韓子健，周金宇，莊百亮，倪偉

（1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001；2.金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京 211169；3.機(jī)械科學(xué)研究總院江蘇分院有限公司，江蘇 常州 213001）

1 前言

在能源短缺、輕量化成為必然趨勢(shì)的大環(huán)境下，復(fù)合材料得到廣泛運(yùn)用。為了更好的傳遞復(fù)合材料件之間的載荷，需要對(duì)復(fù)合材料件連接方式進(jìn)行研究。復(fù)合材料的連接方式主要有兩種：機(jī)械連接和膠接連接。機(jī)械連接需要在復(fù)合材料件上制孔，不僅會(huì)破壞復(fù)合材料的增強(qiáng)纖維的連續(xù)性，而且容易造成應(yīng)力集中，降低連接效率。而膠接連接是通過膠粘劑把兩個(gè)或多個(gè)構(gòu)件連接起來，無開孔導(dǎo)致的應(yīng)力集中的問題，而且具有零件數(shù)目少、結(jié)構(gòu)輕、連接效率高、能獲得光滑的氣動(dòng)外形等優(yōu)點(diǎn)，因此膠接連接廣泛運(yùn)用于復(fù)合材料件的連接中。但是在復(fù)合材料件膠接連接時(shí)，存在諸多影響因素，在設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮實(shí)際工程中的這些不確定因素?？煽啃栽O(shè)計(jì)方法擁有常規(guī)的設(shè)計(jì)方法不可比擬的優(yōu)勢(shì)：可靠性設(shè)計(jì)具有明確的可靠度指標(biāo)值；可靠性設(shè)計(jì)時(shí)考慮了各隨機(jī)變量的離散性。因此可靠性分析在復(fù)合材料構(gòu)件連接結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中顯得尤為重要[1]。

目前國內(nèi)外對(duì)膠接連接可靠性研究的學(xué)術(shù)關(guān)注度逐年增大，文獻(xiàn)[2]針對(duì)復(fù)合材料膠接結(jié)構(gòu)，從復(fù)合材料屬性和膠接接頭幾何參數(shù)兩個(gè)方面討論了如何提高結(jié)構(gòu)的承載力；文獻(xiàn)[3]從解析法和數(shù)值法兩個(gè)方面介紹和比較了目前常用的膠接接頭強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法，為復(fù)合材料膠接接頭的可靠性分析提供基礎(chǔ)理論指導(dǎo)。文獻(xiàn)[4]針對(duì)金屬被粘物的同軸膠接接頭采用有限元分析得到膠層最大剪應(yīng)力，與膠粘劑的剪切強(qiáng)度進(jìn)行比較，通過可靠性算法得到同軸膠接接頭的可靠度。文獻(xiàn)[5]針對(duì)靜態(tài)載荷下的斜搭接膠接結(jié)構(gòu)，只考慮膠層失效，采用三維有限元分析獲得極限狀態(tài)函數(shù)，建立了可靠性分析概率模型。文獻(xiàn)[6]針對(duì)碳纖維層合板與鋼的雙搭接膠接接頭進(jìn)行大量試驗(yàn)，并考慮組成材料的力學(xué)和幾何不確定性，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析，得到膠粘劑剪切強(qiáng)度是決定膠接結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)最重要的材料性能。針對(duì)復(fù)合材料件膠接結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析，基于復(fù)合材料彈性理論和載荷相關(guān)串聯(lián)系統(tǒng)模型建立了膠接結(jié)構(gòu)的可靠性功能函數(shù)，并采用Monte?Carlo法求取可靠度，該方法可為復(fù)合材料膠接結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

2 層合板強(qiáng)度分析

層合板為各向異性材料，假設(shè)由n個(gè)單層板組成，單層板厚度為ti(i=1，2，…，n)，層合板厚度為t。各單層板的鋪層角度是可設(shè)計(jì)的。當(dāng)層合板受到面內(nèi)載荷N時(shí)，各單層板的承受能力不同，對(duì)層合板進(jìn)行強(qiáng)度分析時(shí)，首先要得到各單層板的應(yīng)力：

式中：σ11，σ22、τ12—單層板各方向上的主應(yīng)力；Qi—二維剛度矩陣，可通過單層板彈性常數(shù)求得[7]；Qˉi—二維剛度矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣；Ti—第i層板的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；N—各層合板承受的載荷；a、b—加載比例系數(shù)；Ac—層合板拉伸剛度矩陣。

