胡華芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)內(nèi)涵做出了概括，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。新西蘭約翰·哈蒂的著作《可見的學(xué)習(xí)》這本書里對“可見的學(xué)習(xí)”中“可見”有這樣的解釋：“可見”首先指讓學(xué)生的學(xué)對教師可見，確保教師能夠明確辨析出對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生顯著作用的因素。管老師的“圓柱與圓錐”正是學(xué)生核心素養(yǎng)可見的一節(jié)課，下面我先簡單陳述案例，再以案例說說我對本課中學(xué)生核心素養(yǎng)“可見”的理解與思考。

【精彩回放】

一、導(dǎo)入

教師出示陀螺，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察陀螺。

二、新課探究

1.切分陀螺，可以分成圓柱和圓錐。

2.利用經(jīng)驗判斷生活中的圓柱和圓錐。

3.根據(jù)以往研究立體圖形的經(jīng)驗研究圓柱的特征。

教師總結(jié)學(xué)生的回答，讓學(xué)生通過看、聽、摸等進行思考，即觀察、操作和交流。

通過教師提供的材料，學(xué)生自主探究圓柱的特征：有兩個底面、一個側(cè)面，且上下一樣粗細。

學(xué)生根據(jù)總結(jié)的特征判斷腰鼓是否為圓柱。

4.以同樣的方式研究圓錐的特征。

同樣用提供的材料，學(xué)生自主判斷出圓錐的特征：有一個頂點、一個側(cè)面和一個底面。

在操作環(huán)節(jié)，教師見機引導(dǎo)，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性和自主性。

5.利用圓柱大變樣引出高。

教師對圓柱進行“高矮胖瘦大變形”，讓學(xué)生說一說圓柱發(fā)生了什么變化。在高矮變形中引出高，從出示的牙簽筒引導(dǎo)學(xué)生說出高的概念和如何測量，并拓展到圓錐的高。

6.根據(jù)提供的材料動手做一個圓柱。

材料一：一張長方形紙和兩個同樣大小的圓紙片。

材料二：一些大小相同的圓形紙片。

7.通過演示旋轉(zhuǎn)體獲得圓柱和圓錐。

給出幾個學(xué)過的平面圖形：長方形、三角形、梯形等，想辦法得到今天學(xué)習(xí)的立體圖形。

三、走進生活

教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的“圓柱與圓錐”。

四、回顧反思

【賞析反思】

一、會用數(shù)學(xué)的眼光觀察

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)為學(xué)生提供了一種認識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式。通過數(shù)學(xué)的眼光，我們可以從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)空間形式，抽象出數(shù)學(xué)研究對象及其屬性。本節(jié)課是圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容，通過對現(xiàn)實物體陀螺的抽象，得到了兩個研究對象——圓柱和圓錐；通過對圓柱和圓錐的直觀觀察和動手實踐，學(xué)生初步感知圓柱和圓錐的特征及高的含義。

（一）看得見的經(jīng)驗——直觀感知

知識來源于豐富的現(xiàn)實原型，與現(xiàn)實生活緊密相連，這就要求學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光進行觀察。管老師從學(xué)生熟悉的陀螺入手，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光重新認識陀螺的外形，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它可以看作是一個圓柱和一個圓錐的組合體。接著出示生活中常見的圓柱和圓錐形物體，讓學(xué)生判斷。通過對現(xiàn)實的圓柱和圓錐的直觀感知，學(xué)生初步認識了圓柱和圓錐，直觀感知了圓柱和圓錐的空間形式。

（二）看得見的特征——觀察判斷

觀察是一種有目的、有順序、相對比較持久的視覺活動。觀察之前，教師要指導(dǎo)學(xué)生觀察方法，提高學(xué)生的觀察能力，發(fā)展空間觀念。課中，管老師提問：“根據(jù)以往研究立體圖形的經(jīng)驗，你可以從哪些角度研究立體圖形？”隨后又引導(dǎo)學(xué)生說一說研究方法有什么。學(xué)生認為可看一看、動手摸一摸等。教師隨后指出用眼睛看一看實際就是觀察。通過觀察，學(xué)生得出圓柱的部分特征，有三個面，兩個底面是大小相同的圓形，一個側(cè)面是曲面。通過觀察，學(xué)生把對圓柱的直觀感知變?yōu)閳A柱的定性特征，這樣更有利于學(xué)生判斷圓柱。而這樣的觀察結(jié)果在教師的預(yù)設(shè)內(nèi)，因為學(xué)生說得不是很全面，所以管老師出示了腰鼓（見圖2）。腰鼓滿足學(xué)生說的圓柱的一切的特征，可是它不是圓柱，從而讓學(xué)生認識到圓柱還有一個重要特征就是“上下一樣粗細”。這里的設(shè)計讓我們感受到了管老師做了學(xué)情調(diào)查，能夠預(yù)設(shè)這樣的一個環(huán)節(jié)，同時當(dāng)學(xué)生沒有說出來時，也不是直接告知，而是用一個反例去引導(dǎo)學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)。認識了圓柱的特征后，當(dāng)管老師出示金箍棒讓學(xué)生判斷底面和側(cè)面時，學(xué)生就很容易了。其實金箍棒是圓柱的一種變式，打破了學(xué)生對圓柱的固有印象，為后面游戲環(huán)節(jié)“圓柱大變樣”做了很好的鋪墊。

