■ 甘肅省金昌市第一中學(xué) 高 婷

立體幾何中的空間角(包括異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的平面角)問題,是歷年高考立體幾何解答題中必不可少的一個(gè)基本考點(diǎn)。此類問題借助相應(yīng)的空間幾何體的情景創(chuàng)設(shè),利用空間中直線、平面等元素之間的關(guān)系,合理構(gòu)建對應(yīng)的空間角,全面考查同學(xué)們的空間想象能力,以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。而其中,借助空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用空間中點(diǎn)、向量的坐標(biāo)表示與代數(shù)運(yùn)算,可以將抽象的邏輯推理轉(zhuǎn)化為直接的數(shù)學(xué)運(yùn)算,是解決空間角問題最為常見的一個(gè)基本技巧方法。

一、異面直線所成的角

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將對應(yīng)的異面直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定異面直線所成的角。這里需要注意的是異面直線所成的角與向量的夾角這兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。

例1(2023 屆天津市九十五中高三(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷)在如圖1所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,四邊形ADPQ是 梯 形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平 面ABCD,且AD=PD=2QA=2。

圖1

(1)求證:QB∥平面PDC;

(2)求平面CPB與平面PBQ所成角的正弦值;

(3)已知點(diǎn)H在棱PD上,且異面直線AH與PB所成角的余弦值為,求線段DH的長。

解析:(1)由已知可知PD⊥AD,平面ADPQ⊥平面ABCD,PD?平面ADPQ,所以PD⊥平面ABCD。

因?yàn)锳Q∥PD,AB∥CD,AQ∩AB=A,PD∩CD=D,AB?平面ABQ,AQ?平面ABQ,PD?平面PDC,CD?平面PDC,所以平面ABQ∥平面PDC。因?yàn)镼B?平面ABQ,所以QB∥平面PDC。

圖2

關(guān)系歸納:設(shè)異面直線t1,t2的方向向量分別為a,b,則異面直線t1,t2所成角的余弦值等于|cos|。

二、直線與平面所成的角

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將對應(yīng)直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來,同時(shí)確定相應(yīng)平面的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定直線與平面所成的角。這里需要注意的是直線所對應(yīng)的方向向量與平面的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對值就是所求直線與平面所成角的正弦值,正確區(qū)分兩者之間的關(guān)系,不要混淆。

例2(2022 屆江蘇省七市高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC。點(diǎn)M在棱PB上,PM=2MB,點(diǎn)N在棱PC上,PA=AB=AD=BC=2。

圖3

(1)若CN=2NP,Q為PD的中點(diǎn),求證:A,M,N,Q四點(diǎn)共面;

(2)求直線PA與平面AMN所成角的正弦的最大值。

圖4

圖5

三、二面角的平面角

圖6

合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定兩個(gè)半平面的法向量后,利用向量的數(shù)量積公式加以運(yùn)算,進(jìn)而確定二面角的平面角。這里需要注意的是兩個(gè)半平面的法向量之間的夾角與二面角的平面角可能相等,也可能互補(bǔ),需要結(jié)合具體圖形加以直觀分析與判斷,不要盲目確定,導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3(2022 屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三下學(xué)期5 月教學(xué)情況調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題)如圖7,在四棱錐SABCD中,底面四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,△SAD為正三角形,平面SAD⊥平面ABCD。

圖7

(1)求二面角S-BC-A的大小。

(2)在線段SC(端點(diǎn)S,C除外)上是否存在一點(diǎn)M,使得AM⊥BD? 若存在,指出點(diǎn)M的位置;若不存在,請說明理由。

解析:(1)取AD的中點(diǎn)O,連接SO,BO,因?yàn)镾A=SD,OA=OD,所 以SO⊥AD。

又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SO?平面SAD,所以SO⊥平面ABCD。

因?yàn)镺B?平面ABCD,所以SO⊥OB。

因?yàn)锽A=BD,OA=OD,所以O(shè)A⊥OB,所以O(shè)A,OB,OS兩兩垂直。

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖8 所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz。

圖8

圖9

圖10

在解決立體幾何中的空間角問題時(shí),除以上借助空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用坐標(biāo)法并通過代數(shù)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化與求解外,還經(jīng)常借助幾何法的邏輯推理,向量法或基底法的向量運(yùn)算與推理等其他方法來解決。而無論采取何種方法來破解立體幾何中的空間角問題,關(guān)鍵是要充分考慮題目條件,展開空間想象力,綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等來綜合分析與處理,借助巧妙運(yùn)算,正確推理,從而輕松破解該類問題。