祁夢(mèng)雪，梅林玨昊，李知藝，辛煥海

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江省 杭州市 310027）

0 引言

精細(xì)化的負(fù)荷劃分結(jié)果將為精準(zhǔn)負(fù)荷調(diào)控奠定基礎(chǔ)，而負(fù)荷曲線聚類是主流的負(fù)荷劃分思路［1-3］。按照工、商、民、農(nóng)等行業(yè)性質(zhì)對(duì)配電網(wǎng)末梢負(fù)荷進(jìn)行的傳統(tǒng)類別劃分，往往忽略電力用戶負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)的復(fù)雜性，缺乏對(duì)電力用戶用電行為的個(gè)性化分析，難以滿足負(fù)荷調(diào)控的多樣化、靈活性需求［4-6］。事實(shí)上，負(fù)荷特性受到氣候、經(jīng)濟(jì)、節(jié)假日等多個(gè)維度的因素影響，呈現(xiàn)出短期波動(dòng)性大的特點(diǎn)。即使是同一個(gè)用戶，其電力消費(fèi)模式也可能在連續(xù)幾日內(nèi)發(fā)生很大變化。因此，增加負(fù)荷分析對(duì)象的時(shí)間尺度，可避免負(fù)荷波動(dòng)規(guī)律分析的偶然性。

主流的聚類研究大致可以分為基于距離的方法［7-12］、自組織映射方法［13］以及概率生成模型［14］三類，但這些方法在實(shí)現(xiàn)上均存在參數(shù)調(diào)節(jié)問(wèn)題。少量文獻(xiàn)也考慮了負(fù)荷波動(dòng)的影響。文獻(xiàn)［15］提出基于移動(dòng)形狀的魯棒模糊K 模態(tài)（MS-RFKM）聚類方法，但難以平衡選取的符號(hào)化區(qū)間長(zhǎng)度與聚類效果的關(guān)系；文獻(xiàn)［16］采用動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整方法識(shí)別電力曲線的變化趨勢(shì)，文獻(xiàn)［17］提出兩階段負(fù)荷聚類方法，降低了聚類算法的特征空間維度，但聚類效果都受到數(shù)據(jù)維度的限制。以上問(wèn)題出現(xiàn)的根本原因在于，在高維數(shù)據(jù)情況下，數(shù)據(jù)點(diǎn)間的距離傾向于彼此接近，造成數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離關(guān)系弱化［18］。因此，負(fù)荷曲線聚類研究經(jīng)常局限于單日負(fù)荷曲線的分析，導(dǎo)致聚類結(jié)果的準(zhǔn)確度和魯棒性不足，難以準(zhǔn)確把握用戶的周期性電力消費(fèi)特征。

網(wǎng)絡(luò)科學(xué)為非線性時(shí)間序列的分析提供了全新的視角［19］。通過(guò)一定的映射方法［20］，將初始時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為一個(gè)或多個(gè)網(wǎng)絡(luò)，借助網(wǎng)絡(luò)理論描述時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)行為，有益于深化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的理解［21］?？梢晥D（visibility graph，VG）［22-23］及水平可視圖（horizontal visibility graph，HVG）［24］方法是將非線性時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為網(wǎng)絡(luò)的重要手段之一，在描述金融市場(chǎng)的長(zhǎng)期價(jià)格動(dòng)態(tài)特性、不確定性、復(fù)雜性等方面有著廣泛的應(yīng)用，所分析的對(duì)象也不受限于時(shí)間序列的維度。這種映射方法也為從網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的角度研究多日負(fù)荷曲線架設(shè)了橋梁。文獻(xiàn)［25］引入網(wǎng)絡(luò)中的“模體”工具實(shí)現(xiàn)不同行業(yè)負(fù)荷曲線特性的挖掘，是網(wǎng)絡(luò)方法在分析電力負(fù)荷曲線中應(yīng)用的一次嘗試。在面對(duì)多個(gè)分析對(duì)象時(shí)，文獻(xiàn)［26］構(gòu)建了多層網(wǎng)絡(luò)，并從量子理論的角度，對(duì)多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行約簡(jiǎn)。由上述分析可知，網(wǎng)絡(luò)分析方法克服了傳統(tǒng)時(shí)間序列分析方法難以應(yīng)對(duì)的高維數(shù)據(jù)分析問(wèn)題，可實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)行為分析，這對(duì)分析電力用戶的用電行為具有很好的借鑒意義。

針對(duì)當(dāng)前聚類方法存在的參數(shù)調(diào)節(jié)、難以分析高維度數(shù)據(jù)、可解釋性不強(qiáng)等問(wèn)題，本文提出一種基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)理念的多日負(fù)荷曲線聚類新思路。通過(guò)將配電網(wǎng)末梢負(fù)荷曲線從時(shí)間域映射到網(wǎng)絡(luò)域，實(shí)現(xiàn)了多日曲線聚類向多層網(wǎng)絡(luò)冗余結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化。相關(guān)分析過(guò)程既能避免繁多的參數(shù)調(diào)節(jié)問(wèn)題，又能增強(qiáng)聚類結(jié)果的可解釋性，為后續(xù)負(fù)荷高效調(diào)控研究提供了理論與方法支撐。