（三）看得見的“高”——度量定義

對于圓柱的高的講解，管老師設(shè)計得很巧妙。他通過“游戲大變形”不僅鞏固了圓柱的特征，也通過高矮胖瘦的變化，讓學(xué)生認識到圓柱是有高的。可是學(xué)生只能直觀感知圓柱的高矮，但是高到底在哪兒呢？這里管老師一反常規(guī)，沒有先告知學(xué)生圓柱高的定義，而是直接讓學(xué)生測量圓柱的高。通過用直角三角尺的直角邊進行垂直測量，學(xué)生能夠準確地理解圓柱的高。這里管老師選擇了相信學(xué)生，相信他們能理解圓柱的高。接著，管老師出示牙簽筒（見圖3），里面豎直放著很多牙簽。學(xué)生說：“牙簽的長度不就是牙簽筒的高嘛！”通過這個環(huán)節(jié)的設(shè)計，圓柱的高變得可見了。學(xué)生能直觀看見兩個底面之間的距離就是牙簽的高度，而且這樣的高有很多條。

二、會用數(shù)學(xué)的思維思考

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式。通過數(shù)學(xué)的思維，我們可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的邏輯關(guān)系。本節(jié)課通過給定的素材，讓學(xué)生創(chuàng)作一個圓柱，創(chuàng)作過程就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，從而讓學(xué)生理解圓柱和圓錐可以通過平面圖形旋轉(zhuǎn)或疊加而成。

（一）思維可見的操作——素材創(chuàng)造

空間觀念的建立需要引導(dǎo)學(xué)生進行具體的操作活動，通過拼一拼、搭一搭等活動過程的多感官的協(xié)調(diào)作用，讓學(xué)生對具體對象形成相應(yīng)的空間表象，獲得對幾何知識和方法的理解，建立和發(fā)展空間觀念。

在“我能做圓柱”這個環(huán)節(jié)中，教師提供什么樣的素材直接反映了教師如何教、學(xué)生如何學(xué)。素材的選擇和創(chuàng)造使教師和學(xué)生的思維都變得可見。這里管老師選擇了呈現(xiàn)兩種做圓的素材，一種是給學(xué)生同一個圓柱的三個面，讓他們自己拼。另一種就是許多大小一樣的圓形紙片。學(xué)生運用第一種素材時，管老師提問：“這種辦法在做的時候要注意什么？”因為長方形卷成圓柱的側(cè)面有兩種方式，一種是長做底面周長，一種是寬做底面周長。學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有長做底面周長時才能圍成圓柱。通過提問，管老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)底面周長和側(cè)面展開的長之間的關(guān)系，為后面學(xué)生計算圓柱表面積做了鋪墊。而另一種圓片的累積的過程是對圓柱特征的進一步鞏固。同時，我覺得這里其實也是管老師為后面的提問留下的伏筆。后面的教學(xué)中，管老師提問：“一個圓形紙片，你能想辦法創(chuàng)作一個圓柱嗎？”其實剛剛圓片的累積，已經(jīng)為從平面圖形向空間圖形的轉(zhuǎn)化提供了一種思路，當(dāng)一個圓片做上下平移時，就可以形成圓柱，為后面長方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱等建立了平面圖形和空間圖形的聯(lián)系，讓學(xué)生了解了空間圖形可以以平面圖形運動而形成。雖然這里課堂中沒有體現(xiàn)出來，但是我覺得這是管老師的精心設(shè)計。只是課堂是一個不斷生成的過程，教師應(yīng)隨著學(xué)生的反應(yīng)做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