各失效單元的極限狀態(tài)，可由Tsai?Hill失效準(zhǔn)則給出，失效判據(jù)為：

式中：Xt、Yt—單層板縱向、橫向拉伸強(qiáng)度；S—單層板剪切強(qiáng)度。

根據(jù)式（1）得：

將式（3）代入式（2），得由層合板失效單元抗力為：

式中：i=1，2，…，n。

3 膠層強(qiáng)度分析

膠接結(jié)構(gòu)的使用的結(jié)構(gòu)膠粘劑不同于一般的膠粘劑，它具有耐高溫、高強(qiáng)度、高耐久性等特。主要分為韌性膠和脆性膠，脆性膠的剪切強(qiáng)度普遍大于韌性膠；韌性膠的剪應(yīng)變極限大于脆性膠[8]。在膠接連接靜剪切強(qiáng)度并不取決于某個(gè)特征參數(shù)，而是由剪切應(yīng)變能決定的。因此以強(qiáng)度較高的韌性膠為膠層研究對(duì)象。通過彈性力學(xué)分析膠接接頭的微元體受力情況，得到膠層剪應(yīng)力的分布函數(shù)，再根據(jù)應(yīng)力分布狀態(tài)得到膠層失效單元的抗力。

3.1 層合板的等效模量

復(fù)合材料應(yīng)用于航空、汽車等領(lǐng)域時(shí)，為了簡便計(jì)算，常把復(fù)合材料層合板看作桿元結(jié)構(gòu)，因此需要研究單層板的性能和鋪層順序?qū)?fù)合材料層合板的等效模量的影響，并求取等效模量。

求取層合板的等效模量時(shí)，需確定每層整體坐標(biāo)的剛度矩陣

式中：—每層整體坐標(biāo)柔度矩陣—應(yīng)變之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；E1、E2、ν1、G—單層板基本參數(shù)。

假定單層板厚度為ti、層合板由n個(gè)單層板組成，層合板厚度為t，則有層合板軸向等效模量E：

3.2 膠層的彈性分析

單搭接接頭模型，如圖1所示。上下被粘物為等剛度層合板在單位寬度上受拉伸載荷N作用，復(fù)合材料層合板的厚度為t，膠層厚度為ta，搭接長度為L=2l，由式(10)得到復(fù)合材料層合板的等效彈性模量。

圖1 拉伸載荷下的單搭接接頭與微元體受力圖Fig.1 A Single?Lap Joint Under Tensile Loading &Infinitesimal Stress Unit Force Analysis

為了簡化計(jì)算，需要做如下假定：

（1）由于復(fù)合材料層合板較薄，忽略偏心載荷的影響；

（2）膠層的剪應(yīng)力沿厚度方向均勻分布；

（3）復(fù)合材料為線彈性材料，膠層選用連接強(qiáng)度較高的韌性膠，并且只考慮彈性變形。

取搭接膠接接頭的微元體進(jìn)行應(yīng)力分析，如圖1（b）所示，微元體靜力平衡方程為：

式中：G—膠層剪切模量；ui(i=1，2)—被膠接件縱向位移。

對(duì)式（11）求導(dǎo)可得：

對(duì)式（10）求導(dǎo)可得：

式中：A—根據(jù)邊界條件確定的待定系數(shù)；

C—常數(shù)；

sinh(kx)—雙曲正弦函數(shù)，且sinh(kx)=(ekx?e?kx)/2。

單搭接的邊界條件［9］為：

將式（17）代入式（19）求得系數(shù)A為：

于是式（16）可表示為：

將式（19）帶入式（10），求得膠層剪切應(yīng)力τ分布函數(shù)為：

式中：cosh(kx)—雙曲余弦函數(shù)，且cosh(kx)=(ekx+e?kx)/2。

設(shè)結(jié)構(gòu)上下被膠接物剛度和強(qiáng)度相同，根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律［9?10］，單搭接接頭在受到拉伸載荷時(shí)，膠接端頭處剪切應(yīng)力最大，最先發(fā)生破壞。

將x=±l帶入式（20），則膠層失效抗力Na：

式（21）中Na與l的曲線，如圖2所示。

圖2 膠層失效抗力與接頭搭接長度的函數(shù)曲線Fig.2 Function Curve of Failure Resistance of Adhesive Layer and Lap Length of Joint

從圖中可以發(fā)現(xiàn)膠層的失效抗力隨搭接長度的增加而增加，當(dāng)搭接長度到達(dá)一定值之后，膠層抗力趨于平緩。

4 膠接結(jié)構(gòu)可靠性建模

對(duì)于復(fù)合材料層合板膠接單搭接結(jié)構(gòu)的失效問題，結(jié)構(gòu)中任意一個(gè)單元失效則判定膠接結(jié)構(gòu)失效［11］。層合板采用首層失效原則，任意一個(gè)單層板失效則層合板失效。由n個(gè)層單元和1個(gè)膠層單元共n+1個(gè)失效元組成的串聯(lián)系統(tǒng)，可靠性框圖，如圖3所示。其中di(i=1，2，…，n)為層合板各層單元，dn+1為膠層單元。