1 多日負(fù)荷曲線聚類分析

1.1 HVG 方法及多層網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

HVG 方法［27］根據(jù)特定的幾何標(biāo)準(zhǔn)將時(shí)間序列映射到圖形中，以便利用網(wǎng)絡(luò)理論來(lái)挖掘時(shí)間序列的隱含信息。已有研究表明，通過(guò)HVG 方法轉(zhuǎn)換成的網(wǎng)絡(luò)，仍能保持時(shí)間序列的固有特征，且可以捕獲 生 成 序 列 過(guò) 程 的 動(dòng) 態(tài) 特 征［28］。HVG 是 對(duì)VG 方法的幾何簡(jiǎn)化，它將時(shí)間序列中的每個(gè)點(diǎn)看作網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)間是否存在連邊則是由時(shí)間序列中對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)能否在幅值水平上無(wú)阻礙地互相看見(jiàn)決定。圖1 展示了負(fù)荷時(shí)間序列通過(guò)HVG 方法從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到網(wǎng)絡(luò)域的過(guò)程。具體的映射方法過(guò)程參見(jiàn)附錄A。所形成的網(wǎng)絡(luò)可以表示為G=(V，E，A)，其中V為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，E為連邊，A為網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣。另外，負(fù)荷曲線是由有限個(gè)負(fù)荷數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)構(gòu)成的，故本文中的負(fù)荷曲線與負(fù)荷時(shí)間序列是同一種概念。典型周負(fù)荷曲線如附錄A圖A1 所示，可以發(fā)現(xiàn)連續(xù)多日內(nèi)負(fù)荷存在著波動(dòng)幅度、波動(dòng)頻次、波峰出現(xiàn)位置以及波動(dòng)周期上的明顯差異，而周間負(fù)荷波動(dòng)則在整體上差異較小。因此，本文以周作為負(fù)荷分析的時(shí)間尺度。在多日負(fù)荷曲線聚類分析中，為了不使HVG 方法在應(yīng)用的過(guò)程中放大局部的微小波動(dòng)，本文在時(shí)間序列向網(wǎng)絡(luò)映射時(shí)忽略跨過(guò)采樣間隔不足整體采樣數(shù)據(jù)量1%（本文為4）的連邊。附錄A 圖A2 展示了典型周居民負(fù)荷曲線（每天48 個(gè)采樣點(diǎn)，共336 個(gè)采樣點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)的示意圖。在這個(gè)過(guò)程中，不會(huì)出現(xiàn)傳統(tǒng)HVG 下相鄰采樣點(diǎn)天然有連邊的結(jié)果，所形成的網(wǎng)絡(luò)也可能是非連通圖。

圖1 HVG 方法示意圖Fig.1 Schematic diagram of HVG method

多層網(wǎng)絡(luò)［29］在反映網(wǎng)絡(luò)層間節(jié)點(diǎn)關(guān)系的同時(shí)也能反映網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)節(jié)點(diǎn)的關(guān)系。由于負(fù)荷曲線分析對(duì)象的數(shù)據(jù)采樣時(shí)間段和采樣頻率一致，本文將時(shí)間作為網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，建立網(wǎng)絡(luò)相鄰層之間的聯(lián)系。在應(yīng)用HVG 方法將M個(gè)電力用戶一周的負(fù)荷時(shí)間序列轉(zhuǎn)換成網(wǎng)絡(luò)后，對(duì)時(shí)刻點(diǎn)相同的層間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，形成M維多層負(fù)荷網(wǎng)絡(luò)模型Λ={A(1)，A(2)，…，A(M)}。

1.2 考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)可能性的負(fù)荷聚類分析框架

在負(fù)荷曲線聚類問(wèn)題中，若時(shí)間序列過(guò)短，就會(huì)因電力消費(fèi)行為在宏觀消費(fèi)周期內(nèi)的隨機(jī)性而降低聚類結(jié)果的魯棒性與可解釋性；若時(shí)間序列長(zhǎng)度變大，將面臨高維時(shí)間序列帶來(lái)的聚類效率問(wèn)題，依賴參數(shù)調(diào)節(jié)的聚類方法難以確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。

