吳燕瑞，劉 婷，程國飛，魏文強(qiáng)，蘇開華

（中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 中山 528437）

目前在評價金屬材料沖擊韌性的方法中，儀器化沖擊試驗作為一種新方法，得到了廣泛的認(rèn)可。該方法通過測出沖擊過程中的力-位移曲線來計算沖擊功，并使用曲線上的特征值-最大力Fm將沖擊功分成了2 部分：裂紋形成功及裂紋擴(kuò)展功；另外，還使用曲線上的特征值來計算沖擊試樣斷口的韌性斷面率[1]。相對于傳統(tǒng)的沖擊試驗方法，儀器化沖擊試驗的沖擊功具有更加明確的物理意義，能更準(zhǔn)確評價材料的刃脆性。

儀器化沖擊試驗方法用于評價材料沖擊韌性的可靠性，關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確地獲得沖擊過程的力-位移曲線。目前的儀器化沖擊試驗方法主要采用應(yīng)變式力傳感器測出沖擊過程中擺錘所受到的力-時間曲線，而位移一般通過用力-時間曲線計算得到，或者通過傳感器直接測出[2]。但是該方法對應(yīng)變式力傳感器的標(biāo)定是在靜加載的情況下進(jìn)行的，而測定沖擊載荷屬于動態(tài)測量，導(dǎo)致測量誤差大、線性度差和漂移嚴(yán)重等問題[3]。于是，學(xué)者Anton 等[4]提出用加速度傳感器測出沖擊過程的載荷歷程、位移傳感器測出位移歷程，再將2 路數(shù)據(jù)相結(jié)合從而獲得力-位移曲線，但是發(fā)現(xiàn)由于擺桿-擺錘系統(tǒng)在沖擊載荷的作用下產(chǎn)生振動響應(yīng)，導(dǎo)致采集到的加速度信號存在高頻振蕩信號，最終導(dǎo)致用力-位移曲線計算出的沖擊功與沖擊試驗機(jī)表盤上的讀數(shù)相差非常大。據(jù)此，蘇文桂等[3]通過分析加速度信號中振蕩信號的來源，提出的加速度信號中的振蕩信號主要來自擺桿受到試樣的反作用力后的振動響應(yīng)。因此僅需要采用低通濾波和平滑技術(shù)對采集到的加速度信號進(jìn)行處理，就可以去除加速度信號中的振蕩對計算結(jié)果的影響[3]。

實際上，上述分析方法中所測得的加速度信號是擺錘-擺桿系統(tǒng)在沖擊激勵下的響應(yīng)，并不是輸入的沖擊激勵本身。如果將擺錘-擺桿系統(tǒng)看做線性時不變系統(tǒng)，其在瞬時沖擊激勵下的響應(yīng)，可以看做是系統(tǒng)在激勵下引起的各階固有模態(tài)振型振動的疊加。因此，如果先通過模態(tài)試驗求出擺桿-擺錘系統(tǒng)的模態(tài)振型，再測得其在沖擊激勵下的響應(yīng)，就可以根據(jù)激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)這三者的關(guān)系，求出系統(tǒng)受到的沖擊激勵。另外，在儀器化沖擊試驗方面，主要從時域角度對力-時間曲線的特征值進(jìn)行分析，很少從系統(tǒng)沖擊頻譜響應(yīng)角度對輸入的激勵特征值進(jìn)行分析。本文擬對夏比沖擊試驗機(jī)的擺桿-擺錘系統(tǒng)建立模型，采用有限元對系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，得到系統(tǒng)的前15 階模態(tài)的振型及固有頻率，為下一步的模態(tài)實驗提供理論支撐，并為預(yù)測擺錘-擺桿系統(tǒng)在沖擊激勵下的頻譜響應(yīng)特性提供參考。