圖3 串聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖Fig.3 Reliability Block Diagram of Eries System

可靠性分析中的隨機(jī)變量包括合板縱向拉伸強(qiáng)度Xt、橫向拉伸強(qiáng)度Yt、剪切強(qiáng)度S和膠層的剪切強(qiáng)度τP，以及層合板單元與膠層單元的共同隨機(jī)載荷N。

首先對(duì)層合板強(qiáng)度分析，利用單層板的相關(guān)參數(shù)通過式（1）得到單層板的各方向的應(yīng)力值；把應(yīng)力值和單層板的各強(qiáng)度指標(biāo)帶入到Tsai?Hill失效判據(jù)式（2）得到由各單層板失效引起的層合板失效單元抗力Ni(i=1，2，...，n)。

接著對(duì)膠接結(jié)構(gòu)的微元體進(jìn)行彈性力學(xué)分析，帶入膠粘劑的彈性常數(shù)得到膠層的剪應(yīng)力分布函數(shù)如式（20）；根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，得到膠層單元抗力函數(shù)如式（21），把膠粘劑強(qiáng)度指標(biāo)帶入式（21）得到膠層失效單元抗力：Nn+1=Na。

對(duì)于單元獨(dú)立的串聯(lián)系統(tǒng)，通過抗力與載荷的差是否大于零判定各單元是否可靠，得到各單元的可靠度，各單元可靠度相乘得系統(tǒng)的可靠度。但是在本結(jié)構(gòu)中各單元因失效載荷而相關(guān)，直接通過比較各單元的失效抗力，選取抗力最小值與載荷的差是否大于零判定系統(tǒng)是否可靠，從而得到系統(tǒng)的可靠度［12］。因此對(duì)各單元抗力Ni進(jìn)行比較選取最小值Nmin=min(N1，…Nn，Nn+1)，與隨機(jī)載荷N做差，得到復(fù)合材料件單搭接膠接結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)：

當(dāng)各單云抗力最小值小于結(jié)構(gòu)受到的軸向載荷時(shí)，功能函數(shù)G<0，則判定膠接結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)各單元失效抗力最小值大于等于軸向載荷時(shí)，功能函數(shù)G≥0，則判定膠接結(jié)構(gòu)可靠。

利用Monte?Carlo 數(shù)值模擬法[11]，對(duì)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)抽取M個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)失效樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)Mf與總樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)M之比即為失效概率的估計(jì)值Pf。具體分析過程，如圖4所示。系統(tǒng)可靠度R為：

圖4 膠接可靠性分析流程圖Fig.4 Flow Chart of Reliability Analysis of Composite Adhesive Structure

5 算例分析

已知復(fù)合材料層合板由三層玻璃/環(huán)氧單層板構(gòu)成，鋪層角度為［90，0，90］，單層板的厚度為t=0.3mm，單層板彈性常數(shù)為E1=35.37GPa，E2=8.78GPa，G=3.17GPa，v1=0.3；膠層的厚度ta=0.1mm，膠層彈性常數(shù)為Ea=3.5GPa，va=0.4；單搭接長度為L=17mm。各隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征，如表1所示。計(jì)算單搭接膠接結(jié)構(gòu)在隨機(jī)軸向載荷N的作用下的可靠度。

表1 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征Tab.1 Statistical Characteristics of Random Variables

將相關(guān)參數(shù)分別帶入到式（4）、式（21）中分別得到層合板的抗力和膠層的抗力。利用Monte?Carlo法對(duì)5個(gè)變量進(jìn)行106次的隨機(jī)抽樣，得到各單元失效抗力最小值，與載荷N差值是否小于零判定膠接結(jié)構(gòu)是否可靠，統(tǒng)計(jì)可靠次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)的比值，得到結(jié)構(gòu)的可靠度0.9762。

6 結(jié)論

（1）通過對(duì)層合板各單層板的應(yīng)力分析，根據(jù)Tsai?Hill失效判據(jù)，得到各單層板失效引起的層合板失效的單元抗力。通過對(duì)單搭接膠接結(jié)構(gòu)的彈性分析，得到膠層的剪應(yīng)力分布函數(shù)；再根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律得到膠層單元抗力。（2）建立了靜態(tài)軸向拉伸載荷作用下單搭接膠接接頭可靠性分析的概率模型，運(yùn)用Monte?Carlo法對(duì)膠接結(jié)構(gòu)各單元的強(qiáng)度指標(biāo)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到各失效單元的最小值。通過抗力最小值與載荷的差是否大于零判定系統(tǒng)是否失效；可靠次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)之比，即為膠接結(jié)構(gòu)的可靠度。該方法為復(fù)合材料膠接結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。