目前已出現(xiàn)大量將負(fù)荷時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為伴生網(wǎng)絡(luò)的研究［27-30］，在拓寬網(wǎng)絡(luò)理論適用范圍的同時(shí)，也為負(fù)荷時(shí)間序列分析提供了全新的視角和工具。負(fù)荷曲線聚類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一種多維信息的去冗余過(guò)程，即在最大程度上保留系統(tǒng)原有信息的基礎(chǔ)上，最小化聚類內(nèi)部差異性，最大化聚類外部的區(qū)別度。與這個(gè)過(guò)程相對(duì)應(yīng)的是多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，在負(fù)荷時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為網(wǎng)絡(luò)后，根據(jù)不同電力用戶之間的時(shí)間關(guān)聯(lián)性，可建立與之相關(guān)的多層伴生網(wǎng)絡(luò)。因某些用戶的用電行為存在相似性，反映在網(wǎng)絡(luò)中即為結(jié)構(gòu)冗余。將結(jié)構(gòu)相似的網(wǎng)絡(luò)層進(jìn)行聚合，簡(jiǎn)化多層伴生網(wǎng)絡(luò)的各層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)層數(shù)，即得到緊湊的聚合層內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及各個(gè)極具區(qū)分度的聚合后的網(wǎng)絡(luò)層。由于多層伴生網(wǎng)絡(luò)中的各層網(wǎng)絡(luò)代表的是各個(gè)用戶的周負(fù)荷時(shí)間序列的波動(dòng)情況，簡(jiǎn)化后的多層伴生網(wǎng)絡(luò)中的聚合層表征了有著相似負(fù)荷波動(dòng)特性的用戶集合，聚合層個(gè)數(shù)則表征負(fù)荷曲線聚類的類別數(shù)。由此，得到負(fù)荷曲線聚類結(jié)果。多層伴生網(wǎng)絡(luò)約簡(jiǎn)與負(fù)荷曲線聚類對(duì)應(yīng)過(guò)程演示圖見(jiàn)附錄A 圖A3。針對(duì)聚類結(jié)果，從負(fù)荷波動(dòng)相對(duì)大小、波動(dòng)頻次、波動(dòng)周期等方面實(shí)現(xiàn)多日負(fù)荷曲線的波動(dòng)態(tài)勢(shì)分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同電力用戶的調(diào)度潛力挖掘。

圖2 為基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)理念的多日負(fù)荷曲線聚類分析框架，旨在從多層伴生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，挖掘連續(xù)多日負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)電力用戶的集群劃分。具體來(lái)說(shuō)，該分析框架主要包括3 個(gè)部分：

圖2 基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的多日負(fù)荷曲線聚類分析框架Fig.2 Analysis framework for multi-day load curve clustering based on structural reducibility of networks

1）生成負(fù)荷時(shí)間序列多層伴生網(wǎng)絡(luò)：采用HVG方法，建立多個(gè)用戶的負(fù)荷時(shí)間序列多層伴生網(wǎng)絡(luò)；

2）多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)：應(yīng)用信息熵理論，量化多層伴生網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)層間的差異，對(duì)相似的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行聚合直到多層網(wǎng)絡(luò)聚合為一層，并評(píng)估歷次聚合后的多層伴生網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)冗余度；

3）多日負(fù)荷曲線聚類結(jié)果解讀：選擇最優(yōu)層聚合結(jié)果作為最終的負(fù)荷分類結(jié)果，對(duì)聚類結(jié)果進(jìn)行波動(dòng)態(tài)勢(shì)以及社會(huì)屬性分析。

將多日負(fù)荷曲線作為對(duì)象，采用多層伴生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的方法進(jìn)行電力用戶負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)研究。一方面，可以在依據(jù)行業(yè)性質(zhì)的宏觀分類下，進(jìn)一步細(xì)化，針對(duì)性分析具體用戶的負(fù)荷波動(dòng)情況，將其波動(dòng)特性與社會(huì)屬性結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)更為全面的分析；另一方面，多日負(fù)荷曲線聚類分析的結(jié)果可以為電網(wǎng)的需求側(cè)響應(yīng)、電網(wǎng)規(guī)劃和電力市場(chǎng)商業(yè)報(bào)價(jià)等方面提供參考。

2 基于多層伴生網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷曲線聚類方法

2.1 多層伴生網(wǎng)絡(luò)的馮諾依曼熵

馮諾依曼熵［26］是香農(nóng)熵在量子力學(xué)領(lǐng)域的擴(kuò)展，也可用于表征圖，作為描述負(fù)荷時(shí)間序列對(duì)應(yīng)的伴生網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)參數(shù)。單層伴生網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)具體表現(xiàn)為網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)量，而多層伴生網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)則體現(xiàn)為網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)。一般而言，馮諾依曼熵值越大，狀態(tài)就越復(fù)雜。

對(duì)給定的單層負(fù)荷時(shí)間序列的伴生網(wǎng)絡(luò)G=(V，E，A)，其中，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N=|V|，連邊數(shù)K=|E|，鄰接矩陣A=(aij)，G的馮諾依曼熵定義如下：

式中：Tr（·）表示矩陣的跡；LG=c×(D-A)為與圖關(guān)聯(lián)的組合拉普拉斯矩陣，其中c=為節(jié)點(diǎn)度的對(duì)角矩陣。形式上，LG具有密度矩陣的所有性質(zhì)，根據(jù)LG的特征值集合{λ1，λ2，…，λN}，hA可以寫成如下形式：