1 模態(tài)分析基本理論

模態(tài)是作為彈性體的結(jié)構(gòu)固有的振動形式，結(jié)構(gòu)的每一個自振頻率都會對應(yīng)1 個振型，任何1 個振型又都有特定的模態(tài)參數(shù)，即質(zhì)量、剛度、固有頻率及阻尼比與之對應(yīng)。識別出結(jié)構(gòu)的這些模態(tài)參數(shù)的過程就稱為模態(tài)分析。模態(tài)分析的經(jīng)典理論基礎(chǔ)是假設(shè)系統(tǒng)的復(fù)雜振動是由無數(shù)獨立的單自由度振動線性疊加的結(jié)果。模態(tài)分析就是將系統(tǒng)的復(fù)雜振動分解為許多簡單而獨立的單自由度振動，并用一系列的模態(tài)參數(shù)來表征振動的過程[5]。通過模態(tài)分析，獲得系統(tǒng)的模態(tài)振型，就可以預(yù)測系統(tǒng)在某一已知激勵作用下，系統(tǒng)的各階模態(tài)的振動響應(yīng)特性；或者在不方便測得輸入的激勵時，通過測得系統(tǒng)輸出的振動響應(yīng)，計算輸入的激勵。

目前模態(tài)的分析方法按照計算方法可分為：理論模態(tài)分析和實驗?zāi)B(tài)分析。

理論模態(tài)分析是將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)[6]。目前，理論模態(tài)分析的主要方法是基于計算機(jī)仿真技術(shù)的有限元計算分析法（FEM）。有限元法利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬，其核心思想是先用簡單而又相互作用的元素（即單元）去簡化實際結(jié)構(gòu)，然后就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)[7]。有限元法的具體實施步驟：首先將結(jié)構(gòu)離散化，建立1 個數(shù)學(xué)模型（該模型的特征向量包含了振動系統(tǒng)的固有頻率矢量及固有振型矢量）；然后，通過求解該數(shù)學(xué)模型，從而得出系統(tǒng)的各階模態(tài)所對應(yīng)的固有振型及固有頻率。隨著近代計算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，有限元分析軟件也得到不斷完善，各種操作簡單的有限元軟件使得有限元模態(tài)分析法得到了廣泛的應(yīng)用。

實驗?zāi)B(tài)分析（EMA）就是通過實驗建立1 個激勵-系統(tǒng)-響應(yīng)的模型，目的是研究激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)這3 個模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系。實驗?zāi)B(tài)分析的步驟：首先利用實驗測得系統(tǒng)受到的激勵時間歷程和響應(yīng)時間歷程，然后運用數(shù)字處理技術(shù)求出頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)，再運用參數(shù)識別方法，求得系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，這些模態(tài)參數(shù)包括固有頻率、固有振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等[6]。系統(tǒng)受到的外部激勵通常使用力錘或激振器施加，再使用傳感器來采集激勵及響應(yīng)。在實際應(yīng)用中，實驗?zāi)Ｌ胤治鼍哂泻艽蟮木窒扌裕盒枰Y(jié)構(gòu)的激勵信號。但是，鑒于結(jié)構(gòu)的特點與工作環(huán)境，一些結(jié)構(gòu)很難人為地輸加激勵或激勵信號無法測試[8]。

針對擺桿-擺錘系統(tǒng)的特點，本文采用有限元法對系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，并求解出其前15 階模態(tài)的振型及頻率。

2 擺桿-擺錘系統(tǒng)有限元模型及其模態(tài)分析

2.1 擺桿-擺錘系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

將擺桿-擺錘系統(tǒng)看做是1 個n 階自由度的線性時不變系統(tǒng)，其運動微分方程為[9]

式中：M 為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；C 為系統(tǒng)阻尼矩陣；K 為系統(tǒng)剛度矩陣。

對于線性時不變系統(tǒng)，其上任一點的響應(yīng)值可用其各階模態(tài)響應(yīng)的疊加來表示。令

式中：qr為第r 階模態(tài)坐標(biāo)；φr為第r 階振型系數(shù)。

設(shè)振動系統(tǒng)受到簡諧激勵的作用，即f（t）=Fejωt，則qs=Qsejωt，F(xiàn) 為激勵幅值，ω 為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率。

可得到當(dāng)激勵作用于j 點時，i 點的響應(yīng)為[5]

式中：Hij為i、j 兩點的傳遞函數(shù)。

2.2 幾何模型的建立

沖擊試驗機(jī)型號為JXB-300。擺桿-擺錘系統(tǒng)可以看作用鉸鏈約束于機(jī)架的剛體，因此只建立擺錘-擺桿系統(tǒng)的三維幾何模型。經(jīng)過簡化之后，模型主要包括擺桿、擺錘。用UG NX 軟件建立的擺錘-擺桿系統(tǒng)幾何三維模型，如圖1 所示。

