■江蘇省如皋中學(xué) 陳國(guó)建

通過(guò)對(duì)近幾年高考試卷的研究,不難發(fā)現(xiàn),新高考數(shù)學(xué)對(duì)立體幾何模塊的考查以基礎(chǔ)為主,以空間想象能力、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的素養(yǎng)為根本,更加注重相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性和在數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題,對(duì)考生的能力與素養(yǎng)的要求更高。特別地,以常見(jiàn)的三個(gè)“動(dòng)”——?jiǎng)邮?、?dòng)腦、動(dòng)態(tài)為根本的立體幾何問(wèn)題,是新高考數(shù)學(xué)試卷中解答題的一個(gè)熱點(diǎn)考向,同學(xué)們要引起重視。

一、動(dòng)手——空間距離問(wèn)題

例1如圖1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,AC=,E,F分別為線段BB1,AC1的中點(diǎn)。

圖1

(1)證 明:EF⊥平 面A1ACC1;

(2)若直線EA與平面ABC所成的角大小為,求點(diǎn)C到平面AEC1的距離。

解析:(1)取BC的中點(diǎn)M,連接FM,BM,如圖2。在△ACC1中,由F,M分別為AC1,AC的中點(diǎn),可得FM=CC1,且FM∥CC1。又在直三棱柱ABCA1B1C1中,E是BB1的中點(diǎn),所以BE=CC1,且BE∥CC1,則有BE=FM,且BE∥FM,所以四邊形BEFM為平行四邊形,可得EF∥BM。在△ABC中,M為AC的中點(diǎn),且AB=BC=1,AC=,所以BM⊥AC,且BM=。由于CC1⊥平面ABC,BM?平面ABC,所以CC1⊥BM。又CC1∩AC=C,所以BM⊥平面A1ACC1,則有EF⊥平面A1ACC1。

圖2

解題技巧總結(jié):空間距離問(wèn)題往往以求解點(diǎn)面距離為主,其破解方法有以下常見(jiàn)的三種:(1)作點(diǎn)到面的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離;(2)等體積法;(3)向量法。其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的試題中使用較簡(jiǎn)便。

二、動(dòng)腦——探索性問(wèn)題

例2如圖3,在四棱錐S-ABCD中,底面四邊形ABCD是矩形,△SAD是正三角形,且平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,P為棱AD的中點(diǎn),四棱錐S-ABCD的體積為

圖3

(1)若E為棱SB的中點(diǎn),求證:PE∥平面SCD。

(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)M,使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為若存在,指出點(diǎn)M的位置并給以證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析:(1)取SC的中點(diǎn)F,連接EF,DF。在△SBC中,由于E,F為SB,SC的中點(diǎn),可得EF∥BC,且EF=BC。由于四邊形ABCD是矩形,P為棱AD的中點(diǎn),可得PD∥BC,PD=BC。所以EF∥PD,EF=PD,故四邊形PEFD是平行四邊形,所以PE∥FD。又FD?平面SCD,PE?平面SCD,所以PE∥平面SCD。

(2)假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)M滿足題意。

圖4

解題技巧總結(jié):空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題,它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、認(rèn)證、推理,只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷。(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解,應(yīng)先假設(shè)存在,把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等;(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題,通常借助向量,引進(jìn)參數(shù),綜合已知和結(jié)論列出等式,解出參數(shù)。

三、動(dòng)態(tài)——翻折與展開(kāi)問(wèn)題

例3如圖5,在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=3,∠ABC=30°,AE⊥BC,垂足為E。如圖6,以AE為折痕把△ABE折起,使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置,且平面PAE與平面AECD所成的角為90°。

圖5

圖6

(1)求證:PE⊥CD;

(2)若點(diǎn)F在線段PC上,且二面角F-AD-C的大小為30°,求三棱錐FACD的體積。

解析:(1)由于平面PAE與平面AECD所成的角為90°,可得平面PAE⊥平面AECD。而平面PAE∩平面AECD=AE,PE⊥AE,PE?平面PAE,所以PE⊥平面AECD。又CD?平面AECD,故PE⊥CD。

(2)由(1)知PE⊥平面AECD,所以PE⊥AE,PE⊥CE,而EA⊥EC,所以EA,EC,EP兩兩垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA,EC,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz。

圖7

解題技巧總結(jié):破解翻折與展開(kāi)問(wèn)題的基本技巧策略為:(1)確定翻折前后變與不變的關(guān)系:一般地,位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變,而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于不變的關(guān)系,可以在平面圖形中處理,對(duì)于變化的關(guān)系,則要在立體圖形中處理。(2)確定翻折前后關(guān)鍵點(diǎn)的位置變化:關(guān)鍵點(diǎn)是指翻折過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)。因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng),會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化,只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置,才能以此為參照,確定與其相關(guān)的點(diǎn)、線、面的位置,進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算。

對(duì)于解答題中的立體幾何的考查,新高考數(shù)學(xué)試題朝著“重視基礎(chǔ)、鞏固根本、強(qiáng)調(diào)綜合、體現(xiàn)應(yīng)用、著力創(chuàng)新”等特點(diǎn)的命題方向發(fā)展。此部分的命題趨勢(shì)與展望大體上是更加注重立體幾何中基本概念的理解與掌握,基本定理的推理與應(yīng)用,空間模型更加精細(xì),空間元素更加清晰,同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的有機(jī)融合與交匯等。