負(fù)荷時(shí)間序列的多層伴生網(wǎng)絡(luò)馮諾依曼熵H(Λ)定義為其M層網(wǎng)絡(luò)的馮諾依曼熵之和，即

式中：上標(biāo)(α)表示α層對(duì)應(yīng)的變量。

2.2 多層伴生網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)熵

多層伴生網(wǎng)絡(luò)Λ={A(1)，A(2)，…，A(M)}的馮諾依曼熵值由網(wǎng)絡(luò)層數(shù)M和每層的具體結(jié)構(gòu)決定。而在多層伴生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的過(guò)程中，存在網(wǎng)絡(luò)聚合這一過(guò)程，必然會(huì)導(dǎo)致馮諾依曼熵值的變化。為了衡量層間聚合后的多層伴生網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)冗余度，應(yīng)用相對(duì)熵的概念進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)聚合效果的量化分析。

若M層網(wǎng)絡(luò)Λ的所有層聚合為一層，將此時(shí)的全層聚合網(wǎng)絡(luò)記為A，則其鄰接矩陣為A=A(1)+A(2)+…+A(M)，記hA為A的馮諾依曼熵。更一般地，對(duì)多層伴生網(wǎng)絡(luò)Λ的某些層聚合后，得到一個(gè)層數(shù)約簡(jiǎn)后的X層網(wǎng)絡(luò)Φ：

式中：鄰接矩陣C(α)（α=1，2，…，X）為多層伴生網(wǎng)絡(luò)Λ的一個(gè)鄰接矩陣或者是多個(gè)鄰接矩陣之和，簡(jiǎn)化后多層網(wǎng)絡(luò)Φ的層均熵如式（5）所示。

q(Φ)越大，簡(jiǎn)化后的多層網(wǎng)絡(luò)Φ與全聚合網(wǎng)絡(luò)A的差異越大。一個(gè)極端的例子就是當(dāng)Φ的所有層都相同時(shí)，q(Φ)=0，這意味著簡(jiǎn)化后的網(wǎng)絡(luò)Φ與A是完全等效的。此時(shí)，需要放棄具有多層結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)Φ而考慮結(jié)構(gòu)更為精簡(jiǎn)的全聚合網(wǎng)絡(luò)A。

2.3 多層負(fù)荷網(wǎng)絡(luò)間的詹森-香農(nóng)距離

有了相對(duì)熵對(duì)負(fù)荷時(shí)間序列的多層伴生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)冗余度的量化，多層伴生網(wǎng)絡(luò)約簡(jiǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為尋找最佳相對(duì)熵值，這是一個(gè)典型的多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性（NP）難題。為解決這個(gè)問(wèn)題，采用詹森-香農(nóng)（Jensen-Shannon，J-S）距離來(lái)量化多層伴生網(wǎng)絡(luò)所有層對(duì)之間的相似性，選擇距離最小的兩層作為該次迭代時(shí)的最佳聚合層對(duì)。

J-S 距離［31］是為解決K-L 距離的非負(fù)、非對(duì)稱性且不滿足三角不等式等問(wèn)題而被提出的，是K-L 距離的對(duì)稱和平滑版本。給定兩個(gè)密度矩陣ρ和σ，K-L 距離定義如下：

將μ=1/2(ρ+σ)作為這兩個(gè)密度矩陣的結(jié)合物，則密度矩陣ρ和σ之間的J-S 距離DJS(ρ||σ)可以表示為：

式中：h(·)表示求馮諾依曼熵。

2.4 多層伴生網(wǎng)絡(luò)約簡(jiǎn)過(guò)程

附錄A 圖A4 展示了負(fù)荷時(shí)間序列多層伴生網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)的主要過(guò)程。M維負(fù)荷時(shí)間序列通過(guò)HVG 方法映射得到多層伴生網(wǎng)絡(luò)Λ={A(1)，A(2)，…，A(M)}后，基于分層聚類的思想，利用圖的馮諾依曼熵的概念，使用J-S 距離來(lái)量化多層伴生網(wǎng)絡(luò)所有層對(duì)之間的相似性，形成多層伴生網(wǎng)絡(luò)層對(duì)間的J-S 距離矩陣。將距離最小的層對(duì)進(jìn)行聚合，得到一個(gè)新的多層網(wǎng)絡(luò)Φ，計(jì)算并記錄多層網(wǎng)絡(luò)Φ的相對(duì)熵。如果此時(shí)多層網(wǎng)絡(luò)Φ的層數(shù)不為1，即多層網(wǎng)絡(luò)Λ還未聚合成一層網(wǎng)絡(luò)，則重復(fù)上述操作，直到多層網(wǎng)絡(luò)Λ聚合成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。一般選擇各次迭代中相對(duì)熵值為全局最大的情況作為最佳層網(wǎng)絡(luò)聚合結(jié)果。