（二）思維可見的想象——運動推理

數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)思維的基本要素，是數(shù)學(xué)認知活動中不可缺少的環(huán)節(jié)。圓柱和圓錐甚至實際生活中常見的陀螺等空間圖形或物體，其實都是可以由平面圖形運動而形成的。這樣的設(shè)計突破了二維和三維之間的界限，讓二維的平面圖形和三維的空間圖形建立了聯(lián)系。比如，長方形圍繞長或者寬旋轉(zhuǎn)一周可以形成不同的圓柱，直角三角形沿著兩個直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成兩個不同的圓錐。而直角梯形，沿著它的下底旋轉(zhuǎn)一周就是課堂一開始的陀螺。這樣的過程，教師首先讓學(xué)生自己在頭腦中想象運動的軌跡，說一說最后形成的立體圖形，然后再通過動畫呈現(xiàn)運動軌跡，佐證學(xué)生的想象，讓學(xué)生的想象力變得可見。

三、會用數(shù)學(xué)的語言表達

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)為學(xué)生提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。通過數(shù)學(xué)的語言，我們可以簡約、精確地描述現(xiàn)實情境中的空間形式。本課學(xué)生從點、線、面出發(fā)對圓柱和圓錐這兩個立體圖形的特征進行了簡潔而準確的概括。

（一）可見的引導(dǎo)表達——研究方法

在學(xué)習(xí)圓柱和圓錐之前，學(xué)生已經(jīng)有很多學(xué)習(xí)平面圖形和立體圖形的經(jīng)驗。那么學(xué)生就會運用以前研究圖形的方法研究圓柱和圓錐。但是學(xué)生往往會做但不會說，并不是他們不知道，而是他們不擅長用簡潔、準確的語言來概括這些研究方法。管老師在借班上這節(jié)課時，提問：“研究方法有哪些？”學(xué)生一時沒有反應(yīng)過來，于是管老師及時引導(dǎo)：“你一直在扶著眼睛，可以用眼睛——看?！苯铏C讓學(xué)生概括在數(shù)學(xué)上這個方法叫“觀察”。接著學(xué)生的手就都舉起來了，管老師評價：“一啟發(fā)大家就開始動腦筋了。你們也可以用手摸，也就是——操作。你看，還有同學(xué)咧嘴笑呢，所以你們也可以用嘴交流?！蓖ㄟ^引導(dǎo)學(xué)生用感官感知，交流得到研究立體圖形的方法有觀察、操作和交流。

（二）可見的引導(dǎo)交流——團結(jié)協(xié)作

借班上課，學(xué)生開始都有一個適應(yīng)階段。而這個適應(yīng)的時間是比較短的，教師怎樣在這么短的時間里調(diào)動學(xué)生的表達欲是一個極大的挑戰(zhàn)。在這節(jié)課上，我看到了管老師駕馭課堂的魅力，看到他恰到好處而又不刻意地引導(dǎo)、表達，逐步調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱忱，這讓人很欽佩。比如，在小組匯報圓柱的特征時，學(xué)生第一次合作說得不夠全面。管老師引導(dǎo)學(xué)生說：“可以問問其他的同學(xué)，有補充嗎？”當(dāng)學(xué)生補充后，他又引導(dǎo)：“你們剛剛都說了圓柱有三個面，其中圓柱的上下底面是一樣的？你們是怎么判斷它們是一樣的？”這時匯報的那個學(xué)生想回答，但管老師為了引導(dǎo)更多的學(xué)生去回答，他對這個學(xué)生說：“等等，你幫我喊人?！苯又芯繄A錐時，他引導(dǎo)學(xué)生說：“剛剛我們研究了圓柱，現(xiàn)在誰能介紹圓錐？剛剛請了一個男孩，這里我們可以請一個女孩?！边@一系列引導(dǎo)，逐漸調(diào)動各類學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在后面的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不再拘束，變得敢于表達自己，生生配合得也越來越好。

從整節(jié)課中我們可以看出，管老師的教學(xué)一直注重讓學(xué)生核心素養(yǎng)達成之路可見，能清晰地看出學(xué)生是如何獲取知識、理解知識和升華知識的。這個學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)可見的過程中，學(xué)生對學(xué)習(xí)抱有極大的熱情，自主自發(fā)地去學(xué)習(xí)。這節(jié)課給我們指明了圖形與幾何領(lǐng)域如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程可見，并確保教師朝著探索學(xué)生、發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的方向努力。

（作者單位：南京市月華路小學(xué)）

編輯：張俐麗