圖1 擺桿-擺錘系統(tǒng)的幾何模型

2.3 有限元模型的建立

2.3.1 材料添加

將幾何模型導(dǎo)入SOLIDWORKS 軟件，建立有限元模型。模型所采用的材料屬性見表1。

表1 材料屬性表

2.3.2 網(wǎng)格劃分

選定Solid 187 四面體單元對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元總數(shù)為3 978 個，節(jié)點總數(shù)為11 911 個，具體劃分情況如圖2 所示。

圖2 擺桿-擺錘系統(tǒng)的有限元模型

2.3.3 添加約束

根據(jù)實際情況，在擺桿頂部添加鉸鏈約束、沿銷軸徑向及軸向添加固定約束，保留系統(tǒng)繞銷軸旋轉(zhuǎn)的自由度。

2.4 模態(tài)分析結(jié)果

對擺桿-擺錘系統(tǒng)進(jìn)行有限元模態(tài)計算分析，其前15 階模態(tài)振動頻率和振型如圖3 所示。

圖3 擺桿-擺錘系統(tǒng)的前15 階模態(tài)振型

根據(jù)共振理論，當(dāng)系統(tǒng)受到的外部激勵與其固有頻率相等時，將引起結(jié)構(gòu)的共振。那么，可以預(yù)測在模態(tài)實驗中，當(dāng)輸入的外部激勵與系統(tǒng)的某一階固有頻率相近或相等時，將激起系統(tǒng)以對應(yīng)固有頻率振動為主的振動響應(yīng)，其響應(yīng)的頻譜能量只要集中在對應(yīng)的固有頻率處，即該固有頻率處的功率譜密度的幅值最大。故可在進(jìn)行模態(tài)實驗時，將激振器的激振頻率值設(shè)置為上述有限元分析得出的系統(tǒng)的固有頻率值，并采集系統(tǒng)的響應(yīng)?？梢灶A(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)在對應(yīng)頻譜處的功率譜密度幅值將是最大的。擺桿-擺錘前15 階固有頻率的計算值見表2。

表2 擺桿-擺錘前15 階固有頻率

從表2 的分析結(jié)果中可以看出，擺桿-擺錘的15階固有振動頻率均低于3 000 Hz。沖擊激勵的脈沖持續(xù)時間越長，其能量就越集中在低頻處，越能激起系統(tǒng)低階固有頻率的振動，反之沖擊脈沖持續(xù)時間越短，越能激起系統(tǒng)高階固有頻率的振動。據(jù)此在進(jìn)行擺桿-擺錘系統(tǒng)的模態(tài)實驗時，可根據(jù)輸入的沖擊激勵的頻譜特性預(yù)測擺錘-擺桿的振動響應(yīng)的頻譜特性。

在實際的沖擊試驗中，試樣受到的擺桿-擺錘的沖擊載荷的作用，如果該沖擊載荷的能量主要集中在試樣的一階固有頻率處，試樣將因為共振而發(fā)生斷裂。根據(jù)文獻(xiàn)[10]試樣的一階固有頻率約為10 000 Hz，即沖擊試驗中試樣受到的擺桿-擺錘系統(tǒng)的沖擊激勵的頻譜能量主要集中在約10 000 Hz 處。反過來試樣對擺桿-擺錘系統(tǒng)的反作用力的主要能量也是集中在10 000 Hz 左右，一方面可以預(yù)測擺桿-擺錘系統(tǒng)在越接近10 000 Hz 的固有頻率處的振動響應(yīng)將越強(qiáng)烈。其表現(xiàn)為響應(yīng)信號中的高頻振蕩現(xiàn)象，但是由于系統(tǒng)阻尼的存在，該響應(yīng)很快就衰減掉；另一方面系統(tǒng)低階固有頻率處的被激起的振動響應(yīng)很小，可以忽略不計。這些結(jié)論與文獻(xiàn)[10]在沖擊試驗中所測得的結(jié)論均一致，表明該有限元分析結(jié)果是可靠的。

3 結(jié)論

本文基于有限元法對擺桿-擺錘系統(tǒng)的模態(tài)進(jìn)行分析，分析結(jié)果獲得了比較好的預(yù)期目標(biāo)，可以為下一步模態(tài)實驗提供有效的理論支撐；另外，也可以預(yù)測系統(tǒng)在沖擊激勵下的頻譜響應(yīng)，為后續(xù)從頻域角度分析沖擊試驗的沖擊激勵頻譜特征值提供數(shù)字化模型。