需要說(shuō)明的是，在層間具有特定度相關(guān)性的情況下，多層伴生網(wǎng)絡(luò)的各層會(huì)有等譜特性，使得各次迭代得到的相對(duì)熵的最大值出現(xiàn)在多層網(wǎng)絡(luò)尚未進(jìn)行層聚合的初始狀態(tài)時(shí)。這意味著，如果將網(wǎng)絡(luò)層進(jìn)行聚合會(huì)損失部分信息。但通常情況是，在聚合一定數(shù)量的層網(wǎng)絡(luò)之前，相對(duì)熵的大小非常接近初始狀態(tài)時(shí)相對(duì)熵的大小，即聚合這些層網(wǎng)絡(luò)損失的信息量不大。在進(jìn)一步網(wǎng)絡(luò)層聚合時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)相對(duì)熵值的大幅度降低。因此，在考慮損失較少信息的同時(shí)，獲得歷次相對(duì)熵值斜率絕對(duì)值最大的聚合情況，能在可接受的誤差范圍內(nèi)獲得最合理的網(wǎng)絡(luò)聚合結(jié)果。

2.5 聚類效果的量化指標(biāo)

為了更好地量化和比較本文方法與其他方法的聚類效果，這里提出了簇內(nèi)波動(dòng)相似性指數(shù)和簇間波動(dòng)差異性指數(shù)分別用以衡量聚類后負(fù)荷曲線簇內(nèi)波動(dòng)相似度以及簇間波動(dòng)差異度。

對(duì)于一個(gè)具有M條用戶負(fù)荷曲線且每條負(fù)荷曲 線 有N個(gè) 數(shù) 據(jù) 采 樣 點(diǎn) 的 樣 本l={xi}i=1，2，…，N，在負(fù)荷曲線聚類后得到ξ組負(fù)荷曲線簇，{αs}s=1，2，…，ξ為簇s中所含的 負(fù) 荷曲線集 合，{βs}s=1，2，…，ξ為簇s中所含的負(fù)荷曲線數(shù)量。 負(fù)荷曲線m記作lm={}i=1，2，…，N，其 波 動(dòng) 序 列Γm定 義 為 每 兩 個(gè) 數(shù) 據(jù) 采樣 點(diǎn) 間 的 波 動(dòng) 趨 勢(shì)，記 作Γm={}i=1，2，…，N-1，其中的表達(dá)式如式（9）所示。簇s的簇內(nèi)負(fù)荷曲線平均波動(dòng)序列為{}i=1，2，…，N-1，其中的表達(dá)式如式（10）所示。

負(fù)荷曲線簇內(nèi)平均波動(dòng)序列中元素的絕對(duì)值越大，反映該時(shí)刻下簇內(nèi)曲線趨勢(shì)的相似性越大。為了綜合衡量各個(gè)負(fù)荷曲線簇內(nèi)部的曲線相似程度，以簇內(nèi)負(fù)荷曲線數(shù)量占樣本數(shù)量的比例作為權(quán)重，以平均波動(dòng)絕對(duì)值大于0.5 時(shí)刻數(shù)量衡量簇內(nèi)曲線的相似程度，將這兩項(xiàng)相乘，對(duì)每個(gè)簇的此項(xiàng)結(jié)果進(jìn)行加和，得到簇內(nèi)波動(dòng)相似性指數(shù)αSI為：

式中：

αSI越大，簇內(nèi)波動(dòng)相似性越高。簇間波動(dòng)差異性指數(shù)通過(guò)與簇內(nèi)波動(dòng)相似指數(shù)相類似的思路得到。首先，根據(jù)聚類后得到的ξ組負(fù)荷曲線簇構(gòu)建ξ×ξ簇間差異度矩陣B：

式中：

簇間差異度矩陣B中的元素反映了不同簇間的波動(dòng)性差異。簇間波動(dòng)差異性指數(shù)αDI可定義為不同簇間差異度的平均值，即

αDI越大，表明不同負(fù)荷曲線簇之間的差異性越大，負(fù)荷聚類效果越好。

3 算例分析

3.1 距離量度方式對(duì)比

在開(kāi)始真實(shí)數(shù)據(jù)集的算例分析前，為了說(shuō)明本文方法所用到的距離量度方式與其他方法在多日負(fù)荷曲線量度效果上的差異，本節(jié)設(shè)計(jì)了4 種波動(dòng)類型的測(cè)試曲線。每種波動(dòng)類型中隨機(jī)生成10 條加入高斯噪聲的曲線樣本，其中，高斯噪聲分布均滿足期望為0，方差為1，噪聲大小為各采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)幅值的30%與噪聲幅度的乘積，共得到40 條測(cè)試曲線樣本，曲線樣本編號(hào)i∈[0，39]。為了與3.2 節(jié)真實(shí)算例中的數(shù)據(jù)采樣頻率和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度相對(duì)應(yīng)，這里每條曲線的采樣點(diǎn)數(shù)量均為336，48 個(gè)采樣點(diǎn)為一天的負(fù)荷數(shù)據(jù)采集量。4 種類型的測(cè)試曲線、曲線所對(duì)應(yīng)的編號(hào)及特征如附錄A 表A1 所示。

