征值如表1所示。由表1 可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計得到的PSS4B 同時提高了2 個振蕩模式的阻尼，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

表1 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)安裝PSS4B 前后系統(tǒng)阻尼比Table 1 Damping ratios of system before and after installing PSS4B in four-unit two-area system

4.2.2 云南電網(wǎng)算例

云南電網(wǎng)冬大運(yùn)行方式下存在0.622、0.678、0.838 Hz 的3 個弱阻尼模式，夏大極限運(yùn)行方式下存在0.571 Hz 和0.858 Hz 的2 個弱阻尼模式。通過所提出的方法設(shè)計PSS4B 參數(shù)以同時提高2 種運(yùn)行方式下的各振蕩模式阻尼比。

根據(jù)各振蕩模式下發(fā)電機(jī)的參與度選定LY1G、AH4G、LDL1G、SJH1G、XLD10G 這5 臺發(fā)電機(jī)安裝PSS4B，利用4.1.3 節(jié)中的設(shè)計流程整定5 臺發(fā)電機(jī)上安裝的PSS4B 參數(shù)，優(yōu)化設(shè)計模型及所得參數(shù)詳見附錄E。

0.5 s 時發(fā)生三相短路故障，0.1 s 后故障清除。2 種運(yùn)行方式下功率傳輸線上有功功率波形如圖4所示。圖中：PSS2B 為雙通道PSS。由圖4 可以發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計的PSS4B 增強(qiáng)了各振蕩模式的阻尼，提高了系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。

圖4 云南電網(wǎng)安裝PSS4B 前后系統(tǒng)功率振蕩波形圖Fig.4 Oscillation curves of system power before and after installing PSS4B in Yunnan power grid of China

安裝PSS4B 前后系統(tǒng)振蕩模式特征值變化見表2。由表2 可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計得到的PSS4B 能同時提高2 種運(yùn)行方式下各振蕩模式的阻尼比，且效果優(yōu)于原先所安裝的PSS2B，說明基于本方法設(shè)計所得的PSS4B 參數(shù)效果良好，從而驗(yàn)證了本文方法的適用性。

表2 云南電網(wǎng)安裝PSS4B 前后系統(tǒng)阻尼比Table 2 Damping ratios of system before and after installing PSS4B in Yunnan power grid of China

5 結(jié)語

本文從頻域角度出發(fā)，基于最小特征軌跡提出了一種穩(wěn)定分析的新思路。相比狀態(tài)空間或者多項(xiàng)式模型，電力系統(tǒng)頻域模型更加簡潔且緊湊，可實(shí)現(xiàn)研究對象的簡化。

1）提出了基于最小特征軌跡的小干擾穩(wěn)定性分析法，將開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣最小特征軌跡到-1 點(diǎn)的距離作為穩(wěn)定裕度，可以將穩(wěn)定裕度表達(dá)為不同回路的加和形式，實(shí)現(xiàn)了對控制器回路的單獨(dú)分析。

2）針對最小特征軌跡所得靈敏度，利用靈敏度法實(shí)現(xiàn)了控制器參數(shù)改變對穩(wěn)定性影響的定量分析。

3）利用最小特征軌跡從理論層面對勵磁模式進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出了勵磁模式頻率以及PSS 臨界增益的解析求解方程。

4）以PSS4B 參數(shù)為例，給出了基于最小特征軌跡整定方法的一個應(yīng)用實(shí)例，并通過算例證明了該方法的有效性與實(shí)用性。

所提出方法基于Heffron-Phillips 模型提出，目前只適用于采用3 階發(fā)電機(jī)模型的系統(tǒng)，后續(xù)工作將對更普適的高階模型分析方法展開研究。此外，測試中初步發(fā)現(xiàn)該方法可以在新能源電力系統(tǒng)中推廣應(yīng)用，下一步將對所提方法在新能源系統(tǒng)中應(yīng)用的可行性進(jìn)行驗(yàn)證。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。