針對(duì)本文方法所用到的J-S 距離、MS-RFKM聚類算法所用到的漢明距離、K-means 算法及近鄰傳播（AP）聚類算法所用到的歐氏距離，分別計(jì)算這3 種距離度量方式下40 條測(cè)試曲線之間的距離，得到歸一化距離分布熱力圖如圖3 所示。

圖3 3 種距離量度方式下測(cè)試曲線的歸一化距離分布熱力圖Fig.3 Normalized distance distribution heat map of test curves under three distance measurement methods

由測(cè)試曲線的歸一化距離分布熱力圖可以看出，沿著對(duì)角線的方向，本文方法所用到的J-S 距離將測(cè)試曲線分成了明顯的4 類，對(duì)應(yīng)的恰好分別是4 種類別下測(cè)試曲線所屬的曲線編號(hào)，同類別測(cè)試曲線內(nèi)部之間的J-S 距離很小，體現(xiàn)了同類別內(nèi)的曲線之間的相似性；第1、2、3 類測(cè)試曲線之間的J-S距離稍大些，而第4 類測(cè)試曲線則與其他3 類測(cè)試曲線之間的距離最大，這與測(cè)試曲線特征中的“谷-峰-谷”波動(dòng)模式頻次是相對(duì)應(yīng)的，而尖峰間的相隔距離與尖峰數(shù)則造成了測(cè)試曲線類別之間的差異。MSRFKM 聚類算法所用到的漢明距離雖然同樣反映了第4 類測(cè)試曲線與第1、2、3 類測(cè)試曲線之間的差異，但是卻忽略了第1、2、3 類曲線之間的差異性，不能反映尖峰數(shù)目以及尖峰間距離的差異性。K-means 算法及AP 聚類算法所用到的歐氏距離則完全不能對(duì)測(cè)試曲線進(jìn)行正確分類。

3.2 家庭住宅負(fù)荷模式分析

本節(jié)在愛(ài)爾蘭電力和天然氣行業(yè)的監(jiān)管機(jī)構(gòu)——能源監(jiān)管委員會(huì)（CER）數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選擇100 個(gè)家庭住宅用戶的8 月第1 周的負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)，日采樣頻率為半小時(shí)，一周共計(jì)336 個(gè)采樣點(diǎn)。將100 個(gè)家庭住宅的周負(fù)荷時(shí)間序列通過(guò)HVG 方法映射成層數(shù)為100 的多層伴生網(wǎng)絡(luò)。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算各層對(duì)間的J-S 距離矩陣（部分迭代過(guò)程中的JS 距離熱力圖如圖4（a）所示）。對(duì)J-S 距離最小的層對(duì)進(jìn)行聚合，更新層間聚合所形成的新網(wǎng)絡(luò)層的鄰接矩陣，記錄層聚合后的相對(duì)熵（歷次迭代相對(duì)熵值如圖4（b）所示），并重復(fù)上述過(guò)程直到整個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)完全聚合為一層。

圖4 家庭住宅用戶的J-S 距離熱力圖及相對(duì)熵折線圖Fig.4 J-S distance heat maps and relative entropy line chart of residential users

第97 次迭代的相對(duì)熵值（黑色標(biāo)記位置）未達(dá)到全局最大值，即多層伴生網(wǎng)絡(luò)層間存在較強(qiáng)的度相關(guān)性而存在等光譜特性。而在第89 次層對(duì)聚合時(shí)折線的斜率絕對(duì)值達(dá)到最大（紅色標(biāo)記位置），故選擇第89 次迭代結(jié)果作為最優(yōu)層聚合方案。該種層聚合方式將100 個(gè)家庭住宅的周負(fù)荷曲線分成8 類，具體的歸一化負(fù)荷波動(dòng)圖見(jiàn)附錄A 圖A5。此外，采用2.5 節(jié)的方法將本文方法、MS-RFKM 聚類算法、K-means 算法、AP 聚類算法對(duì)同一數(shù)據(jù)集的聚類結(jié)果進(jìn)行分析和比較，結(jié)果見(jiàn)附錄A 圖A6?？梢钥闯觯疚姆椒▽?duì)家庭住宅用戶的負(fù)荷曲線聚類結(jié)果無(wú)論是在簇內(nèi)波動(dòng)相似性方面還是在簇間波動(dòng)差異性方面的表現(xiàn)都優(yōu)于其他方法。

從負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)上來(lái)看，第0 組和第4 組用戶的工作日負(fù)荷波動(dòng)較為規(guī)律，用電低谷時(shí)段均較長(zhǎng)，但第4 組用戶在工作日內(nèi)的負(fù)荷波動(dòng)伴有明顯的雙峰波動(dòng)特性，周末負(fù)荷波動(dòng)頻次較高，相較于工作日差別較大，而第0 組用戶的工作日和周末用電相似度較高，且有固定的波峰時(shí)段。第1 組和第3 組用戶均表現(xiàn)為周末用電雜亂、工作日負(fù)荷波動(dòng)規(guī)律且伴有規(guī)律的波峰時(shí)段，用電低谷時(shí)段較長(zhǎng)，但第3 組用戶用電時(shí)段的負(fù)荷波動(dòng)頻次更高。第2 組和第5 組用戶的日內(nèi)負(fù)荷波動(dòng)伴有較為明顯的雙峰波動(dòng)特征，用電低谷時(shí)段較短，但第2 組的雙峰出現(xiàn)的時(shí)段較為隨機(jī)，負(fù)荷波動(dòng)的規(guī)律性較差，而第5 組工作日的負(fù)荷規(guī)律性較強(qiáng)，工作日和周末的負(fù)荷波動(dòng)存在一定的差別。第6 組和第7 組用戶的用電低谷時(shí)段長(zhǎng)，第6 組用戶雖整體用電規(guī)律性較差，但偶爾會(huì)出現(xiàn)規(guī)律的雙峰時(shí)段，用電低谷時(shí)段長(zhǎng)，第7 組用電整體規(guī)律性很差，負(fù)荷波動(dòng)頻次不高，且出現(xiàn)的用電時(shí)段較為隨機(jī)。

從社會(huì)調(diào)查信息上看，采用本文方法的聚類結(jié)果呈現(xiàn)了承擔(dān)主要收入來(lái)源的家庭成員的職業(yè)分布差異化。其中，80%的雇員的電力消費(fèi)情況大多分布在第1、2、3、4、5 組用戶中，而雇主在同樣的分布中的比例僅為40%左右；在采取節(jié)電措施的意愿調(diào)查中，第3 組用戶中約有79%的用戶表達(dá)出較強(qiáng)的節(jié)電意識(shí)，并在不同程度上已經(jīng)采取了相應(yīng)的節(jié)電措施，從該類別的歸一化用戶負(fù)荷折線圖中也可以發(fā)現(xiàn)，在較長(zhǎng)周期內(nèi)，該類別的大多數(shù)用戶用電規(guī)律，用電低谷時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，用電期間的用電量水平也較為平均。第7 組用戶則僅有25%的用戶表達(dá)出較強(qiáng)的節(jié)電意識(shí)，而在該類別的歸一化用戶負(fù)荷折線圖中可以看到，在較長(zhǎng)周期內(nèi)，該用戶類別的用電低谷表現(xiàn)較為雜亂，聚類結(jié)果與調(diào)查情況總體表現(xiàn)一致。

根據(jù)負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)和社會(huì)屬性的分析，第0 組和第5 組負(fù)荷曲線出現(xiàn)波峰的時(shí)段都有一定的規(guī)律性，出現(xiàn)的時(shí)段相較于常規(guī)的波峰時(shí)段或超前或滯后，可以將其視作錯(cuò)峰調(diào)節(jié)的輔助資源。第1 組用戶一周用電的規(guī)律性都較為統(tǒng)一，用電時(shí)間上的調(diào)控空間有限，但存在電價(jià)引導(dǎo)降低用電量的可能。第2 組用戶用電曲線雙峰出現(xiàn)的時(shí)間較為隨機(jī)，可通過(guò)價(jià)格引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)錯(cuò)峰調(diào)節(jié)資源。第3 組的多數(shù)用戶的節(jié)電意識(shí)較強(qiáng)，其用電波動(dòng)頻繁可能是由于重復(fù)的開(kāi)斷電器，可引導(dǎo)其在用電低谷時(shí)段的用電增加。第4 組在工作日用電規(guī)律性較強(qiáng)，可通過(guò)價(jià)格對(duì)其周末用電進(jìn)行調(diào)節(jié)。第6 組用電規(guī)律性較差，一般不可調(diào)節(jié)。第7 組多數(shù)用戶節(jié)電意識(shí)弱，可調(diào)節(jié)空間有限。

3.3 中小企業(yè)負(fù)荷模式分析

本節(jié)同樣在CER 數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選擇了100 個(gè)中小企業(yè)用戶的8 月第1 周的負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象，圖5（a）為迭代過(guò)程中的部分J-S 距離矩陣熱力圖。圖5（b）相對(duì)熵折線圖中紅色標(biāo)記所示的第94 次聚合相對(duì)熵值為全局最大值，因此將該次聚合情況作為最優(yōu)結(jié)果。本文方法將100 個(gè)中小企業(yè)用戶一周負(fù)荷曲線聚類分為4 個(gè)類別，其歸一化負(fù)荷波動(dòng)圖見(jiàn)附錄A 圖A7。4 種方法下中小企業(yè)用戶的負(fù)荷波動(dòng)聚類效果圖如附錄A 圖A8 所示。

圖5 中小企業(yè)用戶的J-S 距離熱力圖及相對(duì)熵折線圖Fig.5 J-S distance heat maps and relative entropy line chart of small- and medium-size enterprises

由于中小企業(yè)用戶的負(fù)荷曲線自身用電規(guī)律性很強(qiáng)，波動(dòng)也比較頻繁，在保證一定的簇內(nèi)相似性情況下，簇間波動(dòng)差異性指數(shù)越大，更易說(shuō)明聚類效果的優(yōu)劣。除此之外，本文方法更加側(cè)重于對(duì)負(fù)荷波動(dòng)特性的刻畫，可解釋性強(qiáng)的同時(shí)，在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中無(wú)需調(diào)參，其他聚類方法不具備此種特征。因此，本文方法相較于其他聚類方法依然具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。

從負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)上來(lái)看，第0、1、2、3 組用戶的波動(dòng)周期性都比較明顯，第1 組用戶的用電低谷時(shí)段較短，用電波動(dòng)頻次大；第0 組和第3 組用戶的波動(dòng)頻次較大，且用電峰谷差大，但是第3 組用戶的用電時(shí)間更長(zhǎng)；第2 組的用電峰谷差最大，但是整體波動(dòng)頻次不高。

從社會(huì)調(diào)查信息來(lái)看，第0 組用戶中有82%的用戶具有強(qiáng)烈的節(jié)電意識(shí)且均有自備的發(fā)電裝置，企業(yè)性質(zhì)大多為技術(shù)服務(wù)開(kāi)發(fā)和咨詢公司；第1 組用戶中89%均來(lái)自服務(wù)行業(yè)，其中，企業(yè)運(yùn)營(yíng)時(shí)間低于5 年的均為零售商或者無(wú)雇員的自營(yíng)店，而在用電相關(guān)的意愿調(diào)查部分，該類別中有92%的用戶有較強(qiáng)的意愿想要了解企業(yè)在不同時(shí)段的電費(fèi)情況；第2 組用戶的電費(fèi)在整個(gè)企業(yè)的預(yù)算中具有較高水平，大都超過(guò)10%，企業(yè)性質(zhì)主要為工業(yè)、電力交通行業(yè)等，用電需求量較大；第3 組用戶營(yíng)業(yè)額均為中等及以下，對(duì)企業(yè)自身的電力消費(fèi)情況的關(guān)注度不高，均來(lái)自服務(wù)業(yè)。

根據(jù)負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)和社會(huì)屬性的分析，第0 組可通過(guò)簽訂用戶用電時(shí)段協(xié)議等措施將其視為一種可中斷負(fù)荷。第1 組用戶的日用電規(guī)律性較強(qiáng)，但是鑒于其中的多數(shù)用戶對(duì)電費(fèi)的關(guān)注度較高，可通過(guò)電價(jià)引導(dǎo)其有序用電。第2 組用戶用電規(guī)律性強(qiáng)且大多為高耗能企業(yè)，可調(diào)度性不強(qiáng)。第3 組用戶用電高峰時(shí)段較為超前，可作為一種錯(cuò)峰調(diào)節(jié)資源。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)分析配電網(wǎng)末梢負(fù)荷曲線聚類與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)冗余問(wèn)題在科學(xué)內(nèi)涵上的一致性，借鑒網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)理念，提出了一種多日負(fù)荷曲線高效、精準(zhǔn)聚類的新思路。同時(shí)，在依據(jù)行業(yè)性質(zhì)的宏觀分類基礎(chǔ)上，考慮配電網(wǎng)末梢負(fù)荷日間波動(dòng)的差異性，對(duì)多日負(fù)荷曲線進(jìn)行聚類，實(shí)現(xiàn)負(fù)荷波動(dòng)相似性的挖掘。算例結(jié)果表明，本文所采用的HVG 方法能根據(jù)負(fù)荷曲線本身的波動(dòng)特性自動(dòng)建立網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的聯(lián)系，進(jìn)而保留時(shí)間序列的固有波動(dòng)特征；基于網(wǎng)絡(luò)信息熵的結(jié)構(gòu)冗余度評(píng)估，能自適應(yīng)實(shí)現(xiàn)多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約簡(jiǎn)過(guò)程且避免復(fù)雜的參數(shù)設(shè)置；所得到的多日負(fù)荷曲線聚類結(jié)果能有效反映用戶電力消費(fèi)特征與社會(huì)標(biāo)簽，具有可解釋性。在未來(lái)的研究中，將考慮分層分區(qū)聚類以進(jìn)一步提升聚類效率，同時(shí)擴(kuò)展負(fù)荷時(shí)序特征的分析維度以進(jìn)一步剖析負(fù)荷波動(dòng)態(tài)勢(shì)與需求側(cè)響應(yīng)潛力的關(guān)聯(lián)機(jī)理。

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